ITA 2004 MATEMÁTICA. Você na elite das universidades! ELITE

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1 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE IME PORTUGUÊS/INGLÊS Você na elite das universidades! ITA MATEMÁTICA

2 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA GABARITO ITA MATEMÁTICA. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U {,,,,,,, 7, 8, }: I. U e n( U ). II. U e n( U ). III. U e {} U. IV. {,,, } { }. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações. Alternativa C Analisando as afirmações: I - falsa: a relação de pertencer ocorre entre elementos e conjuntos. A relação de conter ou estar contido ocorre entre dois ou mais conjuntos, portanto, o correto seria U. II - verdadeira: vide afirmativa I. Além disso, U possui elementos. III - verdadeira: é elemento (logo U) e {} é subconjunto de U (logo {} U) IV - falsa, pois {,,, } {} {}. Seja o conjunto S{r Q:r e r }, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: 7 I. S e S. II. { R : } S. III. S. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) I. e) II. Alternativa D I - verdadeira: Q e, logo S Q e, logo S. II - falsa: eistem infinitos números racionais entre e e, sendo o conjunto dos números racionais um subconjunto de R, todos eles pertencem também a R, logo a intersecção possui um número infinito de elementos. Por eemplo: S, R e, logo { R : }. III falsa: Como Q, S.

3 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA. Seja α um número real, com < α <. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de tais que α <. α, +, +,,,+ a) ], ] [ [ b) ], [ ] [ c) ] [ d) ] [ e) ] [ Alternativa C α α [ ] / < α. α < α α. α < α + α < α Como temos < α <, logo: portanto < < ou S ], [. - + > Considere a função f:r C, f()cos+isen. Então,, y R, o valor do produto f()f(y) é igual a a) f(+y) b) f(+y) c) i f(+y) d) f(y) e) f()+ i f(y) Alternativa B f() cos + i sen (cos + i sen ) f(y) cos y + i sen y (cos y + i sen y) f(). f(y) [ cos cos y - sen sen y + i (sen y cos + sen cos y)] [cos (+y) + i sen (+y)] Portanto: f(). f(y). [cos (+y) + i sen (+y)] f(+y). Considere pontos distintos dispostos no plano, dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máimo, destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos? a) b) c) d) e) Alternativa A O número de triângulos que podem ser formados com estes pontos é igual ao número de maneiras de escolher-se pontos distintos entre estes menos o número de maneiras de escolher-se dos cinco pontos que estão na mesma reta, pois estes não formam um triângulo..... C, C,. Seja R e a matriz A. Assinale a opção correta. log a) R, A possui inversa. b) Apenas para >, A possui inversa. c) São apenas dois valores de para o qual a possui inversa. d) Não eiste valor de para o qual A possui inversa. ( + )

4 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA e) Para log, A não possui inversa. Alternativa A det A ( + ) log.(log -( +) - ) det A.(log -( +) - ). A é inversível se e somente se det A. Suponha det A :.(log -( +) - ) log -( +) -, pois é sempre positivo. Assim log /( +) ( +) /log log ; Como log <, então conclui-se que <. Portanto não eiste real que satisfaça a equação det A, daí conclui-se que R, A possui inversa. 7. Considerando as funções arcsen : -, - π, π assinale o valor de cos arcsen + arccos. 7 a) b) c) [ ] [ ] + e arccos : [-, ] [,π ] d) +, e) Alternativa B Seja arcsen sen ; y arccos cos y ; y [- π, π ] [, π ]. Logo: cos arcsen + arccos cos( + y) Além disso, sabe-se que: sen + cos cos - cos sen y + cos y sen y - sen y Como cos( + y) cos cos y - sen sen y então cos( + y) Considere um polígono conveo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a º. Então, seu maior ângulo mede, em graus, a) b) c) d) e) Alternativa E A soma dos ângulos internos de um polígono é S n (n - ) 8 o. Para n temos S n o. Sejam a, a,..., a os ângulos internos do polígono e r a razão da PA. Então:

5 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA a a - r a a + r a a - r a 7 a + r a a - r a 8 a + r a a - r a a + r Portanto: a + a a a S n o a o a º + º º. O termo independente de no desenvolvimento do binômio a) 7 b) 7 c) 8 d) 7 e) 7 é Alternativa E B B O termo geral do binômio será: i i i i + i Ti ( )... i Para o termo i ser independente de, devemos ter o epoente de igual a zero, ou seja: i i + i - + i i 8 então: 8 T8 ( ) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada nn, n : I. O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula. II. Se A (a ij ) é tal que a ij para i > j, com i,j,,, n, então det A a a a nn. III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por + e a segunda por, mantendose inalteradas as demais colunas, então det B det A. Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s): a) apenas I b) apenas III c) apenas I e II d) apenas II e III e) todas Alternativa D

6 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA I falsa. Para que o determinante de uma matriz seja nulo, basta que uma fila (linha ou coluna) seja combinação linear de outra, o que não requer que a fila seja nula. Por eemplo: II verdadeira. Basta aplicar o teorema de Laplace ou Chiò sucessivamente em cada linha (ou coluna) e chegamos ao valor det A a. a... a nn. III verdadeira. det B ( + ).( ). det A ( ( ) - ) det A det A. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a π cm, e uma pirâmide regular cuja base heagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de cm, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm, a) 8 7 b) 7 7 c) 7 d) 8 e) 7 Alternativa A h h Cálculo de R: A área da base da pirâmide é dada por: R R. A B. R R cm Cálculo de h: V cil π R h π h h cm Seja H a altura da face lateral: R R H R h H (.) + H H 7 7 área lateral:.(área de cada face) R 8 7 cm

7 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA π π. O conjunto de todos os valores de α, αg,, tais que as soluções da equação (em ) 8 + tgα são todas reais, é π a), π π b), π π c), π π π d), e), Alternativa D Seja Int 8 π π, + tgα (I) fazendo y tem-se y 8 ± 8 tgα 8 y + tgα y 8 - tgα tgα. Portanto, para que todas as soluções de (I) sejam reais é necessário que y e y e tgα (II) (Pois ± y ) (i) y tgα que é verdade α Int tal que tg α (Pois m m, por definição) (ii) y 8 8 tgα 8 tgα 8 8 tg α < ( ) 8 tgα 8 tg α (III) Portanto, de (II) e (III) temos que as soluções da equação (I) (em ) são todas reais quando π tgα α, pois α π π π,, ou seja, α,. Sejam as funções f e g definidas em R por f() + α e g() -( + β), em que α e β são números reais. Considere que estas funções são tais que 8 f g Valor mínimo Ponto de mínimo Valor máimo Ponto de máimo - < > Então, a soma de todos os valores de para os quais (fog)() é igual a a) b) c) d) e) 8 Alternativa D f() + α

8 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA α - α a α Ponto mínimo de f < - < α > (II) ( ) Valor mínimo de f De (I) e (II): α f() + α α ± (I) g() - - β (-β) - ( -) β Valor máimo de g - - a - β Ponto de máimo de g > - > β < De (III) e (IV): β - g() - + β β ± (III) (IV) (fog)() f(g()) (- +) + (- +) Soma das raízes (- ) -. Considere todos os números z + iy que têm módulo produto deles é igual a a) b) 8 c) 7 e estão na elipse + y. Então, o d ) e) 7 Alternativa B Im 7 Re 7 7 z + iy z + y, mas z logo + y Como os pontos devem estar sobre a elipse, obtemos o seguinte sistema: 7 + y + y 7 y y 7 y ± Logo, ± z + i; z i; z + i; z i 7

9 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA O produto z, z. z, z vale: + +. Para algum número real r, o polinômio 8 + é divisível por ( r). Qual dos números abaio mais está próimo de r? a), b), c), d), e), Alternativa B ª p() p() p() ( + ) - ( + ) + ( + ) p() ( + ). ( - + ) p() ( + ). ( - ) Assim, as raízes do polinômio são (raiz simples) e (raiz dupla) logo r, ª Como p() 8 + é divisível por ( r) então r é raiz de p() e de p (). Mas p () 8. Fazendo p () : -8 ou - 7 como p e p, temos que p() é divisível por Portanto r,.. Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos (, y) do plano que satisfazem a equação + y y det 88. a) Uma elipse. b) Uma parábola. c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole. e) Uma reta. Alternativa C 7 Seja L i a linha i do determinante dado. Realizando as operações L - L, L - L e L - L, obtemos: + y y Aplicando o Teorema de Laplace na ª coluna, temos: 88 8

10 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA + y Realizando agora L - L e L - L, obtemos: + y y 88 y 88 + y y ( ) 88 y + ( - ) - ( - ) - ( + y - ) - ( - ) + (y - ) Logo, o lugar geométrico é uma circunferência de centro C(; ) e raio. 7. A soma das raízes da equação z + z - z + z, z C, é igual a a) - b) - c) d) e) Alternativa A z + z z. z + z z.( z + z z + ) z é raiz Fazendo z + yi: y +yi + + iy + yi + y + + (y + y)i y + y y.(+) y (I) ou - (II) y + + y De (I): y - (impossível) De (II): - y y ± (ok) Assim as três raízes são z, z -+ i e z -- i Logo z + z + z - 8. Dada a equação + (m + ) + (m + ) +, em que m é uma constante real, considere as seguintes informações: I. Se m ], [, então eiste apenas uma raiz real. II. Se m ou m +, então eiste raiz com multiplicidade. III. m R, todas as raízes são reais. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) II e III e) I e II Alternativa E + (m+) + (m + ) m + m + +

11 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA ( +) + m (+) + ( + ) ( + ).( + m + ) ou +, e portanto - é raiz, m R. ou + m + m - então temos: Se < então - < m <, duas raízes não reais, portanto I é verdadeira e III é falsa. Se m ±, uma raiz de multiplicidade, portanto II é verdadeira. Duas circunferências concêntricas C e C têm raios de cm e cm, respectivamente. Seja AB uma corda de C, tangente à C. A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco mede, em cm, a) (π ) b) 8(π + ) c) 8(π ) d) 8(π + ) e) (π + ) Alternativa C Vejamos a figura a seguir: A C C º M º B No OAM, temos: AM + ( ) AM Logo: m(aôm) m(bôm) º Seja S a área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco : S S menor setor circular AOB S triângulo AOM π ( ) S 8( π ) cm.. A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um circulo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm, é igual a: a) π R b) π R π c) R d) π R π e) R Alternativa E

12 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA h g R Diâmetro do círculo R + g Área total do cone A t π(r+g) / πr + πrg π(r+g) / g Rg R g (R±R)/; g > g R h g R h R Volume V R h π πr ( ) R V πr / πr /. Seja A um conjunto não-vazio. a) Se n(a) m, calcule n(p(a)) em termos de m. b) Denotando P (A) P(A) e P k+ (A) P(P k (A)), para todo número natural k, determine o menor k, tal que n(p k (A)), sabendo que n(a). a) Se um conjunto A tem m elementos, o número de elementos das partes de A (P(A)) é dado por: n(p(a)) m b) Foi dado que: P k+ (A) P( k (A)) Para k P (A) P(P (A)) onde P (A) P(A) n(p (A)) Para k P (A) P(P (A)) Logo, P (A) > e o valor mínimo de k é.. Uma caia branca contém bolas verdes e azuis, e uma caia preta contém bolas verdes e azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caias. Para tanto, dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que, retira-se uma bola da caia branca. Nos demais casos, retirase uma bola da caia preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde? Seja: S a probabilidade de se retirar uma bola verde; P b a probabilidade de escolher a caia branca; P vb a probabilidade de pegar bola verde na caia branca; P p a probabilidade de escolher a caia preta; P vp a probabilidade de pegar bola verde na caia preta. Então P b P vb 8 P p P vp e + S P b P vb + P p P vp

13 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA. Determine os valores reais do parâmetro a para os quais eiste um número real satisfazendo a. π π eiste apenas se -, então podemos afirmar que eiste α, cos α. Assim: cos α a - sen α tal que senα e a senα + cosα Observando que a deve ser menor ou igual ao valor máimo da soma (senα + cosα) e que este valor é positivo temos: a Ma[ sen α + cosα] Ma ( senα + cosα ) a + a a Ma[ + sen α ] a a + Ma( sen α ). Sendo + i z, calcule n z n z + z + z z. + i i π π Z + cis z cis cisπ A epressão z + z + z z é uma PG de a z e r z. Logo: n z n z z z( z ) z z z + + z( z ) z + i + z z z log. Para b > e >, resolva a equação em : () b log () b. log logb ( ) ( ) b Aplicando logaritmo de base aos dois lados da equação: log b. log log b. log log b ( + log ) log b. (log + log ) + log log b. log b (log + log ) + log log (log + log ) + log (log ) + log. log log ( - log ) (log ) - log (log - ) (log + ) (log - ) log - (log + log ) - log log -

14 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA. Considere a equação d, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ],[? ª Seja r a raiz dupla em questão e m a terceira raiz. Pelas relações de Girard, temos: r + r + m () r. r + r. m + r. m () r. r. m d () De () e () vem: r + m m r r + rm r + rm r + r( r ) r + r r ± Como r ], [, então r + Assim: m + m Substituindo os valores obtidos de r e m na relação (), obtemos: d r m + d ª Seja f() + + d. Uma raiz dupla de f() deve ser raiz da derivada f '( ) +. As raízes de + são e + ; destas, é a única no intervalo ], [. Logo f() terá raiz dupla em ], [ se, e somente se, Ruffini: d f. Utilizando o algoritmo de Briot d Logo d. 7. Prove que, se os ângulos internos α, β e γ de um triângulo satisfazem a equação ( α ) + sen( β ) + sen( γ ) sen,

15 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA então, pelo menos, um dos três ângulos α, β ou γ é igual a º. Sendo α, β e γ os ângulos inteiros de um triângulo, então temos: α + β + γ 8º γ 8º - (α + β) Da relação fornecida: senα + senβ + senγ senα + senβ + sen{[8º - (α + β)]} Aplicando as fórmulas de prostaférese, temos: α + β α β sen. cos + sen( α + β) α + β α β α + β α + β α + β α β α + β sen. cos + sen. cos sen cos + cos α + β α β sen. cos. cos α + β sen ou α cos ou β cos α + β º ou α º ou β º α + β 8º ou α º ou β º α º ou β º ou γ º 8. Se A é uma matriz real, considere as definições: I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A - A T. II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se a ij, para todo i, j,..., n, com i j. Determine as matrizes quadradas de ordem que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais. Como A é quadrada, de ordem e diagonal, vem: a A Sendo A ortogonal, A - A T. Como AA - I, AA T I: a a b. b c b c c

16 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA a b c a ± b ± c ± ± A Logo, eistem 8 matrizes que satisfazem as condições do problema, que são da forma:. Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de º. Seja C uma circunferência de cm de raio, cujo centro O se situa em s, a cm de r. Determine o raio da menor circunferência tangente à C e à reta r, cujo centro também se situa na reta s. ± ± A menor circunferência que cumpre as eigências enunciadas está representada acima. Para determinar seu raio, pode-se aplicar semelhança de triângulos: D A C R º B R + O ABC: sen º R R / AOD: sen º / R + ( R + ) + R + / + ( + ) R + R. + R ( )cm. Sejam os pontos A: (, ), B: (, ) e P: (, + ). a) Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e é tangente ao eio y. b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência C que passam pelo ponto P.

17 Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA y ( ; ) P + r C( ci y c ) A B t s a) O centro da circunferência procurada está sobre a reta t : ( // ao eio y ) A distância de C até A é raio da circunferência e vale : d ( ) + y ( ) + y + y CA c c e y c (pois o centro da circunferência está no º quadrante) Logo, a equação é ( ) + ( y ) b) a equação do feie de retas que passa por ( ; ) y ( + ) m( ) c P + é m y m + + A distância de C até as retas r e s é o raio da circunferência. Como r e s pertencem ao feie, tem-se: m m + + dd,s m + m + Então: m + m + e m ± Assim: r: y ( + ) ou y + + s: y ( + ) ( ) ou y + + c