VESTIBULAR DA UFBA- FASE 2/ PROVA DE MATEMÁTICA. Resolução e comentários pela professora Maria Antônia C. Gouveia. QUESTÕES DE 01 A 06.

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Maria do Loreto de Caminha Arruda
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1 VESTIBULAR DA UFBA- FASE / PROVA DE MATEMÁTICA Resolução e comentários pela professora Maria Antônia C. Gouveia. UESTÕES DE 0 A 06. LEIA CUIDADOSAMENTE O ENUNCIADO DE CADA UESTÃO, FORMULE SUAS RESPOSTAS COM OBJETIVIDADE E CORREÇÃO DE LINGUAGEM E, EM SEGUIDA, TRANSCREVA COMPLETAMENTE CADA UMA NA FOLHA DE RESPOSTAS. uestão 0 ( Valor: pontos) Dada a seqüência ímpares, S= a a a... D = FRVVH, em que x = e n, determine a soma infinita dos termos Sendo D = FRVVH e x = D = : 9 D = = ; D = = ; D = = ;... 8 Nota-se que a, a, a, a 7,... formam uma progressão geométrica infinita decrescente e de razão. D Logo a soma dos seus infinitos termos tende para : 6 = = = = T uestão 0 ( Valor: pontos) Determine todos os valores de x para os quais y = ORJ ( ) é um número real. Os valores de x para os quais y = ORJ ( ) > 0. é um número real constituem o conjunto solução do sistema

2 Resolvendo o sistema: I: 0 0. As raízes do polinômio x² -x são: x = ± 9 ± = = RX e a raiz do binômio x é x =. Estudando a variação do sinal da fração : ð ð Logo a solução de 0 é o intervalo VROXomR II : -x>0 x <. A solução do sistema é dada pela interseção dos intervalos e ] : Logo y = ORJ ( ) é um número real para x -,,. uestão 0 ( Valor: 0 pontos) Considerando o polinômio p(x) = x x³x²-x, mostre que z = i é uma raiz de p(x), que juntamente com as demais raízes z, z e z, satisfaz à equação ] ] ] ] =. Como os coeficientes de p(x) são racionais, se z = i é uma de suas raízes, então z = -i também é raiz de p(x). Pelas relações de Girard (relações entre as raízes e os coeficientes de um polinômio) : ] ] ] Sendo z = i e z = -i L( L) ] ] = ] ] =. Pela propriedade distributiva da potência em relação a um produto, a equação = L L = =. pode ser escrita: ] ] (] ] ) --9 = -0, Logo as raízes de p(x) satisfazem à equação ] ] ] ] ] ] = ] ] ] =

3 uestão 0 ( Valor: pontos) Determine a área do quadrilátero ABCD, no qual A e C são os vértices da cônica 9x² - y² = 6, e B e D são os pontos de interseção dessa cônica com a reta que contém a bissetriz do primeiro quadrante. Determinando os vértices da cônica 9x² - y² = 6: y = 0 9x² = 6 x = ± os vértices são os pontos A = (-,0) e C = (,0). Determinando os pontos de interseção dessa cônica com a reta que contém a bissetriz do primeiro \ = 6 quadrante: 9 = = ± = ±. Logo os pontos B e D são \ = respectivamente: H. y D A - C H x B A área do paralelogramo ABCD é o dobro da área do triângulo ACD de base 6 AC = u.c. e cuja altura é DH = u.c.. Logo S =. / = u.a. /

4 uestão 0 ( Valor: pontos) Considere, no plano cartesiano xy, a transformação T, que consiste em aplicar uma homotetia de centro na origem e razão, seguida de uma reflexão em torno do eixo Ox, e por último, uma rotação de, no sentido horário, em torno da origem. A partir dessas informações, determine as coordenadas do ponto, obtido pela aplicação da transformação T ao ponto P = ( ). I. II. α % ' $ & ( ( ) No triângulo retângulo OAB de catetos medindo, a hipotenusa OB = OC mede. No triângulo retângulo OCD de catetos OC medindo e CD medindo, a hipotenusa OD = OE mede ( aplicação do Teorema de Pitágoras) Sendo o ponto P = ( ), o cosseno do ângulo DÔP mede, logo a sua medida é 0. III. Aplicando no triângulo OEP a homotetia de centro em O e razão, encontramos o triângulo OFP a ele semelhante e cujos lados medem o triplo dos seus lados, logo o homotético do ponto P é o ponto P = ( ) IV.. ( ) O ponto P = ( ) P = ( ) é a reflexão do ponto em relação ao eixo Ox. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OFP encontramos que OP mede 7 9 = 6. * ) Aplicando ao ponto P a rotação de no sentido horário, em torno da origem segundo um arco de circunferência de raio OP = 6, determinamos o triângulo retângulo isósceles OG cujos catetos medem, logo as ordenadas do ponto são x = e y =.

5 uestão 06 ( Valor: 0 pontos) Considere um recipiente de vidro com a forma de dois cones congruentes de altura H, raio da base R e vértice comum. Sabe-se que, inicialmente, um dos cones está completamente cheio de areia, e o outro, totalmente vazio. A areia é então redistribuída, de modo a formar, na parte superior do recipiente, um cone de altura e, na parte inferior, outro cone, de altura h e raio R, conforme a figura. Com base nessas informações, determine a razão K. B K O volume da areia contida inicialmente no cone superior é V 0 = ( ) ( ) semelhante formado pela areia, após a sua redistribuição, é = porque ele tem altura O raio do cone. O seu volume é então: V = =. O volume da areia contida no recipiente inferior, após a redistribuição, é então: = = 7 K K K = = K =.

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