Prof: Danilo Dacar Matemática

Transcrição

1 1. (Unicamp 015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ. No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α. Sabe-se, também, que cos( α) cosα 1 0 Nessas condições, calcule: a) o valor de sen α ; b) o comprimento do lado AC. a) ara θ 60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular. b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r.. (Fuvest 015) Um alfabeto minimalista é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n 1, é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. or exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e #* * # é uma palavra de comprimento 4. Usando esse alfabeto minimalista, a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas? b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar de palavras de tamanho menor ou igual a N?. (Unicamp 015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (G) de números reais, com razão q 0 e a 0. a) Mostre que 1 x é uma raiz do polinômio cúbico q p(x) a bx cx dx. b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y, a c x e. Determine para que valores da d b y f razão q esse tem solução única. 4. (Fuvest 01) 5. (Fuvest 01) a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 5, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio. 6. (Fuvest 014) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou se uma balança de dois pratos. Verificou se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por: i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas. Sendo A, B e R, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine a) os quocientes A B ; e R B b) o número A n de bolas azuis e o número B n de bolas brancas no recipiente. ágina 1 de 7

2 7. (Unicamp 014) O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o das mulheres é 65 kg. a) Quantos homens frequentam a academia? b) Se não são considerados os 10 alunos mais pesados, o peso médio cai de 75 kg para 7 kg. Qual é o peso médio desses 10 alunos? 8. (Unicamp 01) Considere a matriz 1 α A α 1 que depende do parâmetro real 1 α α 0. a) Calcule a matriz A A α α. b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas x é transformado pela matriz A α em um novo y ponto da seguinte forma: x αy x' x α 1. ' A y y xy α Calcule o valor de α, sabendo que o sistema x 6 A α admite solução. y ágina de 7

3 Tarefa de Revisão: 1. (Fuvest 01) Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas: 1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa; ) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa. a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo? b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?. (Unicamp 01) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura a. Inclina-se lentamente o cubo, 4 girando-o em um ângulo θ em torno de uma das arestas da base, como está representado na figura abaixo. passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa G. b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S, a nova sequência que se forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r de S, para o π caso em que r π. 4. (Fuvest 014) Considere o triângulo equilátero Δ A0OB0 de lado 7cm. a) Sendo A 1 o ponto médio do segmento A0B 0, e B 1 o ponto simétrico de A 1 em relação à reta determinada por O e B, 0 determine o comprimento de OB 1. b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo Δ A1OB 1, pode se obter o triângulo Δ AOB tal que A é o ponto médio do segmento A1B 1, e B o ponto simétrico de A em relação à reta determinada por O e B. 1 Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém se o triângulo Δ AOB. Assim, sucessivamente, pode se construir uma sequência de triângulos Δ AnOBn tais que, para todo n 1, An é o ponto médio de An1B n 1, e B, n o ponto simétrico de A n em relação à reta determinada por O e B n1, conforme figura abaixo. a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a tangente do ângulo θ. b) Considerando, agora, a inclinação tal que tan( θ) 1/4, com 0 θ π/, calcule o valor numérico da expressão cos( θ) sen( θ).. (Unifesp 01) A sequência (1,a,b), denominada S 1, e a sequência (c,d,e), denominada S, são progressões aritméticas formadas por números reais. a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S 1, a nova sequência de três números reais Denotando por a, n para n 1, o comprimento do segmento An 1A n, verifique que a 1,a,a,... é uma progressão geométrica. Determine sua razão. c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal A0A1A...A n,n 1. O ponto é simétrico ao ponto em relação à reta r se o segmento ' é perpendicular à reta r e a interseção de ' e r é o ponto médio de '. ágina de 7

4 5. (Unifesp 01) A função D(t) 1 (1,6) cos (t 10) 180 fornece uma aproximação da duração do dia (diferença em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 010. A variável inteira t, que representa o dia, varia de 1 a 65, sendo t 1 correspondente ao dia 1.º de janeiro e t 65 correspondente ao dia 1 de dezembro. O argumento da função cosseno é medido em radianos. Com base nessa função, determine a) a duração do dia , expressando o resultado em horas e minutos. b) em quantos dias no ano de 010 a duração do dia naquela cidade foi menor ou igual a doze horas. 6. (Fuvest 010) Seja n um numero inteiro, n 0. a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio. b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre edro, Luís e Antônio. c) Considere, agora, um número natural k tal que 0 k n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, edro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k. Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma. 7. (Fuvest 009) A soma dos cinco primeiros termos de uma G, de razão negativa, é 1. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da G é igual a. Nessas condições, determine: a) A razão da G. b) A soma dos três primeiros termos da G. 8. (Fuvest 009) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por: a) Resolva o sistema para m = 1. b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções. c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y) = (á,1), sendo á um número irracional. π 9. (Fuvest 009) Seja x no intervalo 0, satisfazendo a equação Assim calcule o valor de: a) sec x. π b) sen x. 4 tg x + 5 sec x=. 10. (Unicamp 008) Uma matriz real quadrada é dita ortogonal se t = -1, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa. 1 a) Considere a matriz a 1. b Determine os valores de a e b para que seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que -1 = I, em que I é a matriz identidade. b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = 1 1 QR, sendo Q 1 1 e R 0 0. Sabendo que Q é ortogonal, 0 0 determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor 6 b, sem obter explicitamente a matriz A. 0 Dica: lembre-se de que x = A -1 b. 4x m y 0 mx m 1 y 0 Desse modo: ágina 4 de 7

5 Gabarito das Tarefas: Resposta da questão 1: a) Sócrates deve obter pelo menos seis. 1 4 sen θ e cosθ Logo, cos θ senθ cos θ sen θ.sen θ.cos θ ortanto, a probabilidade será = 16/16 = /7. b) Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item a) ou um único 6 e pelo menos um 5. Resposta da questão : a) Como (1, a,b) é uma progressão aritmética, segue que b 1 a b a 1. Além disso, sabendo que (1, a 1,b 5) é uma progressão geométrica crescente, vem Logo, a probabilidade será = 4/16. Resposta da questão : a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado: (a 1) 1 (b 5) a a 1 1 (a 7) a a 85 0 a 17. ortanto, a razão pedida é dada por a a a tgθ a b) Se tan( θ) 1/4, com 0 θ π/, temos: b) Como (c, d, e) é uma progressão aritmética, segue que e d c e r d c. Daí, sabendo que senc send sene 0 e send 0, vem sen(d c) senc send 0 d c c d c c sen cos send 0 sendcos(d c) send 0 send ( cosr 1) 0 1 cosr π r, ágina 5 de 7

6 Resposta da questão 4: a) Como OB0 A1B 1, A1A AB1 e OA é comum aos triângulos OA1A e OB1A, segue-se que os triângulos OA1A e OB1A são congruentes por LAL. Além disso, OA1B 0 OA1A 90 e A1B0 A 60 implicam em OA1B 160. ortanto, o triângulo OA1B 1é equilátero. Desse modo, o resultado pedido corresponde à altura do triângulo A0OB 0, ou seja, 7 cm. b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que D(50) 1 1,6 cos (50 10) ,6 cos (1 0,8) h 1 h 48min. b) Queremos calcular os valores de t para os quais D(t) 1. Desse modo, 1 (1,6) cos (t 10) 1 cos (t 10) (t 10) t t 60. OAn1 OA n, com n 1. Daí, como OA a A A, n1 n n1 n temos OAn an1, an OAn1 para todo n 1 e, portanto, a 1, a, a, é uma 7 progressão geométrica de primeiro termo a1 cm e razão. c) O comprimento da poligonal A0A1A A n, com n 1, corresponde à soma dos n primeiros termos da progressão geométrica a 1, a, a,, ou seja, n 1 n 7 7( ) 1 cm. 1 Resposta da questão 5: a) O dia corresponde a t 50. Logo, o resultado pedido é dado por ortanto, a duração do dia naquela cidade foi menor do que ou igual a doze horas em dias. Resposta da questão 6: a) Colocando o sinal * entre duas bolas faremos a distribuição. Temos, então, uma permutação de n + 1 elementos com repetição de n. n (n 1)! n 1 n 1 n! b) n bolas e dois sinais. n, n (n )! (n ).(n 1) = n!.! ágina 6 de 7

7 c) vamos admitir que edro já tem k bolas e repartir n- k bolas para os três. Assim edro terá no mínimo k bolas. Rascunho: nk, nk n k! n k n k 1 n k!.! Logo a probabilidade será: = n k. n k 1) n k n k 1 (n ).(n 1) n. n 1 Respostas: a) n + 1 b) n n 1 n k n k 1 c) n n 1 Resposta da questão 7: a) -. b). Resposta da questão 8: a) S = {(α, - α); α IR} 1 5 b) m = 1 ou m = 1 5 ou m = 1 5 c) m = 1 5 ou m = Resposta da questão 9: a) 5 b) Resposta da questão 10: a) a = e b = - 1. b) 1 x 1 4 ágina 7 de 7