FUVEST Você na elite das universidades! MATEMÁTICA ELITE SEGUNDA FASE

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1 Fone: (9) -7 O ELITE RESOLVE IME 00 PORTUGUÊS/INGLÊS Você na elite das universidades! FUVEST 00 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA

2 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA MATEMÁTICA. O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5,,,, 0 e. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 0% superior à média obtida na primeira rodada? Sendo M a média de gols na ª rodada, temos: M,5 6 Seja M a média de gols nas ª e ª rodadas. Logo: M M + 0, M M,5 + 0,,5,0 S + S Portanto,, onde S é o total de gols na ª rodada, e S o total de gols na a rodada. Assim, temos: 5 + S S 8 Logo, devem ser marcados 8 gols na segunda rodada.. Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 0 km de A. Sabendo-se que P está 0 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro. y /y De acordo com a figura acima, temos: d AB y d BC (/)y d BP x d PC x 0 d AP y + x Como d BC d BP + d PC, temos então: d BC d BP + d PC (/)y x + x 0 y x 0. Além disso, d AP d AB + d BP, logo: d AP d AB + d BP 0 y + x x 0 + x 0 x 0 x 60 Portanto, a distancia a ser percorrida é de 60 km.. Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB 5, BC e AC. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo AC ˆ B e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. A B x P x-0 C

3 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA C h B A N M Pela figura acima, temos que: h AN e h (5 AN) Utilizando essas igualdades: AN (5 AN) AN /0. Assim, aplicando o Teorema da bissetriz interna no ABC, temos que: AM MB /0 + MN 5 /0 MN MN AC MC. Considere a equação z αz + (α ) z, onde α é um número real e z indica o conjugado do número complexo z. a) Determinar os valores de α para os quais a equação tem quatro raízes distintas. b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando α 0. a) Seja z x + yi. Assim: z αz + (α ) z (x + yi) α(x + yi) + (α )(x yi) (x y ) + xyi αx + iαy + αx iαy x + iy Se y 0: Se x ½: x y αx x xy y y 0 ou x x αx x x 0 ou x α y α y α y ± Para que se tenha raízes distintas, devemos ter y real, logo: α > 0 α < α 0 b) Se α 0, temos que: Para y 0: z i 0 z ( 0 ) + 0i Para x ½: z + + i z i

4 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA Im(Z) Z - 0 Z Z / Re(Z) - Z 5. O produto de duas das raízes do polinômio p(x) x mx + x + é igual a. Determinar a) o valor de m. b) as raízes de p. a) Sejam a, b e c as raízes de p(x), com a b. Assim, pelas relações de Girard, temos que: a b c c c Logo, é uma raiz de p(x), então: p 0 m m 7 b) é raiz de p(x) x 7x + x +. Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos: / Assim, as outras duas raízes são da equação x x + 0: x ± 8 x + 0 x ± Portanto: S,+, 6. A figura abaixo representa duas polias circulares C e C de raios R cm e R cm, apoiadas em uma superfície plana em P e P, respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P e P é cm, determinar o comprimento da correia.

5 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA P R C R C P P cm P A O β R C P P α P R C O B Sejam O e O os centros das circunferências C e C, respectivamente. Temos: O B//PP O B O B Aplicando o Teorema de Pitágoras no O BO : ( O B) + ( OB) + ( ) (OO ) OO 6 O quadrilátero O P P O é congruente ao quadrilátero P O O P, logo, P P. Ainda no O BO, temos que: senα O B/OO /6 / α 0º β 60º Desse modo, temos que: P ÔO 60º Então: P AP 60º 60º 60º 0º P ÔO 0º + 90º 0º PÔ O Então: P BP 60º 0º 0º 0º Assim, o comprimento da correia será: C P AP + P P + P AP + P P C (0º/60º) π + + (0º/60º) π + C 6π + cm 6 C 6 ( π + ) cm

6 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA 7. Na figura ao lado, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo Bˆ o ângulo reto. Sabendo-se que A (0,0), B pertence à reta x y 0 e P (,) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar as coordenadas a) do vértice B. b) do vértice C. C P. B A a) A distância de P à reta AB: x y 0 é igual ao raio da circunferência. Assim, temos que o raio vale:. R d 5 P, AB + Como BC é perpendicular à AB, temos que BC é da forma x + y + c 0. A distância de P até a reta BC também será igual ao raio, logo:. + + c d P, BC c 5 c 5 ou c 5 + Assim, temos que BC: x + y 5 0 (BC: x + y 5 0 não convém, pois essa reta corta o eixo x no ponto (5/, 0), o que não satisfaz a figura.) Fazendo então a intersecção das retas AB e BC: x y 0 x 6 e y x + y 5 0 Logo, B (6, ). b) A reta AC é da forma y mx, ou seja, mx y 0. A distância de P à reta AC também é igual ao raio da circunferência, logo: m d 5 9m m + 6 5m + 5 P, AC m + m / m - m 0 + m / (não convém) Assim, temos que AC: y (/)x. Fazendo a intersecção de AC com BC: y x x e y x + y Logo, C (, ). 5

7 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA 8. Na figura ao lado, cada uma das quatro circunferências externas tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C. Se o raio de C é igual a, determinar a) o valor de r. b) a área da região hachurada. c r r r r r a) Unindo os centros das circunferências da figura, obtemos um quadrado de lado r, e diagonal r +. Como a diagonal de um quadrado de lado r vale r, temos que: r r + r( -) r ( + ) b) A área da região hachurada será igual a área do quadrado de lado r, retirando as áreas dos setores circulares de raio r e ângulo 90º e do círculo de raio. Assim, temos que a área pedida será: 90º A ( r). π r π 60º r +, temos então que: Como ( ) A 8( 6 + π π ) 6

8 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA 9. Seja m 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) x x + e g(x) mx + m. a) Esboçar, no plano cartesiano representado ao lado, os gráficos de f e de g quando m e m. b) Determinar as raízes de f(x)g(x) quando m. c) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação f(x)g(x). x a) quando m, temos que g(x) +, e quando m, g(x) x +. Nessas condições, os gráficos das funções f(x) e g(x) são: f(x) g(x) (m/) g(x) (m) b) Se f(x) g(x), para m, temos que: x x + x/ + ; Se x 0: Se x < 0: Logo: x x + x/ + x 5x/ 0 x 0 ou x 5/ x + x + x/ + x + x/ 0 x 0 ou x / S {0, 5/, /} c) Para x 0: f(x)g(x) x + x( m) + m 0 x m - ± m + m 7

9 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA Nenhuma raiz real: m + m < 0 < m < 0 Uma raiz real: m + m 0 m ou m 0 m + m > 0 e m - + m + m > 0 < m Duas raízes reais: m + m > 0 e m - + m + m 0 0 < m e m < Para 0<x: Nenhuma raiz real: Pelo gráfico m < 0 f(x)g(x) x x(m + ) + m 0 x m + ± m + m Uma raiz real: m + m 0 e m + m > 0 e m + ± m + m > 0 m 0 m + - m + m 0 m Duas raízes reais: m + m > 0 e m + - m + m > 0 0 < m < Efetuando a soma das raízes nos intervalos: m x 0 0 x> Soma 0 Logo: Nenhuma raiz: < m < 0 Uma raiz: m Duas raízes: m < ou m 0 ou < m Três raízes: m Quatro raizes: 0 < m < 0. No sólido S representado na figura ao lado, a base ABCD é um retângulo de lados AB λ e AD λ; as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento λ. Determinar, em função de λ, o volume de S. C 8

10 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA Dividimos o sólido S em outros sólidos. As pirâmides FDAGH e EIJCB (congruentes), e o prisma triangular FHGEIJ. h FF' λ h E h λ λ T λ Assim, a pirâmide FDAGH tem altura λ λ e aresta da base, logo, seu volume será: λ λ λ 9

11 Fone: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE FUVEST 00 ª FASE MATEMÁTICA O volume da pirâmide EIJCB também será. Já o prisma triangular FHGEIJ tem altura EFλ e a base será o FHG: λ λ λ A AFG λ λ λ VPr isma λ λ λ 5λ S + S 00% de aprovação na primeira fase da Unicamp 00 (turma Exatas: Engenharia e Medicina)! 0

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