MATEMÁTICA Galileu Galilei Qu e st ão 0 1

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1 I A MATEMÁTICA "A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo" Galileu Galilei {0,,,,...} : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : conjunto vazio [a,b] {x ; a x b} (a,b) ]a,b[ {x ; a < x < b} [a,b) [a,b[ {x ; a x < b} (a,b] ]a,b] {x ; a < x b} A B {x A; x B} i : unidade imaginária; i z : módulo do número z z : conjugado do número z Re z : parte real de z Im z : parte imaginária de z I : matriz identidade A : inversa da matriz inversível A A t : transposta da matriz A det A : determinante da matriz A A C : complementar de A P(A) : coleção de todos os subconjuntos de A AB : segmento de reta unindo os pontos A e B AB : arco de circunferência de extremidades A e B Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais. Questão 0 Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,5% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população. a) b) c) d) 5 e) 8 4 Sendo os eventos: D: pessoa daltônica H: homens M: mulheres Temos: P( H D) 0,05 P M D 0,005 ( ) Sendo P( M / D ) a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso, temos: P( M D) P( M / D) P( D) 0,005 5 P( M / D ) 0, ,05 55 Alternativa A

2 Questão 0 Sejam α, β tais que α β e α β a) b) 0 c) d) e) i. Então α + β é igual a Como α β, temos que α e β são do tipo: α cosx + i senx e β cosy + i seny Como α β, temos: (cosx cosy) + i (senx seny) ( ) (cosx cos y) + senx seny cos x cosx cosy + cos y + sen x + senx seny + sen y cosx cosy + senx seny 0 cos(x y) 0 x y π + kπ x y + π + kπ (I) Calculando α + β, temos: α + β (cosx + i senx) + (cosy + i seny) (cosx + cosy) + i (senx + seny) De (I) temos: x y + π + kπ x y + π + kπ cosx cosy senx seny Voltando em α + β : α + β ( cosy + cosy) + i ( seny + seny) 0 + i 0 0 Alternativa B Questão 0 Considere o sistema Ax b, em que A k 6, b 6 e k. k 0 Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o valor de T S é: a) 4 b) c) 0 d) e) 4

3 Se det A 0, o sistema Ax b será possível e determinado, logo ( ) k k k 8+ 4k 0 k 0 e k 4. Assim para que Ax b seja possível e indeterminado ou impossível basta tomarmos k 0 ou k 4. Para k 0 temos x 0 6 y 6, escalonando z 0 x y 4, que é um sistema possível e indeterminado. 0 0 z Para k 4 x 4 6 y 6, escalonando 7 z 0 x y 4, que é um sistema impossível. 0 4 z S 0 e T 4 T S 4. Alternativa A Questão 04 Sejam A e C matrizes nx ninversíveis tais que det( I + C A) / e det A 5. Sabendo-se que determinante de B é igual a: n a) n b) c) n d) e) 5 n ( + ) t, então o B A C B ( A + C ) t n det ( B) det( A + C ) Calculando det ( A + C ) : Sendo I + C A D det( D ) Temos A + C D A, daí: det( A + C ) det( D) det( A ) det( A + C ) 5 det( A + C ) 5 Voltando em : n n det( B). 5 5 Alternativa D

4 Questão 05 Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a e o grau de P é 6, então o de maior grau tem grau igual a a) 0 b) c) 4 d) 6 e) 8 O grau de P é igual a soma dos graus de seus fatores: 4 + q+ q + q + q 6, em que q é a razão da P.G. q q q q Lembrando que q é um inteiro positivo, q. 4 4 Portanto, o maior grau será q. Alternativa B Um diedro mede 0º. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4 π cm que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a a) b) c) d) e) Dado o volume da esfera podemos obter seu raio: 4π V r 4 π r r cm Na figura observamos que: α 0º α 60º r sen α, em que d é a distância pedida. d sen 60º Questão 06 d d d cm Alternativa E 4

5 Considere o quadrado ABCD com lados de 0 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD, eqüidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado AD e por N uma reta s paralela ao lado AB, que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC. Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a a) b) c) 0 5 d) e) 0 5 Questão 07 ( ),0,0 A seqüência x ( x) ( x) 0 x 0 ( x) 0 x x x x x 0x x 0 ± 500 x 5 ± 5 5 é uma P.G.: Como 0 < x < 0, temos x ( 5 5 5) m. Alternativa D 5

6 Questão 08 Considere o polinômio p(x) a 5 x 5 + a 4 x 4 + a x + a x a, em que uma das raízes é x. Sabendo-se que a, a, a, a 4 e a 5 são reais e formam, nesta ordem, uma progressão aritmética com a 4 /, então p( ) é igual a a) 5 b) 7 c) 6 d) 9 e) 40 ( a, a, a, a4, a5) r, r, r,, + r, em que r é a razão da PA. O polinômio dado pode ser escrito da forma 5 4 px ( ) + r x + x+ r x+ r x r E sendo x raiz, temos: p ( ) + r + r + r r 0 r Assim: 4 5 x x p( x) x ( ) ( ) p( ) ( ) Alternativa A Questão 09 Sobre a equação polinomial x 4 + ax + bx + cx 0, sabemos que os coeficientes a, b, c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e / i/ também é sua raiz. Então, o máximo de a, b, c é igual a a) b) c) d) e) 4 x 4 + ax + bx + cx 0 α, β, i e i + são as raízes da equação α + β + i + i + a a α + β α β i i + αβ α β α e β, pois α e β são inteiros distintos. Voltando em : a + ( ) a. Reescrevendo a equação x 4 x + bx + cx 0 6

7 + b+ c 0, pois é raiz. + + b c 0, pois é raiz. Resolvendo o sistema: b e c Logo, o máximo de a, b, c é igual a. Alternativa C Questão 0 É dada a equação polinomial ( ) ( ) ( ) ( ) a+ c+ x + b+ c+ x + c a x+ a+ b + 4 0, com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de primeira espécie e que é uma raiz, então o produto abc é igual a a) b) 4 c) 6 d) 9 e) Como é uma equação recíproca de primeira espécie, temos: a+ c+ a+ b+ 4 b c () I b+ c+ c a a c + II. ( ) Como é raiz, temos: a+ c+ + b+ c+ + c a+ a+ b+ 4 0 a+ b+ 5c 7 III. Substituindo () I e ( ) c+ + c 4+ 5c 7 4c 4 c. II em ( ) III : Voltando em () I e ( II ) temos: b e a 4 abc 4 ( )( ) Alternativa E Questão ( ) Sendo [ π/, π/] o contradomínio da função arcoseno e [0, π] o contradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de a) d) 5 4 cos arc sen + arc cos 5 5. b) 7 5 e) 5 c) 4 5 7

8 No triângulo acima temos: 4 α arcsen arccos 5 5 sen α 5 4 cosα 5 4 cos arcsen + arccos cos( α + α ) cos α sen α cos arcsen + arccos Alternativa B Dada a cônica λ : x y, qual das retas abaixo é perpendicular à λ no ponto P (, )? a) y ( x ) b) y x c) y ( x+ ) d) y ( x 7) 5 e) y ( x 4) A reta perpendicular à λ é perpendicular a reta tangente à λ no mesmo ponto. Como o gráfico da função f ( x) x, para x, coincide com λ no primeiro quadrante, temos que o coeficiente angular da reta ', onde f ' denota a derivada da função f. Portanto: f '( x ) ( x ) ( x) x f '( x), x> x f ' ( ) 4 f ' ( ). Sendo m o coeficiente angular da reta perpendicular, temos: m m' m' tangente a λ em ( ) m '. Questão, será m f ( ) 8

9 Daí segue que a equação da reta perpendicular a λ será: y ( x ) y x+ y x+ y ( x 4) Alternativa E Questão O conjunto imagem e o período de f(x) sen (x) + sen (6x) são, respectivamente, a) [, ] e π b) [, ] e π π c) [, ] e d) [, ] e π e) [, ] e π cos 6x cos x sen x ( ) ( ) ( ) ( x) ( x) sen cos 6 Substituindo em f(x) temos: f x cos 6x + sen 6x ( ) ( ) ( ) f ( x) sen( 6x) cos( 6x) sen( 6x) cos( 6x) f ( x) π π sen( 6x) cos sen cos( 6x) 4 4 π f ( x) sen 6x 4 Os valores assumidos por f ( x ) variam de a e seu período é dado por π 6 π rad. Alternativa C 9

10 Para x, o conjunto solução de 5 x 5 x x 5 x é a) { 0, ± 5, ± } b) { 0,, log 5 ( + 5 )} 0, log + 5, log +, log c) 0, log5, log5, log5 d) { 5( ) 5( ) 5( )} e) A única solução é x 0 Questão 4 x x+ x x () 5 x 5 5 x x 5 x I ou 5 x 5 5 x x 5 x + II ( ) Resolvendo () I : 5 x 5 5 x + 5 x + 0 x Sendo 5 z, temos: z 5z + z z 4z 0 Δ z 4± 5 z ± 5 z ou z + 5 ou z 5 Se z 5 x x 0 x z x log + 5 Se 5 ( ) Se z 5 5 x 5, o que é impossível. Resolvendo ( II ) : 5 x 5 5 x x 0 x Sendo 5 z, temos: z 5z + 5z z 4z + 0 Δ 6 4 z 4± z ± 0

11 z ou z + ou z x Se z 5 x 0 x z x log + Se 5 ( ) x Se z 5 x log5 ( ) Portanto o conjunto solução será: { 0,log ( + 5 ),log ( + ),log ( )} Alternativa D Um subconjunto D de tal que a função f:d, definida por f ( x) ln( x x ) a), b) ( ] c) [ 0, / ] d) ( 0, ) e) [ /, ) Questão 5 + é injetora, é dado por Considerando as funções g(x) x, h(x) ln(x) e k(x) x x +, temos: f(x) g h k(x). Para que f(x) seja injetora devemos ter h k(x) injetora e h k(x) 0 ou h k(x) 0, pois o gráfico de g(x) é: Para que h k(x) seja injetora k(x) deve ser injetora (h(x) é injetora), o que nos dá: Resolvendo h k(x) 0 ou h k(x) 0, temos: x ou x ln(x x + ) 0 x x + x (x ) 0 x 0 ou x ou ln(x x + ) 0 x x + x (x ) 0 0 x Intervalos que satisfazem às duas condições são:

12 Dentre as alternativas um conjunto possível é D [0,/] Alternativa C Questão 6 A soma de todas as soluções distintas da equação cosx + cos6x+ cos9x 0, que estão no intervalo 0 a) π d) 7 6 π x π, é igual a b) π e) π c) 9 6 π cosx+ cos6x+ cos9x 0 cos6x+ cos9x+ cosx 0 [ ] cos6x+ cos6x cosx 0 cos6x + cosx 0 [ ] cos6x 0 ( I) cosx ( II) Resolvendo () I : cos6x 0 Resolvendo ( II ) : π π 6x x π π 6x x 4 5π 5π 6x x π cosx x π x A soma S das soluções será: π π 5π π π+ π+ 5π+ 4π π S Alternativa E

13 Questão 7 Considere o conjunto D { n ; n 65} e H P( D) formado por todos os subconjuntos de D com elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 8 é igual a a) b) 5 c) 65 9 d) 5 e) 9 70 Seja n o número de elementos de H : n C65, 65 8 Seja m o número de elementos de H cuja soma dos próprios elementos é igual a 8 : 8 m 9 Seja P a probabilidade pedida: m 9 P. n Alternativa A Questão 8 Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC, mede 40º. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE 5º. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DBC 5º. Então, o ângulo EDB vale a) 5º b) 45º c) 55º d) 75º e) 85º

14 Como BÊC 55º o triângulo BEC é isósceles com BE BC. Sendo F a intersecção de BD e CE, temos: BFC 90º. Os triângulos DEF e DCF são congruentes, pois são retângulos com EF temos EDF 75º. Alternativa D CF e DF é lado comum aos dois. Daí, como CDF 75º, Questão 9 Sejam X, Y, Z e W, subconjuntos de tais que ( X Y) Z { 4,,, }, { 56} X W Z {, 4}. Então o conjunto X ( Z W) W ( Y Z) é igual a a) { 45,,,, } b) { 47,,,, } c) { 78,,, } d) {, } e) { 78, } Y,, Z Y, W X Z 78,, ( ) { } 4

15 Utilizando diagrama de Venn, temos: De onde concluímos: x z w,,, 4, 7, 8 ( ) { } ( ) {, 4} w y z ( ) ( ) {,, 7, 8} x z w w y z Obs.: Note que os elementos 5 e 6 podem estar em ( x y) w ou em ( ) Alternativa C w y x que a resposta não se altera. Sejam r e s duas retas paralelas distando 0 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 5cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm e cm, do triângulo eqüilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a a) 75 e 5 b) 75 e 0 c) 75 e 0 d) 75 e 5 e) 700 e 0 Questão 0 5

16 Nos triângulos PAR, RCQ e PBQ: x + 5 x 5 y + 0 y 00 ( x+ y) + 5 x + xy+ y + 5 Substituindo e em : ( ) ( ) ( ) , pois > 5. Seja S e p a área e o perímetro do Δ PQR, respectivamente: 75 cm S 4 p 0 cm Alternativa B Questão Dado o conjunto A { x x } + x < x ;, expresse-o como união de intervalos da reta real. i) x + x 0 ( ] [ ) S, / 0, + ii) x > x + x 4 x > x + x 4 x x x > 0 4 Raízes de x x x 0: x 0 x 0 0 x x 0 x x 4 6

17 Estudo do sinal da função 4 y x x x ( ) ( ) ( ) S,, 0, + De i e ii temos: A S S,, /, + ( ) ( ] ( ) Questão Determine as raízes em de 6 4z , na forma a+ bi, com a, b, que pertençam a { } S z ;< z+ <. 6 4z π kπ π kπ z 64 zk + cos + + i sen +, k 0,,,, 4, { ; ( ) } S z < z < tem como representação no plano complexo uma coroa circular de centro e raio variando entre e. Marcando no plano complexo as raízes e o conjunto S: Notamos então que apenas as raízes z, i z + i, z4 i e z5 i pertencem a S. Questão f x ln x + x+, x. Determine as funções h, g: função par e g uma função ímpar. Seja ( ) ( ) tais que f ( x) g( x) h( x), x, Para toda função definida em um domínio simétrico vale f ( x) + f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) +, em que a primeira parcela da soma é par e a segunda é ímpar. f ( x) + f ( x) f ( x) f ( x) g( x) e h( x) + sendo h uma 7

18 ( ) ( ) ln ( x + x + )( x x + ) ln x + x + + ln x x + g( x) ln x + x+ x x+ x + x+ ln ln ( x + x + ) ln( x x + ) x x+ x + x+ h( x) ln. x x+ ( )( ) Questão 4 Sejam α, β, γ. Considere o polinômio p(x) dado por 5 4 x 9x + α β γ x + α+ β+ γ x + α β γ+ x+ α+β+γ ( ) ( ) ( ) ( ) Encontre todos os valores de α, β e γ de modo que x 0 seja uma raiz com multiplicidade de p(x). Para que x 0 seja raiz. é preciso que α+β+γ 0. Derivando p( x ), temos: 4 ( ) ( ) ( ) p' x 5x 6x + α β γ x + α+ β+ γ x+α β γ+ Assim, α β γ+ 0 Derivando p' ( x ), temos: p'' ( x) 0x 08x + 6( α β γ ) x+ ( α+ β+ γ ) Assim, α+ β+ γ 0 α+β+γ Resolvendo o sistema α β γ encontramos α 0, β e γ β. α+ β+ γ Para termos 0 como uma raiz de multiplicidade devemos garantir que α β γ 0 (caso contrário terá multiplicidade 4). Desta relação temos: 0 β + β 0 β. {(,, ) /(,, ) ( 0,, ), { } } S α β γ α β γ β β β Questão 5 t Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A A. Determine todas as matrizes que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal. a c A c b, pois A é simétrica. t a c A A c b, pois A é ortogonal. 0 a c a c 0 A A 0 c b c b 0 a + c () ( ) ( ) ac + bc 0 c + b De () e ( ) vem: a b a ± b 8

19 ) Se a b: bc + bc 0 b 0 ou c 0.) a b 0 c c± 0 A 0 0 ou A 0.) c 0 a b± 0 A 0 ou 0 A 0 ) Se a b: c b b c + ±, em que c [, ] c A c c ou A c. c c c c em que c [, ]. Notemos que para c ou c voltamos ao caso.. π π Determine todos os valores α, tais que a equação (em x) 4 4 x x + tgα 0 admita apenas raízes reais simples. 4 4 x x + tgα 0 x ± α 4 4 4tg Questão 6 x ± tgα x ± ± tgα Para que as raízes sejam reais e distintas devemos ter: tgα > 0 e tgα > 0 tg α< e tg α> 0 tg 0 ] 0, / [ S π 9

20 Questão 7 Em um espaço amostral com uma probabilidade P, são dados os eventos A, B e C tais que: P( A) P( B) /, independentes, P( A B C) /6, e sabe-se que P( ( A B) ( A C) ) /0. C PC ( A B) PC A B. e ( ) com A e B Calcule as probabilidades condicionais P( A B ) A probabilidade condicional P(A/B) P B Assim P(C/A B) C ( / B ) ( ( )) P( A B) PC A B C ( ( )) C P( A B ) PC A B PC A Temos P( ( A B) ( A C) ) ( ) 6 / / P( A B) + P( A C) P( A B C) PA ( C) PA ( C) c Assim, PC ( / A B ) Observação /0. /4 5 (( ) ) ( ) C ( ) ( ) P A C B + P A C B P A C (( ) ) 9 C + P A C B 6 80 C 9 P( ( A C) B ) Questão 8 Um triângulo acutângulo de vértices A, B e C está inscrito numa circunferência de raio 5. BC mede. Determine a área do triângulo ABC. Sabe-se que AB mede 5 e A 5 R 5 B C Lei dos senos: 4 R senα cosα senα R senγ cosγ senγ 0 0, pois α ] 0, π / [, pois γ ] 0, π / [ No Δ ABC : α+β+γ 80º senβ sen( α+γ ) 0

21 senβ senα cosγ+ senγ cosα senβ 0 Seja S a área do Δ ABC : 0 S AB BC senβ 5 0 S 6. Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro de C. Considere o triângulo eqüilátero BDE inscrito em C. Traça-se a reta s passando pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à circunferência C no ponto A. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo arco AE e pelos segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB. Questão 9 No Δ OPE : OE r r OP r PE Da semelhança entre os triângulos OPE e OAF : AF r Seja V o volume do sólido pedido: π AF AO π PE PO π AP V Vtronco Vcalota OE AP ( ) r r r r π r r π r π V V π r ( )

22 Questão 0 Considere a parábola de equação y ax + bx+ c, que passa pelos pontos (, 5 ), (, ) e tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente á parábola no ponto (, 5 ). 4a+ b+ c 5 Como a parábola y ax + bx+ c, passa pelos pontos ( ;5 ) e ( ; ) temos, a b + c Como a ; b ; c estão em PA,.. podemos afirmar que a b r e c b+ r, onde r é a razão da PA.. 4( b r) + b+ b+ r 5 Assim b r b + b + r r e b Logo f ( x) x + x+ 5 Derivando f ( x ), temos f '( x) x+, no ponto ( ;5 ), f ' ( ), coeficiente angular da reta tangente à parábola no ponto (; 5), assim a equação da reta tangente à parábola é x+ y A distância do ponto ( ; 6 ), vértice da parábola, à reta x+ y 9 0 é d. 4+ d 5. 5

23 Professores Bernadelli Marcelo Moraes Moraes Ney Marcondes Revisão Diego Bernadelli João Neto Digitação e Diagramação Antônio A. Vítor Márcia Samper Pedro Naves Plínio Lagares Val Pinheiro Vinícius Eduardo Projeto Gráfico Antônio Vitor Vinícius Eduardo Supervisão Editorial Alício Leva Rodrigo Bernadelli Marcelo Moraes Copyright Olimpo007 As escolhas que você fez nessa prova, assim como outras escolhas na vida, dependem de conhecimentos, competências, e habilidades específicos. Esteja preparado.

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