Prova Vestibular ITA 2000

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2 ITA - (ITA ) Sejam f, g : R R definidas por f ( ) = e g cos 5 ( ) =. Podemos afirmar que: f é injetora e par e g é ímpar. g é sobrejetora e f é bijetora e g é par e f é ímpar e go f é par. go f é ímpar. go f é impar. go f é par. quais o e o nunca ocupam posições adjacentes, mas o e o sempre ocupam posições adjacentes? (ITA ) Sendo e + i raízes da equação + a + b + c =, em que a, b e c são números reais, então: b b + c = b + c = + c = b b + c = + c = (ITA ) Denotemos por n (X ) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n( A B) =8, n ( A C) =, n ( B C) =, n ( A B C) = e n ( A B C) =. Então n ( A) + n( B) + n( C) 6 (ITA ) A soma das raízes reais e positivas da equação 5 + = vale: ! n)! n (ITA ) Seja f ( ) = uma função n= n!( real de variável real em que n! indica o fatorial de n. Considere as afirmações: f. (II) f ( ) =. (III) ( ) = (I) ( ) = f. Podemos concluir que : Somente as afirmações I e II são verdadeiras. Somente as afirmações I e III são verdadeiras. Apenas a afirmação I é verdadeira. Apenas a afirmação II é verdadeira. Apenas a afirmação III é verdadeira. (ITA ) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos,,,, 5 e 6, nos 7 (ITA ) Sendo I um intervalo de números reais com etremidades em a e b m com, o número real a < b b a é chamado de comprimento de I. 6 Considere a inequação: < A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a: (ITA ) Seja S = [, ] e considere as afirmações: (I) < 6 (II), para todo S. <, para todo S. (III), para todo S.

3 Então, podemos afirmar que: Apenas I é verdadeira. Apenas III é verdadeira. Somente I e II são verdadeiras. Apenas II é falsa. Todas as afirmações são falsas. (ITA ) Seja z o número compleo + i. Sendo S o conjunto solução no plano compleo de z z z z, então o produto dos elementos = + = de S ( i) ( + i) ( i ) i i (ITA ) Considere f : R R definida por π f ( ) = sen cos afirmar que: É uma função par.. Sobre f podemos É uma função ímpar e periódica de período fundamental π. É uma função ímpar e periódica de período fundamental π. É uma função periódica de período fundamental π. Não é par, não é ímpar e não é periódica. (ITA ) O valor de n que torna a seqüência (+n, -5n, -n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo: [, ] [, ] [, ], ] [ [, ] (ITA ) Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em A. Seja D a intersecção da bissetriz do ângulo  com o lado BC e E um ponto da reta suporte do cateto AC de tal modo que os segmentos de reta BE e AD sejam paralelos. Sabendo que AD mede cm, então a área do círculo inscrito no triângulo EBC é: ( ) cm π ( ) cm π π ( ) cm π ( ) cm π ( ) cm (ITA ) A área de um triângulo é de unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A : (,) e B : (, ). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eio das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são:,) ( ou ( 5,). (,) ou,),) (. ( ou ( 5,). (,) ou,) 5,) ( ou,) (. (. (ITA ) Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu eio. A secção fica a 5 cm do eio e separa na base um arco de º. Sendo de cm a área da secção plana regular, então o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm : π π π 5π 5 π 75 5 (ITA ) Um cone circular reto com altura de 8 cm cm e raio da base de cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone ( ) ( ) ( 6 )

4 7 8 ( ) 7 ( ) 6 6 (ITA ) Duas retas r e r são paralelas à reta y = 7 e tangentes à circunferência d é a distância de r até a y y =. Se origem e d a distância de r até a origem, então d + d (ITA ) Sabe-se que é um número real pertencente a ao intervalo ], π [ e que o triplo da sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a. Então, cosseno de (ITA ) Sendo um número real positivo, considere as matrizes log = log log A e B = log log A soma de todos os valores de para os quais T ( AB ) = ( AB) 5 8 (ITA ) Considere as matrizes M a = b c e I = 8 (ITA ) Seja p () um polinômio divisível por. Dividindo-o por +, obtêm-se o quociente Q ( ) = e o resto R (). Se R ( ) =, então o coeficiente do termo de grau de P () 5 em que a e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q >. Sejam λ,λ e λ as raízes da equação det( M λ I) =. Se λ λ = a e + λ + λ 7a λ então a + + b c λ +, (ITA ) Considere as matrizes = M, = P e Se X é solução de igual a: N =, = y z X. M NX = P, então y + z + é (ITA ) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo  mede 5 cm. Sabendo:  = arccos e 5 Ĉ = arcsen, 5 então a área do triângulo ABC 5 cm 5 cm cm 5 cm 5cm

5 (ITA ) Considere a circunferência inscrita num triângulo isósceles com base 6 cm e altura de cm. Seja t a reta tangente a esta circunferência e paralela à base do triângulo. O segmento de t compreendido entre os lados do triângulo mede :,5cm cm cm,5cm cm (ITA ) Considere uma pirâmide regular com altura de 6 cm. Aplique a esta pirâmide dois cortes planos e paralelos à base de tal maneira que a nova pirâmide e os dois troncos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja base é a base da pirâmide original ( 6) cm ( 6 ) cm ( 6 ) cm ( ) cm ( ) cm 5 (ITA ) Para no intervalo, ] todas as soluções da inequação π sen( ) sen( + ) > é o intervalo definido por π π π π < < < < π π π π < < < < 6 [ π, o conjunto de π π < <

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