p a p. mdc(j,k): máximo divisor comum dos números inteiros j e k. n(x) : número de elementos de um conjunto finito X. (a,b) = {x : a < x < b}.

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1 MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {0,,,,...} : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i = Izl: módulo do número z z : conjugado do número z Re z: parte real de z Im z: parte imaginária de z ( n p): número de combinações de n elementos tomados p a p. mdc(j,k): máximo divisor comum dos números inteiros j e k. n(x) : número de elementos de um conjunto finito X. (a,b) = {x : a < x < b}. Obs.: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais. D Se A, B, C forem conjuntos tais que n(a B) =, n(b A) =, n(c A) = 0, n(b C) = 6 e n(a B C) = 4, então n(a), n(a C), n(a B C), nesta ordem, a) formam uma progressão aritmética de razão 6. b) formam uma progressão aritmética de razão. c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é. d) formam uma progressão aritmética de razão 0, cujo último termo é. e) não formam uma progressão aritmética. As informações apresentadas permitem construir o diagrama de Venn-Euler seguinte: ) n(a B) = x + y + z = x + y + z = 7 ) n(a) = x + y + z + 4 = = ) n(a C) = x + y + z = = 4) n(a B C) = x + y + z = = = Assim: (; ; ) é uma P.A. de razão 0 cujo último termo é. I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

2 A Seja A um conjunto com 4 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é a) 8 9. b) 8. c) 8 6. d) 4 8. e) 8. Os subconjuntos de A que são disjuntos de B são subconjuntos de (A B). Como B A, n(a B) = n(a) n(a B) = n(a) n(b) = 4 6 = 8. O conjunto A B possui 8 9 subconjuntos, pois C 8;0 + C 8; + + C 8;6 = = 0 6 = = 8 8 = B Considere a equação: ix + i i 4 6 =. + ix i + i Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é a). b) 6. c) 9. d). e) ix 4 = + i i + ix i + i ) ix ix + i. ix = x = + ix ix i x x = xi x x =. i + x + x + x + i i + i + i ) = ( i + i ) = i i + i i i. x ) Se z =, temos + i. x 6z = (i) 4 z = z = ou z = + i ou z = i x x 4) i = x = 0 + x + x x + x x + x x i = + i x = + x x i = i x = + + x A soma dos quadrados das soluções é 0 + ( ) + ( ) = 6. I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

3 4 E Assinale a opção que indica o módulo do número complexo + i cotg x, x kπ, k. a) Icos xl b) ( + sen x)/ c) cos x d) Icossec xl e) Isen xl = = + i cotg x + cotg x = = = sen x cossec x cossec x I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

4 5 D Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então B / H é uma raiz do polinômio a) π x + π x + πx = 0. b) π x + π x + x + = 0. c) π x π x + πx + = 0. d) πx π x + πx = 0. e) x π x + πx = 0. ) No triângulo PMR, retângulo, temos PR = ) Da semelhança dos triângulos PMR e PNO, temos: MR NO B (H r) = r B + 4H (I), em que r é o raio do círculo inscrito no triângulo PQR. ) Se as áreas do retângulo, do triângulo isósceles e do círculo nele inscrito formam uma progressão geométrica, então BH BH; ; π r BH portanto, formam uma P.G. e, = BH. π r r BH = 4π BH r = 4π, pois r > 0 4) Substituindo r na equação (I), resulta B H =. B H H = = H B + H BH 4π BH 4π B 4πH B. B 4πH H + 4 B + H B PR = = PO r H r B + 4H I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

5 H 4π H.. +4 B B.. = B B = (II) 4π H H B 5) Fazendo = x, e substituindo em (II), temos: H x.. x =. x (x + 4) 4π 4π x. = (x + 4) x x x + = + x x 4π 4π 4π π π x 4π x 4π x = x x = x x 4π x x + = π π π π x π x + π x = 0 π x π I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

6 6 C Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão r, então r pertence ao intervalo a) (0, ( + )/). b) ( + )/, ( + 5 )/. c) ( + 5 )/, ( + 5 )/. d) ( + 5 )/, + /. e) + /, ( + )/). Seja um triângulo de lados a, ar e ar, com a > 0 e r > º) De acordo com a condição de existência desse triângulo, tem-se: ar < a + ar r r < < r < + 5 mas, como r >, então: < r < (I) º) Para que esse triângulo seja obtusângulo, deve-se ter ainda: (ar ) > a + (ar) r 4 r > r r > r r + 5 r > 0 r , + 5 > r< ou r > (II) º) Das desigualdades (I) e (II), tem-se finalmente: < r < I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

7 7 A Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo log k (xy) = 49, log k (x/z) = 44. Então, log k (xyz) é igual a a) 5. b) 6. c) 67. d) 80. e) 97. Considerando que: log k (xy) = 49 log k x + log k y = 49 () x log k = 44 log k x log k z = 44 () z Se log k x, log k y, log k z são números primos positivos, então pode-se concluir que log k x = 47, log k y = e log k z =, pois se a soma de dois primos é ímpar, então um deles é. Portanto, log k (xyz) = log k x + log k y + log k z = = = 5. 8 E Sejam x e y dois números reais tais que e x, e y e o quociente e x 5 4 e y 5 são todos racionais. A soma x + y é igual a a) 0. b). c) log 5. d) log 5. e) log e. e x 5 = e x e y. 5 = 4 e y. 5 4 e y e y. 5 = 4. e x + e x. e y e y e y Então e x. e y = 0, pois e x, e y e e x 5 são racionais 4 e y. 5 Assim: e x+y = 0 5. (e x + y 8) = 0 e x + y = 8 x + y = log e 8 =. log e I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

8 9 B Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z 5 é igual a. Sendo z + z + z + um fator de Q(z), Q(0) = e Q() = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q(z) é igual a a) 9. b) 7. c) 5. d). e). Sendo Q(z) = (z + az + b) (z + z + z + ), temos: Q(0) = b. = { Q() = 8 { ( + a + b) ( ) = 8 a = { b = Então, Q(z) = (z z + ) (z + z + z + ) e as raízes de Q(z) são tais que z z + = 0 ou z + z + z + = 0 ± 7 i z = ou (z + ) (z + ) = 0. As raízes de Q(z) são, portanto, os números 7 7 z = + i ; z = i ; z = ; z 4 = i ou z 5 = i. Assim, z + z + z + z 4 + z 5 = 7 7 = = = = 7 0 B Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x 6x + c, numa diferença de dois cubos (x + a) (x + b). Neste caso, a + b c é igual a a) 04. b ) 4. c) 4. d) 4. e) 44. Para que 9x 6x + c = (x + a) (x + b), devemos ter: 9x 6x + c = (a b)x + (a b )x + (a b ) a b = 9 a b = a b = 6 a b = a b = c a b = c a = b = 5 c = 7 Logo, a + b c = = 4 =4 I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

9 D Sobre a equação na variável real x, x = 0, podemos afirmar que a) ela não admite solução real. b) a soma de todas as suas soluções é 6. c) ela admite apenas soluções positivas. d) a soma de todas as soluções é 4. e) ela admite apenas duas soluções reais. x = 0 x = x = 0 Para x, temos: x + = x = x = 4 ou x = 0 Para x, temos: x = x 4 = x = 6 ou x =. O conjunto-solução da equação é: S = 4; 0; ; 6 e = 4 E Determine quantos números de algarismos podem ser formados com,,, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com ou, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. a) 04 b) 06 c) 08 d) 0 e) Sendo ou o algarismo das centenas, temos. ( ) = 6 números, pois apenas o 7 pode aparecer mais de uma vez. Para, 4, 5, 6 ou 7 como algarismo das centenas, resulta = 50 valores. O total de números, de acordo com o enunciado, é =. I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

10 D Seja x um número real no intervalo 0 < x < π/. Assinale a opção que indica o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade π x tg x cos sec(x) 0. a) π/ b) π/ c) π/4 d) π/6 e) π/ Sendo 0 < x <, temos: π x.tg x. cos. sec x 0. cotg x. 0 cos x cos x. cotg x. - 0 π cos x + cos x. cotg x cotg x tg x 0 < x tg x π 6 Assim, o comprimento do menor intervalo que contém π todas as soluções da desigualdade é. 6 I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

11 4 C Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A B, sendo: A = x k = sen : k =, e B = y k = sen : k =,. a) 0 b) c) d) + / e) + / Sendo: A = x k = sen k. π : k =, = = x = sen π : x = sen 4π 4 B = y k = sen (k + 5). π : k =, = = y = sen 8. π ; y = sen. π 4 temos: A B = {x, x, y, y } Portanto: x + x + y + y = = sen π +sen 4π +sen 8π +sen π = k π 4 (k + 5) π = sen π + sen π + sen π + cos π = = + + = I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

12 5 C Sejam A = (a jk ) e B = (b jk ), duas matrizes quadradas n x n, onde a jk e b jk são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por j k a jk =, quando j k, a jk =, quando j < k k j e jk b jk = ( ) p jk. p p=0 O traço de uma matriz quadrada (c jk ) de ordem n x n é definido por n p = c pp. Quando n for ímpar, o traço de A + B é igual a a) n (n )/. b) (n ) (n + )/4. c) (n n + )/(n ). d) (n )/n. e) (n )/(n ) n O traço da matriz C = A + B é c pp tal que p = p c pp = + ( ) p, pois: p ) b jk = ( ) p jk. = ( ) 0 jk. + ( ) jk. + p 0 + ( ) jk ( ) jk jk. = ( ) jk = ( ) jk jk j ) a jk =, quando j = k. k Portanto, o traço da matriz C = A + B é n p = c pp = c + c c nn = = + ( ) + + ( ) n ( ) n n Se n é ímpar, então n p = jk p = 0 n c pp = ( ) = n (n ). (n ) n = n = = n + n n I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

13 6 A Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas x = y, x = y e x = y + 0. A área desse triângulo mede a) 5/. b) /4. c) /6. d) 9/4. e) 7/. I. O ponto A é a intersecção entre as retas de equações x = y e x= y + 0 e, portanto, suas coordenadas são as soluções do sistema x = y x = A (; 4) x = y + 0 y = 4 II. O ponto D é a intersecção entre as retas de equações x = y e x = y + 0 e, portanto, suas coordenadas são as soluções do sistema x = y x = D 5; x = y + 0 y = III.Sendo S a área do triângulo ABD, delimitado pelas retas x = y, x = y e x = y + 0, temos: S = S ABC S BCD = = 5 I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

14 7 A Sejam A:(a, 0), B:(0, a) e C:(a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x, y) cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C. a) x + y xy ax ay + a = 0 b) x + y + xy + ax + ay + a = 0 c) x + y xy + ax + ay + a = 0 d) x + y xy ax ay a = 0 e) x + y + xy ax ay a = 0 Sendo A(a;0), B(0;a), C(a;a) e P(x;y), temos: x y º) reta AB: + = x + y a = 0 a a º) distância de P à reta AB: x + y a d P,AB = º) distância entre os pontos P e C: d P,C = (x a) + (y a) x + y a 4º) d P,AB = d P,C = = (x a) + (y a) (x + y a) =. [(x a) + (y a) ] x + y xy ax ay + a = 0 I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

15 8 B Seja P n um polígono regular de n lados, com n >. Denote por a n o apótema e por b n o comprimento de um lado de P n. O valor de n para o qual valem as desigualdades b n a n e b n > a n, pertence ao intervalo a) < n < 7. b) 6 < n < 9. c) 8 < n <. d) 0 < n <. e) < n < 5. ) Sem perda de generalidade, consideremos dois polígonos (de (n ) e n lados), inscritos no mesmo círculo de raio R, como se vê na figura seguinte. π b em que tg = =. ( n n ) a n π b e de modo análogo, tg =. n n a n ) De 0 < b n a n e b n > a n > 0, tem-se: b b.) n. n a n a n π π tg < = tg n 6 π π assim: < n > 6 (I) n 6 b n b.) >. n > a n a n ( ) ( ) b n a n ( ) ( ) ( ) π π tg > > = tg n 8 π π assim: > n < 8 n < 9 (II) n 8 ) De (I) e (II), tem-se, finalmente: 6 < n < 9 I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

16 9 E Sejam P e P octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A a área de P e A a área de P, então a razão A / A é igual a a) 5/8. b) 9 /6. c) ( ). d) (4 + )/8. e) ( + )/4. Sejam a e a = R as medidas dos apótemas dos octógonos P e P, respectivamente. Como cos (x) =. cos x, temos. π cos =. cos π + = 8 8 =. cos π cos π = +, pois cos π > 0 8 No triângulo AOM, temos: a a cos π = + = 8 R 4 R a = R + 4 Assim, A = A a a + + = 4 = R 4 R I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

17 0 C Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a cm e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é /, a altura do tronco, em centímetros, é igual a a) ( 6 ) / 4. b) ( 6 ) /. c) ( 6) /. d) ( ) / 6. e) ( 6 ) /. Sendo a a medida, em centímetros, de cada aresta da base menor do tronco e x a medida, em centímetros, da altura do tronco, temos: a h a º) = = a = H º) A área da base maior, em centímetros quadrados, é: 6. A B = = 6 4 º) A área da base menor, em centímetros quadrados, é: A b = = 4º) O volume do tronco, em centímetros cúbicos, é dado por: V = x (A B + A b + A B. A b ) = = ( ) = x ( + 6 ) Assim: x ( + 6 ) = x = x = 6. ( ). 4 x I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

18 As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que A B C = {x : x + x }, A B = {x : 8 x. 4 x x > 0}, A C = {x : log(x + 4) 0}, B C = {x : 0 x + 7 < }. Considerando-se que: ) x + x x + x 0 x ou x ) 8 x. 4 x x > 0 x. x 4 > 0 x > ou x < x < ) log (x + 4) 0 0 < x < x 7 5 4) 0 x + 7 < x < 5) (A B C) (A B) (A C) (B C) = C 6) pode-se concluir que 5 C = {x 4 < x < ou x = ou x } 5 Resposta: C = {x 4 < x < ou x = ou x } I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

19 Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que z z + = e 0 < z i. z i z + i Se z = a + bi, então a bi a + bi ) + = a + bi i a bi + i (a bi).(a bi + i) + (a bi).(a bi + i) + + (a + bi i).(a + bi) = (a + bi i).(a bi + i) (a b + 6b) + a(b i)i = a + b b + a b + 6b = a + b b + a(b ) = 0 b b + = 0 a = 0 ou b = b = ou b = a = 0 ou b = (a = 0 e b = ) ou (a = 0 e b = ) ou a e b = ) 0 < a + bi i 0 < a + (b ) De () e (), temos: a = 0 e b = e, portanto, z = i Resposta: A = {i} Seja k um número inteiro positivo e A k = {j : j k e mdc(j, k) = }. Verifique se n(a ), n(a 9 ), n(a 7 ) e n(a 8 ), estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, especifique a razão. A k = {j ; j k e mdc (j; k) = } e k um número inteiro positivo, então n (A k ) = k k de., quando k é múltiplo 9 Assim: n (A ) = =, n (A 9 ) = 9 = 6, 7 8 n (A 7 ) = 7 = 8 e n (A 8 ) = 8 = 54. n (A Como 9 ) n (A = 7 ) n (A = 8 ) =, os números n (A ) n (A 9 ) n (A 7 ) n (A ) =, n (A 9 ) = 6, n (A 7 ) = 8 e n (A 8 ) = 54, nesta ordem, estão em progressão geométrica de razão. Resposta: Estão em progressão geométrica, de razão. I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

20 4 Considere a equação: x p + x = x. a) Para que valores do parâmetro real p a equação admite raizes reais? b) Determine todas essas raízes reais. Sendo x (I), temos: x p + x = x (x p) + 4 (x p).(x ) + 4.(x ) = x 4 (x p).(x ) = p 4(x ) 6(x p)(x ) = = p 8p(x ) + 6(x ), se x e x p 0 (II) Assim: 6x 4 6x 6px + 6p = = p 8px + 8p + 6x 4 x + 6 6x 8px = p 8p + 6 x (4 p) 4 p = x =, pois x 8( p) 4 p Para que a equação admita raízes reais, devemos ter: p < 4 p > 0 p x p x p + 4 p x 4 p < (4 p) p p < 8( p) p(p 4) 0 (4 p) p + 4 8( p) 4 p p < 4 0 p 0 p p Respostas: a) 0 p b) x = 4 p I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

21 5 Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema log [(x + y)(w z) ] = 0, x+z 8. y z+w = 0, x + y + 6z w = 0. ) log [(x + y) (w z) )] = 0 (x + y) = x + y = w z w z x + y + z = w (I) ) x + z 8. y z + w = 0 x + z = + y z + w x + z = + y z + w x y + 6z = + w (II) ) x + y + 6z w = 0 x + y + 6z w = 8 x + y + 6z = w + 8 (III) De (I), (II) e (III), fazendo w = k, temos: x x + y + z = k x + y + z = k y + 6z = + k x 5y = k x + y + 6z = k + 8 y = 8 + k x + y + z = k x = 8 x 5y = k y = 8 5 y = z = 8 5 x = + k y = z = w = k, k Resposta: (x, y, z, w) = + k,,, k, k 5 I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

22 6 Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, moça e rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? Das C 9,5 = 6 comissões possíveis sem nenhuma restrição, só não serve aquela constituída pelos cinco rapazes. Logo, tal comissão poderá ser formada de 6 = 5 formas distintas. Resposta: 5 formas distintas I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

23 7 Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado BC, considere, a partir de B, os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma progressão geométrica decrescente. Se β for o ângulo EA^D, determine tg β em função da razão r da progressão. Sendo AB = BC = x e BC, BD, DE e EC, nesta ordem, termos de uma progressão geométrica decrescente de razão r, temos: BD = xr, DE = xr e EC = xr I) No triângulo ABD: tg α = xr tg α = r x II) No triângulo ABE: tg (α + B) = xr + xr tg α + tg β = r + r x tg α. tg β r + tg β = r + r r tg β r + tg β = r + r r tg β r tg β tg β + r tg β + r tg β = r r tg β = (I) + r + r Por outro lado, tem-se: x = xr + xr + xr r + r = r (II) De (I) e (II), tem-se finalmente: tg β = r tg β = r + ( r) r Resposta: tg β = r r I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

24 8 Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferências C e C, que se tangenciam exteriormente em P:(5, 0). O ponto Q:(0, ) é o centro de C. Determine o raio da circunferência C, sabendo que ela tangencia a reta definida pela equação x = y. º)Sendo Q(0;) o centro de C e T(5;0) o ponto de tangência das circunferências, temos: TQ = (0 5) + ( 0) = 9, como raio de C. º)A distância de Q(0;) à reta x y = 0 é 0 d = = º)A distância de T(5;0) à reta x y = 0 é d = = Portanto, d d = 5 = 4º)Sendo semelhantes os triângulos assinalados na figura, temos: r 9 5 r = 5. 9 r. 9. r = r. ( 9 ) = ( 9 + ) r = = ( 9 ). ( 9 + ) = = Resposta: 49 I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

25 9 Seja C uma circunferência de raio R inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja C uma segunda circunferência, de raio R, que tangencia dois lados do triângulo internamente e C externamente. Calcule (R R )/h. Sejam O e O os centros das circunferências C e C, respectivamente. Como o triângulo ABC é eqüilátero, temos: h h R = e portanto AH = O triângulo AB C é eqüilátero, pois é semelhante ao triângulo ABC e, portanto, h h R =. AH =. = 9 Logo, h h R R 9 h h = = = h h 9h 9 R Resposta: R = h 9 I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

26 0 Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8/ cm, encontram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas. º)Se a for a medida (em centímetros) de cada aresta do cubo, então cada aresta do tetraedro regular terá medida (em centímetros) igual a a e seu volume (em centímetros cúbicos) será expresso por (a ). = 8 Assim: = a = a a º)O volume da parte do cubo exterior às esferas é igual à diferença entre o volume do cubo e oito oitavos do volume de uma dessas esferas. Assim, sendo V o volume procurado, em centímetros cúbicos, tem-se: V = 4. π. = 4 4π = 4 (6 π) 4 (6 π) Resposta: cm I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

27 COMENTÁRIO E GRÁFICO Prova extremamente longa, composta de questões difíceis e que exigiram dos candidatos mais bem preparados muita energia e determinação nas extensas resoluções. I T A ( º d i a ) - D e z e m b r o / 0 0 6

a k. x a k. : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i 2 = 1 z : módulo do número z z: conjugado do número z M m n

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