2 Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura ao lado.

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1 MATEMÁTICA Uma pessoa possui a quantia de R$7.560,00 para comprar um terreno, cujo preço é de R$5,00 por metro quadrado. Considerando que os custos para obter a documentação do imóvel oneram o comprador em 5% do preço do terreno, pergunta-se: a) Qual é o custo final de cada m do terreno? b) Qual é a área máxima que a pessoa pode adquirir com o dinheiro que ela possui? a),05. R$ 5,00 = R$ 5,75 b) A área máxima que a pessoa pode adquirir, em metros quadrados, é ,75 = 480 Respostas: a) R$ 5,75 b) 480m Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura ao lado. Dados: AB = 6m AC =,5m CD = 4m. a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa? Sendo a a aresta da caixa cúbica, em metros, e V o volume, em litros, de água que se pode armazenar na caixa, de acordo com o enunciado, tem-se: a) Os triângulos retângulos ABC e EBF são semelhantes. AC AB,5 6 Assim: = = EF EB a 6 a 4 = 4a = 6 a 5a = 6 a =, a 6 a U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

2 b) V = 0a. 0a. (0,85. 0a) = 850a Assim: V = 850. (,) V = 468,8 Respostas: a),m b) 468,8 litros Suponha que uma tabela (incompleta) para o cálculo do imposto de renda fosse a seguinte: Renda em reais % Parcela a deduzir em reais 000 isento a a OBS. O imposto é calculado aplicando-se à renda a porcentagem correspondente e subtraindo-se desse resultado a parcela a deduzir. a) Calcule os valores dos impostos a serem pagos por dois contribuintes cujas rendas são de R$.000,00 e de R$.000,00. b) Escreva a tabela acima no caderno de respostas, completando-a com a parcela a deduzir para a faixa de R$.000,00 a R$.000,00 e com a alíquota que corresponde à faixa de renda superior a R$.000,00. a) ) O contribuinte cuja renda é de R$ 000,00 está isento do imposto de renda. ) O contribuinte cuja renda é de R$ 000,00 tem o imposto de renda igual a R$ 50,00, pois 5% = 50 b) ) Se x é a parcela a deduzir dos que têm renda de 000 a 000 reais, então: 0%. 000 x = 50 x = 50 ) Se y% é a alíquota correspondente aos que têm renda maior ou igual a 000 reais, então: 0%. 000 x = y% e x = 50 y = 7,5 Respostas: a) zero e R$ 50,00 b) Renda em reais a a 000 % isento 5 0 Parcela a deduzir em reais 0 50 x = y = 7, Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que mdc(a, b) = 5 e o mmc(a, b) = 05. a) Qual é o valor de b se a = 5? b) Encontre todos os valores possíveis para (a,b). U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

3 a) ) Se a e b são números naturais, então mdc(a,b). mmc(a,b) = a. b ) Se a = 5, então = 5. b b = 5 mdc(a,b) = 5 b) 5 é fator comum, mmc(a,b) = 05 = e 7 são fatores não-comuns. Assim sendo: ou ou a = 5 a = 5 ou ou b = 5 b = 5 ou ou Respostas: a) b = 5 b) (5; 05), (5; 5), (5; 5) ou (05; 5) 5 a = 5. b = 5. 7 a = b = 5 a = 05 b = 5 a = 5. 7 b = 5. a = 5 b = a = 5 b = 05 Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60 de latitude norte; o ponto A está a 5 45 de longitude leste e o ponto B a 56 5 de longitude oeste. a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede km qual é o raio do paralelo de 60? b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60? [Use /7 como aproximação para π] a) Seja r a medida, em quilômetros, do raio do paralelo de 60. No triângulo retângulo POA, tem-se: PA sen 0 = OA r Assim: = r = U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

4 b) A menor distância x entre os pontos A e B, medida em quilômetros, ao longo do paralelo de 60, é dada por: x =.. π. r 60 7 x = x = x = Respostas: a) 00km b) km 7 6 As equações (x + ) + y = e (x ) + y = 4 representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas. a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências. b) Encontre o valor de a, a 0, de modo que duas retas que passam pelo ponto (a, 0), sejam tangentes às duas circunferências. ) A circunferência (x + ) + y = tem centro C ( ; 0) e raio r =. ) A circunferência (x ) + y = 4 tem centro C (; 0) e raio r =. a) As circunferências se interceptam num único ponto: a origem do sistema de coordenadas cartesianas. b) As tangentes às duas circunferências, passando pelo ponto (a; 0), no gráfico abaixo, são tais que: U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

5 AT C AT C e, portanto, AC T C a + = = AC T C a. a = a + a = 4 a = 4, pois a < 0 já que o ponto A(a; 0) está no semi-eixo negativo do eixo das abscissas. Respostas: a) (0; 0) b) a = 4 7 Considere o conjunto S = {n : 0 n 500}. a) Quantos elementos de S são múltiplos de e de 7? b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de ou de 7? No conjunto S = {0; ; ; ; 500}: ) Os múltiplos de são os termos da progressão aritmética (; 4; 7; ; 498), num total de 60 elementos, pois 498 = + (n ). n = 60. ) Os múltiplos de 7 são os termos da progressão aritmética (; 8; 5; ; 497), num total de 69 elementos, pois 497 = + (n ). 7 n = 69. ) Os múltiplos de e 7 são os múltiplos de, num total de, pois a progressão aritmética (; 4; 6; ; 48) possui termos. Assim sendo, a) Em S existem múltiplos de e de 7. b) Como existem = 06 elementos de S que são múltiplos de ou de 7, a probabilidade de o elemento escolhido de S ser múltiplo de ou 7 é U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

6 06 06 = Respostas:a) 06 b) 48 8 Considere dois triângulos retângulos T e T, cada um deles com sua hipotenusa medindo cm. Seja α a medida de um dos ângulos agudos de T e α a medida de um dos ângulos agudos de T. a) Calcule a área de T para α =,5. b) Para que valores de α a área de T é menor que a área de T? Sejam T e T os triângulos abaixo: a) Para α =,5, T é retângulo isósceles de catetos sen (.,5 ) e cos (.,5 ), ou seja, sen (45 ) = e cos (45 ) =. A área de T é:. = 4 b) Para que a área de T seja menor que a área de T, devemos ter: sen α. cos α sen (α). cos (α) < sen (α) <. sen (α). cos (α) (sen α) [ cos(α)] < 0 < cos (α), pois sen α > n. 60 < α < 60 + n. 60 (n ) 0 + n. 80 < α < 0 + n. 80 (n ) U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

7 Como α é agudo, temos: 0 < α < 0 Respostas:a) 4 b) 0 < α < 0 9 O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = T A + α βt, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, T A é a temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de 8 C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0 C após minutos e chegou a 6 C após 70 minutos. a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β. b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas ( C superior à ) temperatura ambiente. a) Em graus Celsius, sendo T(t) = T A + α. βt e T A = 8 (temperatura ambiente do congelador), tem-se: ) para t =, T() = 8 + α. β. = 0 α. β. = 8 (I) ) para t = 70, T(70) = 8 + α. β. 70 = 6 α. β. 70 = (II) Das equações (I) e (II), tem-se: α. 70β = 80β = 80β = α. β 8 9 Substituindo em (I), tem-se α. α = 54 β =. = 8 b) Em graus Celsius, e nas condições do enunciado, com α = 54 e β =, temos: ( ) T(t) = T A + T A + α. βt = T A + U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

8 α. βt = 54. = 4 t = 60 Respostas: a) α = 54 e β = 0 t b) 60 minutos t = Considere um cubo cuja aresta mede 0cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros congruentes. a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. b) Calcule o volume do mesmo octaedro. Sejam: ) l o comprimento, em centímetros, de cada aresta desse octaedro regular. ) V o volume, em centímetros cúbicos, desse octaedro. a) l é a diagonal de um quadrado de lado 5cm Assim l = 5 b) V =.. l. 5 Assim: V = (5 ) V = Respostas:a) 5 cm 500 b) cm Seja a um número real e seja: U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

9 p(x ) = det [ x 0 a x 0 4 x a) Para a =, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0. b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real. x a) a = p(x) = 0 x = x ( x). [( x) + 4] = 0 x = 0 ou ] ( x) = 4 x = ou x = ± i x = ou x = i ou x = + i V = { ; i; + i } x b) p(x) = 0 0 a x = x ( x). [(a x) ( x) + 4 ] = 0 ( x). [ x (a + ) x + (a + 4)] = 0 Essa equação tem uma única raiz real (x = ) quando x (a + )x + (a + 4) = 0 não admite raízes reais. Devemos ter, então = a + a + 4a 6 < 0 a a 5 < 0 < a < 5 Observação: Para a = 5, a equação ( x). [ x ( + a)x + (a + 4)] = 0 transforma-se em ( x)(x 6x + 9) = 0 ( x) = 0 x =. Assim sendo, para a = 5, a equação p(x) = 0 terá também uma única raiz real, de multiplicidade. Respostas: a) ; i; + i b) { a < a 5 } Considere a função quadrática f(x) = x +xcos α + sen α. π a) Resolva a equação f(x) = 0 para α =. b) Encontre os valores de α para os quais o número complexo + i é raiz da equação f (x) + = 0. U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

10 π a) α = f(x) = x π π + x. cos + sen = 0 x = 0 x = x = ± V = { ; } b) Se + i é raiz da equação f(x) + = 0, cujos coeficientes são reais, então i também é raiz. Aplicando as relações de Girard, na equação de º grau, temos: ( + i) ( + i) = cos α ( + i)( i) = sen α + cos α = cos α = sen α + = sen α = 0 α = π + n. π, n Respostas: a) V = { ; } b) α = π + n. π, n U N I C A M P ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0