COLÉGIO ANCHIETA-BA. ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

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1 A AVALIAÇÃO UNIDADE II -5 COLÉGIO ANCHIETA-BA ELABORAÇÃO: PROF. ADRIANO CARIBÉ e WALTER PORTO. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA - (MACK) Em uma das provas de uma gincana, cada um dos 4 membros de cada equipe deve retirar, ao acaso, uma bola de uma urna contendo bolas numeradas de a, que deve ser reposta após cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa prova é igual ao número de bolas com números pares sorteadas pelos seus membros. Assim, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um ponto é a) 5 4 b) c) d) 5 e) 6 Como após cada retirada há a reposição da bola, a chance de cada membro da equipe retirar da 5 urna, uma bola com um dos 5 números pares que existem no intervalo de a é. Cada equipe tem 4 membros, logo, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um 5 ponto é. 6 6 RESPOSTA: Alternativa e. 4 - (FGV) Sejam M x e N 4x4 as matrizes quadradas indicadas a seguir, com a, b, c, d, e, f, g, h, i, j sendo números reais. a M d g b e h c f i a N d g b e h i j a c c f i Se o determinante de M é o número real representado por k, então o determinante de N será igual a a) 6jk. b) 6jk. c) jk. d) jk. e). a det N d g b e h i j a c c f i det N j( ) a d g b e h c f i a f. d g b e h c f i 6 f.k RESPOSTA: Alternativa a.

2 - (UFPel) Sendo A uma matriz real de ordem com det(a) = e do sistema x y r 7x 8y r, é / A 6 / 5 r / 5, r R, a solução a) x = 4, y = c) x = 8, y = 6 e) x =, y = b) x = 4, y = d) x = 6, y = 8 Sendo A uma matriz de ordem : det(a) =. det(a) 9. det(a) = det(a) = det(a ) = / 6 / 5 r / 5 6r 5 r r r 9x x y r x y x 8y Substituindo esse valor de r no sistema x 7x 8y r 7x 8y 7x 8y y RESPOSTA: Alternativa e. 4 - (UFT) O sistema x y z x py z px y z admite solução diferente de (,,) se e somente se: a) p c) p = e) p = e p = b) p p d) p = ou p = x y z Para que o sistema x py z px y z admita solução diferente de (,,), o determinante dos coeficientes das variáveis deve ser igual a zero: p p p p p p p p ou p RESPOSTA: Alternativa d.

3 5 - (PUC) A tabela abaixo apresenta o gasto calórico correspondente à prática de cada atividade, durante uma hora, por indivíduos de 6kg, 7kg e 85kg: 6kg 7kg 85kg Musculação Alongament o Aeróbica Um professor de Educação Física vai planejar uma aula com x minutos de musculação, y minutos de alongamento e z minutos de aeróbica, de maneira que o indivíduo de 6kg gaste 5 calorias, o de 7kg gaste 8 calorias e o de 85kg gaste 46 calorias. Os valores de x, y e z satisfazem o sistema: a) 77x 6y 54z 6 x 8y 4z 7 59x 45y 58z 85 d) 77x y 59z89 6x 8y 45z 8 54x 4y 58z 76 b) 77x y 59z 5 6x 8y 45z 8 54x 4y 58z 46 e) 77x 6y 54z89 x 8y 4z 8 59x 45y 58z 76 c) 77x 6y 54z 5 x 8y 4z 8 59x 45y 58z 46 Considerando o indivíduo de 6 kg, ao efetuarmos a operação 77x + 6y + 54z, ele terá como resultado um gasto calórico de 5 6 = 89 calorias. Perceba que devemos multiplicar o número de calorias por 6, visto que a tabela apresenta os gastos por hora, e x, y e z representam tempos de exercícios em minutos. O mesmo procedimento deve ser efetuado para os indivíduos de 7 e 85 kg, o que resulta na alternativa E Calorias (M Al AE) (V) TC 6kg 7kg 85kg x x 6y 54z 89 y 8 7 x 8y 4z 66 z x 45y 58z 9 RESPOSTA: Alternativa e.

4 6 - Sobre poliedros, considere as seguintes afirmativas: I) O número de vértices do icosaedro regular é. II) Se um poliedro convexo é formado exclusivamente por uma face hexagonal, 5 faces quadrangulares e faces triangulares, então ele possui exatamente 6 arestas e vértices. III) Se um poliedro tem todas as faces congruentes entre si então ele é um poliedro regular. Sobre as afirmativas acima, temos que: a) Somente a afirmativa I é falsa d) Somente uma afirmativa é verdadeira. b) Somente a afirmativa II é falsa e) Todas as afirmativas são verdadeiras. c) Somente a afirmativa III é falsa I) Verdadeira. O icosaedro regular é um poliedro cujas faces são triângulos equiláteros. Possui ( ): = arestas. Aplicando a relação de Euler: V A + F = V + = V = V =. II) Verdadeira. Número de faces do poliedro convexo em questão: = 8. Número de arestas: ( ) : = : = 6 Aplicando a relação de Euler: V = V =. III) Falsa. Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares congruentes e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. RESPOSTA: Alternativa c. 4

5 7- Arquimedes (87 a.c.) de Siracusa, na Grécia, figura entre os maiores matemáticos da Antiguidade e de todos os tempos. Explorou tanto a Geometria, que desejou que, em seu túmulo, fosse gravada a figura de uma esfera inscrita em um cilindro circular reto. Supondo-se que a vontade de Arquimedes fosse satisfeita e considerando-se um cilindro equilátero de raio R, pode-se afirmar que o valor absoluto entre a diferença dos volumes dos sólidos, em questão, seria dado pela expressão a) R b) R c) R d) R e) R Um cilindro é equilátero quando a sua altura é igual ao dobro do seu raio. 4R V ESFERA. V CILINDRO R H R R R O valor absoluto entre a diferença dos volumes dos sólidos, em questão, seria dado pela expressão R R 4R RESPOSTA: Alternativa b. 8 - Sendo os pontos A ( ; ), B( ; 5) e C(6 ; ) vértices de um triângulo ABC, é verdade que: a) O triângulo ABC é isósceles. b) O triângulo ABC é acutângulo. c) O baricentro do triângulo ABC é o ponto ; 5 d) A área do triângulo ABC é 5 u.a.. e) A medida da mediana relativa ao vértice C é maior que 8 u.c. a) Falsa. O triângulo ABC será isósceles se possuir pelo menos um par de lados congruentes AB AC BC. 5

6 b) Verdadeiro. O triângulo ABC será acutângulo se o quadrado do maior lado for menor que a soma dos quadrados dos outros dois lados c) Falsa. Coordenadas do baricentro de um triângulo ABC: xa xb xc ya yb yc G, O baricentro do triângulo em questão é: G,,. d) Falsa. A área do triângulo ABC é S e) Falsa. A mediana relativa ao vértice C(6 ; ) é a ceviana que liga este vértice ao ponto médio do lado 5 AB que é M =,, CM (6 ) ( ) 6 6 u.c RESPOSTA: Alternativa b. u.a. 9 - Dados os pontos A(6, ), B(, 5), C(, ), D(8, ), determine a área do quadrilátero ABCD. a) u.a. b) u.a. c) 5 u.a. d) 7 u.a. e) 9 u.a. Resolução S ABCD = S ABC + S ACD S ABCD = Resolução S ABCD RESPOSTA: Alternativa a. 6

7 - Uma circunferência de centro no ponto O(a ; b) passa pelos pontos A(7;7), B(5;9) e C(;). Calcule a + b. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) Resolução : O centro da circunferência que circunscreve um triângulo (passa por seus três vértices) é o ponto de intercessão de suas mediatrizes (retas perpendiculares aos lados pelos seus pontos médios). Determinando a equação da mediatriz do lado AB: M. Ponto médio do lado AB:, 6,8 Coeficiente angular da reta determinada pelos pontos A e B: yb ya 9 7 a x x 5 7 B A Coeficiente angular da reta mediatriz do lado AB:. a Equação da reta mediatriz do lado AB: y x b 6 b 8 b. Finalmente: y = x + (I) Determinando a equação da mediatriz do lado AC: 7 7 Ponto médio do lado AC: M, 4,4. yc ya 7 Coeficiente angular da reta determinada pelos pontos A e C: a x x 7 Coeficiente angular da reta mediatriz do lado AC:. a Equação da reta mediatriz do lado AB: y x b 4 b 4 b 8. Finalmente: y = x + 8 (II) y x y x 8 y y 5 y 5 x Resolvendo o sistema a, b,5 a b 8 Resolução : Construindo a figura percebe-se imediatamente que o circuncentro é o ponto médio do lado BC o que indica que o triângulo ABC é retângulo e o lado BC a hipotenusa. Determinando o ponto médio do lado BC tem-se o ponto (a, b) pedido: 5 9 O ( a, b), Podíamos também ter determinado a natureza do triângulo. Descobrindo-se que ABC é um triângulo retângulo, determina-se o ponto médio da hipotenusa e procede-se como acima. RESPOSTA: Alternativa d.,5. C A 7

8 - Na figura abaixo ABCD é um quadrado de lado 6 m e BD é um arco de centro em A. Calcule o volume do sólido gerado por uma rotação completa da região hachurada em torno do lado AD. a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 44 m e) 6 m O sólido gerado por uma rotação completa da região hachurada em torno do lado AD, é um cilindro vasado e de altura 6m e raio 6m, representado na figura ao lado. Seu volume é igual: 4.6 V V cilindro semiesfera RESPOSTA: Alternativa d. - (UFBA-4 / ADAPTADA) Uma empresa fabrica copos plásticos para refrigerante e café. Os copos têm a forma de tronco de cone e são semelhantes. O copo de refrigerante mede 9,5 cm de altura e tem capacidade para 48 ml. Sabendo-se que o copo de café tem,8 cm de altura, determine a sua capacidade em mililitros, aproximando o resultado para o número inteiro mais próximo. a) b) c) d) e) 5 Sendo semelhantes os dois sólidos, a razão entre seus volumes é igual ao cubo da razão entre as suas medidas correspondentes. 48 9, ,75 x,78... x,8 x 54,87 x RESPOSTA: Alternativa b. 8

9 - Um recipiente em forma de tronco de cone reto de bases paralelas foi projetado de acordo com o desenho ao lado com altura igual a cm e raios das bases iguais, respectivamente a cm e 6 cm. O volume desse recipiente, aproximadamente, é igual a : (Use =,4) a) 678 ml b) 65 ml c) 7 ml d) 68 ml e) 659 ml h O volume do tronco de cone pode ser calculado pela seguinte fórmula: V R r Rr V 6 6 4,45 65, Poderia ter sido resolvida a questão deste outro modo: Prolongando-se semelhantes. AC, OH e BD até o ponto V tem-se dois cones Os triângulos retângulos VOB e VHD são semelhantes, logo, VO VH x x x x 6. 6 x O volume do tronco é: V VVCD VVAB 6 8 V 8 65, RESPOSTA: Alternativa b. 4 - Qual a distância entre as retas r: x y + 7 = e s: x y =? a) b) c) 5 d) 5 e) A distância entre duas retas paralelas pode ser determinada do seguinte modo: Toma-se um ponto de uma das retas e calcula-se a distância entre este ponto e a outra reta. Na reta r considere-se o ponto (, y): y + 7 = y = 7 (, 7) é um ponto da reta r. Distância de (,7) à reta x y = : 9

10 7 9 RESPOSTA: Alternativa a. 5 - O mapa de uma certa região foi colocado em um sistema de coordenadas cartesianas. A reta r de equação x y + 4 = representa uma estrada que passa perto de uma atração turística de difícil acesso que esta localizada no ponto P( ; ). Deseja-se construir um novo acesso ligando o ponto Q da estrada r a atração localizada no ponto P, em linha reta, com o menor comprimento possível. Determine o ponto Q. a) ( 6 ; 5 ) b) ( 5 ; 6 ) c) ( 6 ; 7 ) d) ( 7 ; 6 ) e) ( 5 ; 7 ) A distância entre a reta r: x y +4 = e o ponto P(, ) é: 6 4 d 4 5 OP Qr 4 Q x, x A distância de 4 x, x Q a, P é 4 5. x 4 x ( x ) 4 5 x x 4 5 5x 6x x 6x 8 x x 6 ( x 6) 6 4 x 6 y x 6 e y 5 Q(6,5) RESPOSTA: Alternativa a. x 6