Média, Mediana e Distância entre dois pontos

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1 Média, Mediana e Distância entre dois pontos 1. (Pucrj 01) Se os pontos A = ( 1, 0), B = (1, 0) e C = (, ) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) c) 4 d) e). (Ufrgs 01) Os pontos A(1, ), B(6, ) e C são os vértices de um triângulo equilátero, sendo o segmento AB a base deste. O seno do ângulo formado pela o eio das abscissas e a reta suporte do lado BC no sentido anti-horário é 1 a). b). c) 1. d) e)... (Fgv 01) No plano cartesiano, M(, ), N(7, ) e P(4, 0) são os pontos médios respectivamente dos lados AB, BC, e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 4. (Fgv 01) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1 Página 1 de 9

2 5. (Ita 01) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, ) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a a) 5 b) c) d) e) (Ufba 011) Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, ), B(, 4), C(0, 6), A (0, 0), B 6,0 e um ponto C que tem coordenadas positivas. Sabendo que e, determine o produto das coordenadas do ponto C. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores. 7. (Unicamp 011) Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de a) 1500 m. b) m. c) 1000 m. d) m. Página de 9

3 8. (Ufmg 010) Os pontos A = (0, ), B = (4, 0) e C = (a, b) são vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano. Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que 4 a) b a. 4 7 b) b a. 6 4 c) b a. 4 d) b a. 9. (Uff 010) A palavra perímetro vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa em torno de, e o segundo, metron, significa medida. O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas ( 1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) a) b) c) + 6 d) e) (Ufba 010) Na figura, considere os pontos A(4, 0), B(4, ), C(4, ) e D(, ) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B. Com base nessa informação, pode-se afirmar: 01) O triângulo BCD é equilátero. 0) A área do setor circular hachurado é igual a u.a. 4 04) A equação representa a reta r. 08) O ângulo entre o eio O, no sentido positivo, e a reta r mede 0º. 16) A imagem do ponto C pela refleão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (4, 1). ) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de razão 1 é um triângulo de área 4 u.a. 64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o ponto de coordenadas (0, ). Página de 9

4 11. (Ibmecrj 009) Considere o triângulo ABC, onde A (, ), B (10, 9) e C (10, ) representam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale: a) b) c) 5 d) e) 6 1. (Ufrgs 008) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é a). b). c). d) 5. e) (Puc-rio 007) O ponto B = (, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é: a) (, 1). b) (, 6). c) (, ). d) (, ). e) (, 0). 14. (G1 - cftmg 005) Os pontos A(- 5, ) e C(, - 4) são etremidades de uma diagonal de um quadrado. O perímetro desse quadrado é 15. (Puc-rio 004) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é: a) (, 4) b) (4, 6) c) (-4, -6) d) (1, 7) e) (, ) Página 4 de 9

5 Gabarito: Resposta da questão 1: Como o triângulo ABC é equilátero, segue que AC AB ( 11) (0 0). Resposta da questão : [E] sen60. Resposta da questão : [C] D é ponto médio de PN, logo: D. D é ponto médio de CM, logo: C 11 C 8. Página 5 de 9

6 Resposta da questão 4: M é o ponto médio das diagonais do paralelogramo da figura. Na diagonal AC, temos: M M 6 Logo, M(1/, 6) Na diagonal BD, temos: D 1 D D 6 6 D 6 Logo, temos D(, 6) e + 6 = 9. Página 6 de 9

7 Resposta da questão 5: Determinando o ponto G (baricentro do triângulo ABC), temos: G G Logo, 4 G, Calculando a distância do ponto G ao ponto A d Resposta da questão 6: Pelas informações do enunciado, os dois triângulos são retângulos e isósceles, portanto B C deverá ser igual a 6 e C será dado por: ( 6. 6 ). Logo, o produto das coordenadas de C será 6. 6 = 7. Página 7 de 9

8 Resposta da questão 7: Sejam A(1,1) e B(5, ), respectivamente, as coordenadas da catedral e da câmara de vereadores. Assim, a distância entre os pontos A e B é AB d (5 1) ( 1) 0 5. Como a catedral dista unidades da prefeitura, segue que a escala do gráfico é Portanto, a distância real entre a catedral e a câmara é m. Resposta da questão 8: d A, C b d ( a 0) ( b ) (a 4) (b 0) a b 6b 9 a 8a 16 b A, B 4a 7-6 8a 7 8a 6b 7 b 6 Resposta da questão 9: [E] 5 9 Logo P = P = Resposta da questão 10: = 06 01) Falsa, o triângulo é retângulo..1 0) Verdadeira, A = ) Verdadeira. Observe que a imagem de zero é zero e que a imagem de quatro é. 08) Falso, é um ângulo cuja tangente é 1. Página 8 de 9

9 16) Não o ponto simétrico fica numa reta perpendicular á reta dada como referência. ) Falso, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados. Logo a área deveria ser ) Falso, o ponto correto é ( 0, ). Resposta da questão 11: [C] M A B, A B 10, 9 (6, 6) MC (10 6) ( 6) 5 5. Resposta da questão 1: [E] AB d AB ( 4) 5. 5 Resposta da questão 1: [C] Resposta da questão 14: Resposta da questão 15: [A] Página 9 de 9