1º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A

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Miguel Rocha Antas
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1 Professor: Judson Santos / Luciano Santos Aluno(a): nº Data: / /0 º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A - 0 0) Seja N o conjunto dos inteiros positivos. Dados os conjuntos A = {p N; p é primo} e B = {m n ;m, n N }, considere as afirmações: I. A B II. A B = III. A B = N. Podemos afirmar que: a) apenas I é falsa. b) apenas II é falsa. c) apenas III é falsa. d) todas são falsas. e) apenas I e II são falsas. 0) Suponha que P (x) é um polinômio tal que P () = e ( x) 56 = 8 ( x ) x 7 P p para todo real x para o qual ambos os lados são definidos. Então o valor P (-) é igual a: 5 5 a) b) c) d) e) 7 0) Se x, y e z são números reais e positivos que satisfaz o sistema x ( y )( z ) = 85 y ( z )( x ) = 84 z ( x )( y ) = 89 Então o valor de xyz é igual a: a)7 b) 8 c) 9 d) 0 e)

2 04)Para todo número real x que satisfaz a função f ( x) três últimos algarismos da expressão ( f (...( f ( 0) )... )) 0 =. Seja N os 0 x 0 f , então o valor de N é 00 vezes igual a: a)6 b) 5 c) 4 d) e) 05) Sabe-se que o determinante da matriz M, apresentada abaixo, vale α β λ a. sen b. sen c. sen d, onde a, b, c e d são números inteiros e α, β e λ são números reais. cos λ cos β M = cos λ cosα cos β cosα Então o valor de a b c d é igual a: a) -0 b) 0 c) - d) e) -6 06) Sabendo que α e β são os valores reais positivos de x e y que satisfazem a y equação log x = log x log y 9 9. α. β. α. β 5 é igual a:. Então o valor da expressão a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 07)Na figura, AB é um diâmetro da circunferência maior e CD é perpendicular a AB. A circunferência C (de raio r ) é tangente aos lados de ABC, C (de raio r ) e C (de raio r ) são tangentes a AB, CD e à circunferência maior. C A C C B r r Então o valor da expressão r a) b) c) C é igual a: D d) 4 e)

3 6 5 08) A equação 000. x 00. x 0. x x = 0 tem apenas duas raízes reais β Então o valor de 0 α β é igual a: a) 8 b) 9 c) 0 d) e) α e. 09)Sabendo que os dois lados consecutivos de um paralelogramo é dado pela equação 8 x 4xy y 0x 0y 5 = 0. Se o ponto de interseção das diagonais ;, então a equação de reta que representa um desse paralelogramo é o ponto ( ) dos outros dois lados desse paralelogramo pode ser: a) x y 7 = 0 b) 4x y 5 = 0 c) x 4y 4 = 0 d) 4x y 8 = 0 e) x y 5 = 0 0) Na figura são mostrados dois hexaedros regulares, se O é o centro do maior dos hexaedros regulares tal que OR = EQ e ( ON ) = 6( ), calcule a área da superfície total do maior dos hexaedros. C A D F R G a) 44 ( ) b) ( ) N E H 6 c) d) 6 e) 4 ( ) ) Se os lados de um triângulo ABC são a, b, c e tem como ângulos opostos α 5 α, β e θ tal que = θ tg e 6 tg =. Então sobre esse triângulo podemos afirmar 5 que: a) os lados (a,b,c) nesta ordem estão em progressão aritmética. b) os lados (a,b,c) nesta ordem estão em progressão geometria. c) o triângulo é retângulo. d) o triângulo é eqüilátero. e) o triângulo é retângulo e isósceles.

4 ) Se = P, = 0 A e Q. T = P. A P, onde T P representa uma matriz transposta de P. então a soma de todos os elementos da matriz X tal que T 00 X = P. Q. P é igual a: a) 009 b) 00 c) 0 d) 0 e) 0 ) O coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento da expansão x x x x x x 0 é igual a: a) 70 b) 05 c) 0 d) e) 40 4) Sabendo que arg ( z) é o argumento principal de um número complexo z e o z representa o módulo desse complexo. Das afirmativas abaixo I. Se = arg z arg z z. z, então o z é igual a. 5z II. Se 7z é um número complexo imaginário puro, então z z z z é igual a. III. Se o número complexo z = a b. i e z é o conjugado desse complexo z. Então z o valor da expressão z ab tg i. loge vale, onde tg é a tangente do ângulo e a b e é a base de Euler. z π IV. Se o modulo do complexo z i =, então arg é igual a. z 4 É correto afirma: a) Somente I e II são verdadeiras b) Somente I, II e III são verdadeiras c) Somente II, III e IV são verdadeiras d) Somente I, III e IV são verdadeiras e) Todas são verdadeiras. 5) Seja A( x, y ), B( x, y ), C( x y ), os três pontos de interseção da reta y =.x com a curva de equação y xy 5x y 4x 5y = 0 x e O a origem do sistema de coordenadas cartesiano. Sabendo que P representa o produto das distâncias dos vértices A, B, C a origem O, então o valor de (. )P é igual a: a) b) c) 4 d) 8 e) 6

5 6) Se ( a a, a,..., ), a n é uma progressão geométrica tal que: i) a razão é maior do que ; ii)a soma dos quatros primeiros termos vale 0; iii)a soma dos quadrados dos quatros primeiros termos vale 40. Seja S a soma dos algarismos do quarto desta progressão geométrica. Então o valor de S é igual a: a)6 b) 5 c) 6 d) 49 e) 64 7) Se g ( x) é uma função polinomial que satisfaz a seguinte relação g ( x). g( y) = g( x) g( y) g( xy) para todo x, y R. Então o valor de g ( ) para g( ) = 5 vale: a) b) 5 c) 8 d) 4 e) 0 8) Seja = {,,,4,5 } f ( f ( x) ) = f ( x), x A. A. Definimos que uma função f : A A é idempotente se Vejamos alguns exemplos da função g ( ) =, ( ) = 5 idempotentes. Então o número de funções idempotente g : A A definida por: g, g ( ) =, g ( 4 ) = 4, ( 5 ) = 5 f : A A é igual a: a)44 b) 56 c) 64 d) 96 e) 5 g são 9) Sabendo que a k i. bk para k =,,, 4 são as raízes do polinômio f ( x) = x 4 6x 6x 46x 65 com a k, bk inteiros e i é a unidade imaginária dos complexos. Então o valor da expressão b b b b4 é igual a: a)0 b) c) d) e) 4 0) Seja S = tg π tg 7 π tg 7 π cot g 7 π 7 cot g π cot g 7 7 π a soma dos algarismos de S é igual a: a) b) c) 4 d) 5 e) 6. Então QUESTÕES DISCURSSIVAS ) Suponha que você tenha escrito em colunas os números inteiros de até , inclusive, de modo que os números de cada coluna sejam formados pelos mesmos algarismos. Assim, por exemplo, os números e pertencem à mesma coluna; e pertencem a colunas diferentes. Quantas colunas você escreveu?

6 ) Se a, a,..., a005 são números reais que satisfaz o sistema abaixo: a. a. a.... a = 0 a =. a. a.... a a. a. a.... a = a a. a. a = a a. a. a = Calcule o valor de a? ) Se x, y e z são inteiros positivos e termos de uma progressão aritmética, mostre que a igualdade x = y z nunca é satisfeita. 4) Determine todas as funções : R {, } R x x f f = x x x. f que satisfazem à equação: 5) Suponha que p e q sejam números positivos para os quais p q ( p q) 5 log 9 = log = log6. Calcule o valor de. (. q).. p 6) Se a = ab a b a representa um calculo de b b ab a a b b determinante de ordem x. Calcule o valor mínimo da expressão a.b. 7) Se ( x ; y) representa um par de número real que satisfaz o sistema abaixo: y 56x y = x y x x 56y = x y. Determine o valor de x y.

7 8) Na figura abaixo existem três quadrados de lados < 4 < x. Determine x. 9) No losango OBCD, O é a origem dos eixos coordenados, B(, 4) e C(a, 4). Se M e N são pontos médios de OB e OC respectivamente. DM OC = { E} e DN OC = { F}. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo EFD. 0)Seja x, y, z e w números reais que satisfaz o sistema: w x y z = 5 w 4x 8y 6z = 7 w 9x 7y 8z = 4w 6x 64y 56z = Calcule o valor absoluto de 5 w 5x 5y 65z

8 Professor:Judson Santos / Luciano Santos GABARITO DO ºSIMULADO ITA IME D D B A A D B B B A A D C E D B E D A E 7. RESPOSTA.: C 6. RESPOSTA: a = 004!. RESPOSTA: demonstração x( x 7) 4. RESPOSTA: f ( x) = x 5. RESPOSTA: 0 6. RESPOSTA: 7 7. RESPOSTA: RESPOSTA: 6 9. RESPOSTA:, 4 0. RESPOSTA: 60 QUESTÕES DISCURSSIVAS ( )

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