MATEMÁTICA QUESTÃO 02. BC 7, calcule

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2 (9) -0 O ELITE RESOLVE FUVEST 008 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA MATEMÁTICA QUESTÃO 0 João entrou na lanchonete BOG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, sucos de laranja e cocadas, gastando R$ 7,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 0,00, calcule o preço de cada um desses itens. Chamando de H o preço de um hambúrguer, L o preço de um suco de laranja e C o preço de uma cocada, podemos montar o seguinte sistema a partir do enunciado: H + L+ C = 0,00 ( I) H + L+ C =,0 ( II) 8H + L+ C = 7,00 ( III) Multiplicando a equação (I) por ( ) e somando em (II) e multiplicando a equação (I) por ( 8) e somando em (III), o sistema fica: H + L+ C = 0,00 ( I) L+ C = 8,0 ( IV) L+ C =,00 ( V) Resolvendo o sistema formado por (IV) e (V), temos: L+ C = 8,0 6L C =,0 L =,0 L =,0. L+ C =,00 L+ C =,00 Substituindo em (IV): L+ C = 8,0,0 + C = 8,0 C =,0 Substituindo em (I) H + L+ C = 0,00 H +,0 +,0 = 0 H = 4,00 Assim, o preço de um hambúrguer é R$4,00, o preço de um suco de laranja é R$,0 e o preço de uma cocada é R$,0. QUESTÃO 0 No triângulo ABC, tem-se que AB > AC, AC = 4 e cos Cˆ =. 8 Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR BR 4 = AC e = BC 7, calcule a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. b) a área do triângulo ABR BR 4 Como =, seja BR = 4x, logo, BC = 7x, e por isso, RC = 7x - 4x BC 7 = x. Como AR = AC, temos que o triângulo ACR é isósceles, logo, a altura AH desse triângulo divide a base CR de tal modo que RC x CH = RH = = =, x, conforme figura abaixo: a) Como cos Cˆ =, temos pela Relação Fundamental que: 8 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sen C + cos C= sen C + sen C senc 8 = = = 64 8 No triângulo AHC, temos: ˆ AH h senc = = h = b) Ainda no triângulo AHC, temos: ˆ CH,x cosc = = x = Assim, BR = 4x = 4. Como h = BR, temos que: também é altura do triângulo ABR, relativa à base A ABR = b h = 4 = QUESTÃO 0 Um polinômio de grau possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 4. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é, determine a) a progressão aritmética. b) o coeficiente do termo de grau desse polinômio. a) Sejam a, b e c as três raízes do polinômio, em ordem crescente. Como as raízes estão em progressão aritmética, vale que: a + c b = a + c = b Agora, como a soma desses três termos vale 9, temos: 9 9 a + b + c = b + b = b = 6 Assim, a + c = b = a + c =. Sendo c a maior raiz e a a menor raiz, temos ainda: c a = ( c + a) ( c a) = ( c a) = c a = 4 Logo: 7 6 a = a + c = c a 4 = c = Desse modo, a progressão aritmética pedida é: 7 A,, b) Seja p(x) o polinômio de grau considerado. Então p pode ser escrito como: px ( ) = ax + ax + ax + a0 Utilizando as relações de Girard, vem que: a a b a c b c a = + + Como o coeficiente do termo de maior grau é a, que de acordo com o enunciado vale, temos: 7 7 a = a ( a b + a c + b c) = + a = 7

3 (9) -0 O ELITE RESOLVE FUVEST 008 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA QUESTÃO 04 O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo eqüilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura. Assim, determine a) a razão entre R e r. b) a área do triângulo DEF em função de r. Considere a figura a seguir: O A C T A partir da figura, temos: i) C é o centro da circunferência menor; ii) O é o centro da circunferência maior; iii), Q e T são pontos de tangência; Assim, temos que O = R, CT = CQ = r, AO = R r e OC = R+r. Considerando-se os triângulos CTF e CQF, temos CT = CQ, TF = QF (segmentos tangentes à circunferência) e CF é comum a ambos. Logo, os triângulos são congruentes pelo caso LLL. Assim, segue que o ângulo TFC ˆ mede 0º. Observe que o segmento CF é o prolongamento de OC, de modo que, como AC//F, temos que o ângulo ACO ˆ mede 0º. a) Considerando o triângulo ACO, temos: R r o R r senaco ˆ = = sen0 = R + r R + r R R + r = R r R = r =. r b) Sabendo-se que o triângulo DEF é eqüilátero, e que R é o raio da circunferência inscrita à DEF, temos que vale a relação R = h, onde h é a altura do triangulo DEF. Seja L o lado do triângulo DEF. Assim: L 6R R = L = L = R. Como a área de um triângulo eqüilátero de lado L é dada por temos: ( R) A DEF = = R. 4 Do item (a), sabemos que R=r. Assim: A DEF = R = (r) = 7r u.a. Q L 4, QUESTÃO 0 A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π < x <π a equação senx + senx + senx = 0 Assim, a) determine x. b) calcule cosx + cosx + cosx. e verifica a) Do enunciado temos senx + senx + senx = 0. Rearranjando os termos e fazendo a transformação a+ b a b sena + senb = sen cos temos: senx + senx + senx = 0 x + x x x senx + sen cos 0 = senx + senx cosx = 0 Colocando senx em evidência: senx = 0 ( I) sen x (+ cosx) = 0 ou + cosx = 0 ( II) ortanto, de (I) temos: k π senx = 0 x = k π x =, k Z Assim, a equação acima não admite solução no intervalo π < x <π or sua vez, de (II) temos: π + cos x = 0 cos x = x = π ± + k π, k Z π π Logo, no intervalo < x < π, temos que x =. b) Como x = π, temos que: π 4π cos x + cosx + cosx = cos + cos + cosπ = + = 0 QUESTÃO 06 São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x + y =, e o ponto = (, ) e a reta s que passa por e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. Assim sendo, determine a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OE. a) A circunferência em questão está centrada na origem e tem raio. Além disso, como x + y = + <, o ponto é um ponto interior à circunferência. A reta s, paralela ao eixo y, e passando pelo ponto, é a reta de equação x =. A situação está esquematizada na figura abaixo. y O E s x

4 (9) -0 O ELITE RESOLVE FUVEST 008 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA O ponto E tem abscissa xe =, já que pertence à reta s. Como ele também pertence à circunferência, temos + ye = ye = (aqui estamos descartando a possibilidade ye = porque, segundo o enunciado, a ordenada do ponto E deve ser positiva). Como a reta tangente à circunferência num determinado ponto é sempre perpendicular ao raio nesse ponto, a reta procurada é a reta perpendicular à reta OE no ponto E. Assim, se m OE e m as inclinações de cada uma das retas, temos: ye yo 0 moe = = = xe xo 0 m.m OE = m = = moe Logo: y ye = m (x x E) y = (x ) x + y = 0 b) As alturas do triângulo estão contidas nas retas que passam por cada vértice e são perpendiculares à reta suporte do lado oposto. Assim, para determinar o ortocentro (ponto de encontro das alturas) do OE, fazemos a intersecção de quaisquer duas retas dentre essas três. ara nosso problema, temos que uma das alturas está contida no eixo x (reta y = 0, que passa pelo ponto O e é perpendicular à reta E ), e outra altura está contida numa reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta OE (chamemos essa reta de r). Como a reta tangente determinada no item (a) também é perpendicular à reta OE, ela deve ser paralela à reta r, conforme a figura abaixo: a) edro só vencerá nos seguintes casos: edro José Total de maneiras 6,, ou 4 4,, ou 4 ou Total: 0 Ao se lançar dados, o número de resultados possíveis é 6.6 = 6, logo, temos que: 0 edro vencer = = 6 8 b) As probabilidades de edro e José vencer em qualquer rodada são as mesmas. Também temos que as probabilidades são mutuamente exclusivas. Logo, a probabilidade de nenhum dos dois vencer na primeira rodada é igual a: 8 4 Ambos perderem = edro vencer José vencer = = = c) A chance de nenhum participante vencer até a quarta rodada é igual a p= pninguém pninguém pninguém pninguém = = vencer vencer vencer vencer a na a na na na 4 a a Logo, a probabilidade de algum dos participantes vencer até a quarta rodada é igual a: 6 60 p= = y E O Ortocentro x QUESTÃO 08 Um poste vertical tem base quadrada de lado. Uma corda de comprimento está esticada e presa a um ponto do poste, situado à altura do solo e distando da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo, conforme indicado na figura. A corda é então enrolada ao longo das faces e, mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque duas arestas da face em pontos R e B, conforme a figura. s Assim, a equação da reta r será dada por: mr = m = y y = m r (x x ) y = (x ) Fazendo a intersecção dessa reta com o eixo x, temos: 0 = (x ) x = + Logo, o ortocentro do triângulo OE é o ponto ( +,0). QUESTÃO 07 Em um jogo entre edro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de a) edro vencer na primeira rodada. b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada. c) um dos participantes vencer até a quarta rodada. Nessas condições, a) calcule R. b) calcule AB.

5 (9) -0 O ELITE RESOLVE FUVEST 008 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA lanificando-se as faces e do poste, obtemos a seguinte figura: Como = e A =, temos, pelo Teorema de itágoras: = + A ' A ' = 4 Assim, temos que AB = 4 =, e nossa figura fica com as seguintes medidas: A partir do número complexo dado no enunciado, sua forma trigonométrica é: π π π = + i = cos + isen = cis a) Sabendo que =, (cisθ) n =cis(nθ) temos π π = = cis = cis Como cos( θ)=cis(π-θ) e sen( θ)=sen(π-θ), temos: 4 cis π cis π = = π = cis π = i Logo, Re = e Im = π π = cis = cis. = cisπ = Logo, Re( )= e Im( )=0. b) Como trigonométrica, o arco de 4π é o correspondente, no terceiro π quadrante do arco de e que o arco de π é o extremo positivo do eixo x, temos a seguinte representação gráfica: = = =, temos, sabendo que na circunferência a) Como RR //, temos que os triângulos A e ARR são semelhantes, de modo que: A AR AR = = AR = A' AR ' 4 4 Logo, R = A AR = = 4 4. b) Os triângulos A e ABB também são semelhantes. Assim: A AB AB = = AB = A' AB' 4 4 QUESTÃO 09 A figura na página de respostas representa o número = +i no plano complexo, sendo i = a unidade imaginária. Nessas condições, a) determine as partes real e imaginária de e de. b) represente e de na figura ao lado. c) Sabendo que z =0 é uma equação de grau, ela tem raízes complexas, que são as raízes cúbicas de, pois z = 0 z =. Tal equação é chamada de equação ciclotômica, sendo uma particularidade da equação z n = 0. As raízes de tal equação são, no plano complexo, os vértices de um polígono regular centrado na origem de uma circunferência de raio, sendo que um desses vértices é o ponto (,0). Assim, as raízes dividem tal circunferência unitária em arcos π congruentes de medida n (no caso π ). ortanto, para a equação pedida, sendo z, z e z suas raízes, temos: π 4π z =, z = cis e z = cis. π 4π S=, cis, cis. Obs.: Essas raízes estão representadas geometricamente no item b desta questão. c) determine as raízes complexas da equação z = 0. 4

6 (9) -0 O ELITE RESOLVE FUVEST 008 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA QUESTÃO 0 edrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero. Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio cm, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo. Observando a secção que passa pelo bordo do copo, temos a seguinte representação: O raio da circunferência circunscrita a um triângulo eqüilátero de lado L é igual a / de sua altura, logo: L L R = h= = L = 6cm A parte do cubo que ficou no interior do copo é um tetraedro triretângulo, onde uma face é um triângulo eqüilátero de lado L = 6cm, e as outras faces são triângulos retângulos isósceles. Sendo x as medidas dos lados desses triângulos, temos que: x + x = 6 x = 6 x = 8 x = 8 = cm odemos então representar esta região: Assim, o volume desse tetraedro é igual a: V = AB h= = 9 cm