( ) ( ) ( ) 23 ( ) Se A, B, C forem conjuntos tais que

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1 Se A, B, C forem conjuntos tais que ( B) =, n( B A) n A =, nc ( A) =, ( C) = 6 e n( A B C) 4 n B =, então n( A ), n( A C), n( A B C) nesta ordem, a) formam uma progressão aritmética de razão 6. b) formam uma progressão aritmética de razão. c) formam uma progressão aritmética de razão, cujo primeiro termo é. d) formam uma progressão aritmética de razão, cujo último termo é. e) não formam uma progressão aritmética. C A x z y 4 B Para preencher o diagrama de Venn: n A B C = 4 (( ) ) = ( ) ( ) = 6 4= ( ( )) = ( ) (( ) ) = = ( ( )) = ( ) (( ) ) = = n B C A n B C n B C A n B C A n B A n B C A nc B A nc A n B C A Sabe-se também que: n A B = x+ y+ z = x+ y+ z = 7 Portanto: 7 n A = x+ y+ z+ 4= 7 n A C = x+ y+ z = 7 n A B C = x+ y+ z = Logo, ( n( A) ; n( A C) ; n( A B C) ) ( ; ; ) Alternativa d = que é uma P.A. de razão.

2 Seja A um conjunto com 4 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é a) ( ) 9. b) ( ). c) ( 6 ). d) ( 4 ). e) ( ). Dados do enunciado: n( A) = 4 n( B) = 6 B A A B 6 Os subconjuntos de A devem ter 6,, 4,,, ou elementos selecionados dentre os elementos do conjunto A - B. Dessa forma, haverão C,6 subconjuntos com 6, C, subconjuntos com elementos, e assim por diante: n= C,6 + C, + C,4 + C, + C, + C,+ C, (*) n= C, i C,7 C, = ( ) i= (*) ver propriedades do triângulo de Pascal. Alternativa a n = 9 Considere a equação: 4 6 ix + i i = + ix i + i. Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é a). b) 6. c) 9. d). e). Sabendo-se que: + i ( + i)( + i) + i = = = i i i e que: i = = i + i i A equação dada ficará da seguinte forma: 4 4 ix ix 6 = 6 + ix + ix = ix = ( ix) = ( + ix) + ix ( i ( i) ) ( i), com x i (denominador não-nulo).

3 De onde vem: ix x i x = + ix x + i x Alternativa b ix + ix = ix ix x x = 6 x x = x ' = x '' = x ''' = ( x ) ( x ) ( x ) ' + '' + ''' = 6 Assinale a opção que indica o módulo do número complexo, x kπ, k. + i cotgx a) cos x. b) ( + sen x) /. c) ( ) cos x. d) cossec x. e) sen x. Da propriedade = resulta: z z = = + cotg + cotg + cotg i x i x x = = sen x. cossec x Alternativa e Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então B é uma raiz do polinômio H a) b) c) d) e) π x + π x + πx =. π x + π x + x+ =. π x π x + πx+ =. πx π x + πx =. x π x + πx =. H B

4 B H PG B H,,... () I Na figura ΔOPN ΔBPM B H + PN PM H r = = ON QM r B B H + H H + = II r r B BH Usando que πr = (pelas propriedades de P.G.) 4 H H H + = 4 + BH BH B 4π 4π Seja B x = : H 4π 4π 4 + = + x x x Reorganizando os termos da equação: Alternativa d 4π 4 = 4 π x x x π π = x x x π π π + = 4 x x x x π x π x+ =π x πx π x + πx = Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão r, então r pertence ao intervalo ( + ) a),. b) + +,. ( + ) ( + ) c) ( ),. d) ( ( + ) ), +. e) ( ( + ) ) +,. 4

5 Considere o triângulo Obs.: não há perda de generalidade ao consideramos b r como maior lado. Assim, b 4 br > + b r > + r r >, r r + Resolvendo esta inequação obtemos r >. Usando a condição de existência de triângulo, temos b br < + b r r < r + Ou seja r < + + < r <. Alternativa c Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo log ( x y) = 49, Então, log k ( x y z) é igual a: a). b) 6. c) 67. d). e) 97. Sejam P, P e P primos: P P P x = k, y = k e z = k log 49 log P P log P P k x y k k k k k + 49 = = = P + P = 49 P = e P = 47 ou P = 47 e P =. k log k ( x/ z ) = 44. Caso I: Para P = e P = 47 e x = k e y = k 47, assim k k 44 4 k = = k z = k P = log 44 4 z z Caso II: Para P = 47 e P = Alternativa a 47 x = x e k k 44 k = = k z = k log 44 z z 47 ( x y z) k( x k k ) y = k, assim log = log = k (não convém)

6 Sejam x e y dois números reais tais que x e, y e e o quociente x e y 4 e são todos racionais. A soma x + y é igual a a). b). c) log. d) log. e) log e. Podemos reescrever a razão dada na seguinte forma: x y x x+ y y e 4+ e 4e + e e = y y y 4 e 4+ e 6 e Como x e, y e x x+ y y Q, o numerador 4e + e e da razão dada, deve ser inteiro. Podemos dizer que a parte irracional de x x+ y y 4e + e e será nula, ou seja: Alternativa e e + x y + = x y + e + = x + y x + e = lne y = ln x+ y = ln Seja Q( z ) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z é igual a. Sendo z + z + z+ um fator de Q( z ), Q = e Q =, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q( z ) é igual a a) 9. b) 7. c). d). e). Sabe-se que o polinômio Q( z ) será da seguinte forma: Q z = z + z + z+ z + az+ b, a, b A partir dos dados do enunciado, podemos determinar os coeficientes a e b : Q = b= b = Q = a+ b = ( + a) = 4 + a = a =. 6

7 Portanto, Q( z) está determinado, e podemos calcular suas raízes: = ( ) ( + ) Q z z z z z z z z z =, por inspeção, vemos que - é raiz. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para redução de ordem: - z + = z =± i z z+ = ± z = ± 7i z = O valor pedido no enunciado será: = 7 Alternativa b Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio ( x a) ( x b) x x+ c, numa diferença de dois cubos. Neste caso, a+ b c é igual a a) 4. b) 4. c) 4. d) 4. e) 44. x + a ( x+ b) = 9x 6x+ c Do desenvolvimento os cubos das somas temos que ( a b) x + ( a b ) x+ ( a b ) = 9x 6x+ c a b= I ( III) a b = II a b = c fatorando ( II ) teremos ( a b)( a b) ( a+ b) = + = a+ b= 7 IV De () I e ( IV ) temos: a b= a + b = 7 logo a = e b = Substituindo a = e b = em ( III ) encontramos c = 7 Então: + 7 = 4 = 4 Alternativa b 7

8 Sobre a equação na variável real x, x =, Podemos afirmar que a) ela não admite solução real. b) a soma de todas as suas soluções é 6. c) ela admite apenas soluções positivas. d) a soma de todas as soluções é 4. e) ela admite apenas duas soluções reais. x = x = x = x =± Caso ) x = x =± i) x = x = 6 ii) x = x = 4 Caso ) x = x = i) x = x = ii) x = x = A soma S de todas as raízes: S = = 4 Alternativa d Determine quantos números de algarismos podem ser formados com,,, 4,, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com ou, caso em que o 7 (e apenas o 7 ) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. a) 4. b) 6. c). d). e). Iniciando pelos algarismo ou, temos: Repetindo o nº7 = ou {, } { 7} { 7} sem repetir o nº7 6 = 6 {, } Não iniciando pelos algarismos e : {, 4,,6,7} 6 = Logo, o número total de combinações é = Alternativa e

9 Seja x um número real no intervalo < x < π /. Assinale a opção que indica o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade cos sec tg π x x x. a) π /. b) π /. c) π /4. d) π /6. e) π /. Podemos reescrever a desigualdade da seguinte forma: π x tg x cos sec x+ sec x + cosx cotg( x) + cosx cosx cosx + cosx + sen x cos x cos x cos x sen cosx x + x x x x( x x) cos sen cos cos cos sen E por fim, como cos x >, resulta: Alternativa d cos x sen x tg x e x >, logo: π < x 6 Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A B, sendo: a). b). c). d) ( + ) /. e) ( + ) /. Cálculo dos elementos da soma: π x = sen 4 π π x = sen = sen = = k π A= xk = sen : k =, e 4 ( k ) + π B = yk = sen : k =,. 4 9

10 π = sen = sen = = π y 4 4 π y = sen 4 E fazendo a soma pedida: π π S = x+ x+ y+ y = sen sen π π 4 π S = sen + + sen π π S = cos + sen S = + = Alternativa c Sejam A = ( a jk ) e B ( b jk ) =, duas matrizes quadradas n n, onde a jk e b jk são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por jk j k p jk a jk =, quando, j k, a jk =, quando j < k e bjk = ( ) k j p= p n O traço de uma matriz quadrada ( c jk ) de ordem n n é definido por p= c pp. Quando n for ímpar, o traço de A + B é igual a a) n( n ) /. b) ( n )( n + ) / 4. c) ( n n ) /( n ) +. d) ( n ) /n. e) ( n ) /( n ). Seja T A = Traço da matriz A = a + a + + ann Seja T B = Traço da matriz B = b + b + + bnn n TA = = = n n n vezes T = b b b b B nn = + = = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = 9 n n n n n n n = ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) = ( + ) = ( ) = n, para todo n é ímpar. n n+ T = TA + TB = n+ ( ) = n =. A+ B n Alternativa c

11 Considere no plano cartesiano x y o triângulo delimitado pelas retas x = y, x = y e x = y+. A área desse triângulo mede a) /. b) / 4. c) / 6. d) 9/ 4. e) 7/. As retas r: x= y e s : x y Fazendo a intersecção de r com t: x= y+ temos: x = ( x) + x=, que determina P ( 4 ; ). E para a intersecção entre s e t : = se interceptam no ponto x x = + x=, que determina P ;. Finalmente para a área do triângulo teremos: S = D O ;. Alternativa a S = S = 4 Sejam A :( a, ), B :(,a ) e C: ( a,a ), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P: ( x,y ) cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C. a) ( ) x + y xy ax ay+ a =. b) ( ) x + y + xy + ax + ay + a =. c) ( ) x + y xy+ ax+ ay+ a =. d) ( ) x + y xy ax ay a =. e) ( ) x + y + xy ax ay a =. A reta ( r ) que passa por A e B é: a y = ( x a) a y = x+ a ou x+ y a = Escrevendo agora que a distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P à C : dp,r = dp,c x+ y a = ( x a) + ( y a) + ( x+ y a) = ( x a) + ( y a) x + xy + y xa ya + a = x xa + a + y ya + a x + y xy ax ay+ a = Alternativa a

12 Seja P n um polígono regular de n lados, com n >. Denote por a n o apótema e por b n o comprimento de um lado de P n. O valor de n para o qual valem as desigualdades bn an e bn > an, pertence ao intervalo a) < n < 7. b) 6< n < 9. c) < n <. d) < n <. e) < n <. Primeiro, calculamos b n em função de an e n : ( θ ) n = π π θ = n bn / tg θ = an π bn = an tg () I n Em seguida, resolvemos as desigualdades: i) bn an π an tg an n π tg < n π π tg < tg n 6 π π < n > 6 n 6 ii) bn > an π an tg > an n π π π tg > tg > tg n n π π > n < n< 9 n Logo 6< n < 9 Alternativa b Sejam P e P octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A a área de P e A a área de P, então a razão A A é igual a a). b) 9 / 6. c) ( ). d) / 4 +. e) + / 4.

13 Alternativa e Mas A P R R sen 4º = A P x x sen 4º = AP = 4 R A P = 4 x AP = R A P = x 4º R cos =, logo x AP R R 4º = = = cos AP x x AP + cos 4º + = A = P 4 Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a cm e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é /, a altura do tronco, em centímetros, é igual a 6 / 4. a) b) ( 6 ) / c) / d) e) /. 6. / 6. 6.

14 Dado que a razão entre as alturas é h v = = H V V = v, temos: Usando que o volume do tronco vale : V + V v = V = V = 7 E sendo V = A H : base V = 6 H 4 a a = = =, e assim: e sendo o apótema a = : ( + ) ( + ) V = 6 H = H = 7 4 E por fim, H h = = 4 6 ( + ) E para a altura do tronco H h ( + ) ( ) 6 H h= = cm 4 Se o apótema da base é igual A, então o lado = cm.. Sejam h e H as alturas das pirâmides, como ' =, onde ' é o lado da secção determinado pelo plano, logo ' = cm. O volume do tronco é dado por x ( A B + A b + A B A b), onde x é a altura, A B é a área da base maior e Assim, x = Alternativa c 6 x = = + 6 h H =, temos que Ab a área da base menor do tronco. Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que A B C = { x : x + x }, x x x A B = { x : 4 > }, A C = { x : log( x+ 4) }, B C = { x : x+ 7< }. 4

15 Resolvendo separadamente cada uma das condições dadas: A B C = x :x + x I x + x x + x = ± Δ= 9 x = x' = e x'' = { } - x ou x x x x A B = x : 4 > II > x x x 4 4 x x x > { } 4 x x > x Fazendo = y y y 4y > x y y 4y > ( y ) y y 4 > Como y >, devemos ter y y 4> y y 4= Δ= 9+ 6= ± y = y' = 4 e y'' = (não convém) Voltando: = y x x > 4 x < { } A C: x : log( x+ 4) III Dar condições de existência, temos: x + 4> x > 4 e x + 4 x

16 4< x B C: x : x+ 7< IV x + 7< 7 x < 7 x < { } Podemos demonstrar que: C = A B C A B C A C B -4 -/ 4;, + [ [ Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que z z + = z i z + i e < z i. Fazendo w z = temos z i w z = e a ª equação fica da forma z + i w+ w=, ou: x + yi + x yi = + i x yi = + i x = e y =, ou seja, w = Voltando à substituição: z = z i z i = z z z = i Seja z = a+ bi, com a e b reais: a+ bi ( a bi) = i bi = i b = e a um real qualquer (reta paralela ao eixo real). Marcando no plano complexo: 6

17 Do exposto, o único z é z = + i. A = + i { } Seja k um número inteiro positivo e Verifique se n( A ), ( 9 ) especifique a razão. A = { j : j k e mdc( j, k ) = }. k n A, na ( 7) e, estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, I) A = { j : j e mdc( j, ) = } = {, } na ( ) = II) A9 = { j : j 9 e mdc( j, 9) = } = {,, 4,, 7, } na ( 9) = 6 III) A7 = { j : j 7 e mdc( j, 7) = } = {,, 4,, 7,,,,,4,6,7,9,,,,, 6} na ( 7) = IV) A = { j : j e mdc( j, ) = } = {,, 4,,...,79, } Observamos que os elementos de A são os não múltiplos positivos de menores que, ou seja, na ( ) = = 7 = 4 Do exposto, concluímos que a seqüência (, 6,, 4) é uma progressão geométrica de razão. Considere a equação: x p x x + =. a) Para que valores do parâmetro real p a equação admite raízes reais? b) Determine todas as raízes reais. 7

18 a) Para x p, x e x podemos fazer: x p = x x, com x x x p = x 4x x + 4 x 4x x 4x p 4 = +, com 4x + p 4 ( ) = ( + ) 6x x 4x p x 6x = 6x + 4 px 6x + 4 px + p 4 p 6x 4 p+ 6 px 6x = p + p 6 ( p ) ( p) 6 p ( p) 4 4 x = = 4 p x = p Daí temos, p > p < Voltando às condições iniciais: i) x p ( 4 p) p ( p) ( 4 p) p ( p) p p p p 9p 4p+ 6 ( p 4), que é válido para todo p real. ii) x ( 4 p) ( p) ( 4 p) ( p) p p p p, que também é válido para todo p real. iii) x 4 p, que é válido para todo p real e menor que. p iv) x x ( x ) x 4 4 x 4 ( p) 4 ( p) p + p p

19 v) 4x + p 4 4x 4 p 44 ( p) 4 p ( p) 4 p ( p) p. 4 Do exposto, concluímos que para valores de reais de p no intervalo, a equação admite solução. 4 p 4 p b) Nas condições do item a temos uma única raiz que é x = =. p p Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema log ( x+ y)( w z) =, x + z y z w + =, x+ y+ 6z w =. ( x+ y) ( w z) = = + + = log I x+ y y z+ w II x y 6z w III Resolvendo parcialmente ( I ) : ( x+ y) log = ( w y) x+ y = w z como a razão é, não existem restrições. x + y = w z x+ y+ z w= Resolvendo parcialmente ( II ) : x+ z y z+ w = x + z y z + = w x + z + y z + = w x + z = + y z+ w x+ z y+ z w= x+ 6z y w= Resolvendo parcialmente ( III ): x+ y+ 6z w = x+ y+ 6z w = x+ y+ 6z w= Com isso, passamos a ter o seguinte sistema: x+ y+ z w= x y + 6z w = x+ y+ 6z w= 9

20 Como não existem restrições nas equações acima, escalonando o sistema: x + y + z - w =.(-) x - y + 6z - w = x + y + 6z - w = x + y + z - w =.(-) - y + z = x + y + 6z - w = x+ y+ z w= y + z = y = y = y+ z = y = z y = z z = x+ y+ z w= Como o sistema é do tipo S.P.I., fazemos w = α : x+ y+ z α = x + + = α 6 4 x =+ + + α 4 4 x α S α, = + = +,,α π Dentre 4 moças e rapazes deve-se formar uma comissão de pessoas com, pelo menos, moça e rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? Com pelo menos um rapaz qualquer comissão serve, visto que temos apenas 4 moças. Logo, o número n de comissões será dado por: n = C9, C, = =. 4 Sendo: C, total de comissões 9 C, comissões só de rapazes. Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado BC, considere, a partir de B, os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma progressão geométrica decrescente. Se β for o ângulo EÂD, determine tg β em função da razão r da progressão.

21 Do enunciado, podemos fazer a seguinte figura: No Δ ADB : lr tgα = = r l No Δ AEB : lr + lr tg( α + β) = = r + r l tgα + tg β = r + r tgα tgβ Logo, r + tg β = r + r r tgβ r + tg β = r + r ( r + r ) tg β tg β ( + r + r ) = r tg β = r + r + r, em que r é a razão da P.G.. Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferências C e C, que se tangenciam exteriormente em P: (, ). O ponto Q: (, ) é o centro de C. Determine o raio da circunferência C, sabendo que ela tangencia a reta definida pela equação x = y. Seja R o raio de C e O o seu centro. Do enunciado e traçando por Q uma paralela à reta r temos: R P (,) R D R Q (,) s//r d r: x - y = Da semelhança entre os triângulos hachurados: R + R R d = () I R D d Cálculo de R, De d : R d PQ =, = ( ) + ( ) = 9

22 D = d Pr, = = + ( ) d = d Qr, = = + ( ) Voltando em () I : R + 9 R = R = 49 Seja C uma circunferência de raio R inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja C uma segunda circunferência, de raio R, que tangencia dois lados do triângulo internamente e C externamente. Calcule ( R R )/h. O também é baricentro do Δ ABC : h R = A semi-reta CO é bissetriz do ângulo C med ( OCB ) =. O segmento OP é construído paralelamente ao lado BC : med ( OO P ) = Finalmente no triângulo OPO : h R R senº = = R+ R h + h R = 9 h h R R 9 = =. h h 9 R R

23 Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume / cm, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas. Cálculo da aresta do tetraedro regular: a V =, em que V é o volume. a = a = = 6 = a = cm A aresta do tetraedro é diagonal de uma das faces do cubo: a = b, em que b é a aresta do cubo. = b b = cm Como os raios das esferas valem cm cada, concluímos que as que têm centro sobre uma mesma aresta do cubo são tangentes. Portanto, para o cálculo do volume V pedido, basta subtrairmos do volume do cubo do volume de cada uma das esferas: 4 V b r = π, em que r é o raio das esferas. 4 V = π 4π V = cm.