Questão 01 EB EA = EC ED. 6 x = 3. x =

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1 Questão 0 Seja E um ponto eterno a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = e AG = 6, então GF vale a) b) c) d) 4 e) 5 : EB = 5 e AB = 7, logo EA = EC = 4 e GD =, se CG = y Então: ED = 7 + y E 5 AG = 6 e GF = B 4 Usando relação entre cordas teremos: 7 C EB EA = EC ED A y 5 = 4 ( 7+ y) 6 G 7+ y = 5 Portanto, y = 8 F Aplicando potência de Ponto em G, temos: D GA GF = GD GC 6 = y 6 = 8 4 = 6 = 4 Alternativa D Questão 0 Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A,B S, então A B ou B A. Então, o número máimo de elementos que S pode ter é a) n b) n/, se n for par, e ( n + )/ se n for ímpar c) n + d) n e) n +

2 Se U possui n elementos, o seu conjunto de pares P(U) terá n elementos. n n n n n = , 0 n note n + tipos de conjuntos (entenda como do mesmo tipo conjuntos com eatamente o mesmo número de elementos). Para dois subconjuntos X e Y de U com o mesmo número de elementos, se X, Y S então, X Y ou X Y, que resulta em X = Y. Logo, de cada tipo de conjunto podemos escolher no máimo um elemento; e portanto, o número máimo de elementos de S é n +. Alternativa C Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(b\a), n(a\b) e na ( B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(b\a)= 4 e na ( B) + r= 64, então, na ( \ B ) é igual a a) b) 7 c) 0 d) e) 4 Questão 0 A B nab ( \ ) na ( B) nba ( \ ) A seqüência ( n( B/ A) ; n( A/ B) ; n( A B) ) n( A B) = n( A\ B) + n( A B) + n( B\ A) 64 r = r+ 4 + r 64 r = + r 5 = 4r r = n A\ B = 4+ r = 4+ = 7 Alternativa B é uma P.A. de razão 0; r > ou seja, ( n( B/ A) ; n( A/ B) ; n( A B) ) = ( 4;4 + r; 4+ r) Questão 04 Seja f : definida por f( ) = 77 sen[5( +π / 6)] e seja B o conjunto dado por B= { : f( ) = 0}. Se m é o maior elemento de B (, 0) e n é o menor elemento de B (0, + ), então m+ n é igual a a) π /5 b) π /5 c) π /0 d) π /5 e) π /5

3 π 5π f ( ) = 77 sen 5 + = 0 sen 5 + = π ( 6k 5) 5 = = kπ, k =, k 6 0 i) Cálculo em m: ( 6k 5) π 5 = < 0 k < Logo, o maior k é 0, que gera m = π = π 0 6 ii) Cálculo de n: ( 6k 5) π 5 = > 0 k > 0 6 π Logo, o menor k é, que gera n = 0 De i e ii vem: π π π m+ n = + = Alternativa E - - Considere a equação (a -a )/(a +a )=m, na variável real, com 0< α. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é a) (, 0) (0, ) b) (, ) (, + ) c) (, ) d) (0, ) e) (, + ) Questão 05 a a = m a + a m a = m a ma + = + a a a m a ma = + a a m + a ( m) = a m a = + m + Para que tenhamos solução real: m + > 0 m + m (, ) Alternativa C

4 Considere uma prova com 0 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 0 questões é 4 a) 4 0 b) 4 60 c) d) 4 0 e) 7 Questão 06 Devemos combinar quaisquer 7 questões entre as 0 da prova. Não esquecendo de multiplicar pelas 4 possibilidades de erro de cada uma das incorretas: 7 4 C0 4 = 4 0= 4 4 0= 4 0 Alternativa A Questão 07 0 k Considere as seguintes afirmações sobre a epressão S 8 = log 4 : 0 I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão / III. S = 45 IV. S 44 + log8 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I e III b) II e III c) II e IV d) II e) III Podemos reescrever a epressão da forma: 0 k ( log84 log8 ) S = + k = log8 log84 k k= 0 k= k 8 k = log8 4 k 6 k= 0 S = +, ou ainda: S = 0 log + log 4 S = + S = k = Que é a soma de uma progressão aritmética finita de razão ( 0 + 0) S = = 45 E, por fim, S > 44 + log 8 Assim, são verdadeiras as afirmativas II e III. Alternativa B e seu valor numérico será: 4

5 Questão 08 Se para todo z, f ( z) a) b) z c) Rez d) Imz e) z = z e f ( z) f() = z-, então, pra todo z, f () f( z) + f() f( z) é igual a Sendo μ, υ, sabe-se que [ f( z) f() ] f( z) f() ( z ) ( z ) [ f( z) f() ] f( z) f() ( z ) ( z ) μ = μ μ e μ υ=μ υ. Assim, tem-se que: f( z) f() = z f( z) f() = z = = f ( z) f( z) f( z) f() f() f( z) + f() f() = z z z z+ f( z) f( z) f() f() f( z) + f() = z z+ z + Mas, como f ( z) = z, em particular f () = = e z+ z = Re z, Então, z f( z) f() f() f( z) + = z Rez+ f() f( z) + f() f( z) = Re z Alternativa C Questão 09 cot = 4, kπ /, k, é O Conjunto solução de tg ( ) g ( ) π kπ a) +, k 4 π kπ b) +, k 4 4 π kπ c) +, k 6 4 π kπ d) +, k 8 4 π kπ e) +, k 4 tg cotg = 4 sen cos 4 = cos sen cos cos cos sen sen 4 = sen Mas, sen cos ( ) = cos( ) e 4sen ( ) cos ( ) = sen( ), daí, 5

6 ( ) ( ) cos ( ) tg sen = = ± π π = + k, k, que traz: 4 S = = π + k π, k 8 4 Alternativa D n Se α [0; π ) é o argumento de um número compleo z 0 e n é um número natural tal que ( z/ z ) = isen( nα ), então, é verdade que a) nα é múltiplo de π b) nα π é múltiplo de π c) nα π /4 é múltiplo de π / d) nα π é múltiplo não nulo de e) nα π é múltiplo de π Questão 0 Podemos escrever z da forma: n n cos( nα ) = 0, que fornece z = z cos nα + i sen( nα), logo π nα= + kπ, k nα π= kπ Alternativa B Questão A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear a) a b b) a+ b = 0 c) 4a 6b = 0 d) a/ b = / e) ab = 4 Escalonando o sistema temos: 5 ~ 0 a b 0 0 a 6 b 4 Para que o sistema seja incompatível devemos ter a 6= 0 a = 6 e b 4 0 logo b 4, ou seja: a b Alternativa A + y+ z = + y + 5z = + y+ az = b 6

7 Questão a b c Se det p q r =, então o valor do y z a) 0 b) 4 c) 8 d) e) 6 a b c det p q y r z y z é igual a a b c Se det p q r =, temos: y z a b c a b c a b c p+ q+ y r+ z = p q r + y z y z y z y z Portanto, a b c p q r + 0 (pois duas linhas são proporcionais) y z Então det = Alternativa D Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite i como raiz de multiplicidade. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 0 e 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são a) / 9/6,,/+ 9/6 b) 4,,+ 4 c) 4,, 8 d),, 8 e),, 5 Questão Como i é raiz de multiplicidade, conclui-se que + i também é raiz de multiplicidade. Assim, já tem-se quatro raízes de p e podese afirmar que as demais são as raízes reais mencionadas no teto. Sendo y r, y e y+ r as raízes reais de p, ( i) + ( + i) + ( + i) + ( i) + ( y r) y ( y r) 0 y ( i) ( + i) ( + i) ( i) ( y r) y ( y+ r) = r = ou r = = = e 40. Independente do valor de r a ser considerado, as raízes reais de p são, e 5. Alternativa E 7

8 5 Sobre o polinômio p = podemos afirmar que a) = não é raiz de p b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras e) p admite somente raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais Questão 4 Como p() = 0, então = é raiz de p, além de p() ser divisível por d() =. 4 Dividindo p() por d() encontra-se quociente q( ) = Então para se determinar as outras raízes de p devem ser determinadas as raízes de q: 4 q( ) = 0 q( ) = = = 0, Já que = 0 não é raiz. Fazendo + = y, tem-se que: y + y = 0 y + y y = ou y = Assim, + = ou ou + + = 0 ± i = ou + = + = 0 ± 5 =, com i =. Portanto, p tem três raízes reais, sendo uma inteira e duas irracionais, e duas raízes compleas. Alternativa E Questão 5 Seja o sistema linear nas incógnitas e y, com a e b reais, dado por ( a b) ( a+ b) y = ( a+ b) + ( a b) y = Considere as seguintes afirmações: I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0 II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos III. + y = ( a + b ), se a + b 0 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas a) I b) II c) III d) I e II e) II e III Tem-se que: ( a b) ( a+ b) D = = ( a b) + ( a+ b) = ( a + b ). ( a+ b) ( a b) 8

9 0+ 0y = i) Se a = b= 0, então. 0+ 0y = Portanto, o sistema é impossível. ii) Se a e b não são simultaneamente nulos, então a iii) Pela regra de Crammer: ( a+ b) ( a b) a a = = =, a + b a + b a + b ( a b) ( a+ b) b b y = = = + + Assim, y ( a b ) a + b ( a b ) ( a + b ) ( a + b ) + b 0, o que torna o sistema possível e determinado, pois D 0. a b y a b a + b + = + = = + Com isso, pode-se afirmar que são verdadeiros apenas os itens II e III. Alternativa E Considere o polinômio p = ( a+ ) + a, onde a. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p() só admite raízes inteiras, é a) { n, n } b) {4 n, n } c) {6n 4 n, n } d) { nn ( + ), n } e) Questão 6 Como P() = 0 P() é divisível por d() =. Efetuando a divisão de p() por d(), obtém-se quociente q() = + a. Daí, p() = ( ) ( + a), então, p = 0 ( ) + a = 0 = ou m+ n= (I) m n= a (II) a. + = 0 (sendo que suas raízes devem ser inteiras). Sendo tais raízes m e n, De (I) em (II): a = n(n + ) Contudo, para que o delta da equação quais p() só admite raízes inteiras, é: nn ( + ), n { } + = 0 não seja negativo, a. Logo, o conjunto de todos os valores de a, para os a Alternativa D Questão 7 Numa circunferência C de raio r = cm está inscrito um heágono regular H ; em H está inscrito uma circunferência C ; em C está inscrito um heágono regular H e, assim, sucessivamente. Se a) 54 b) 54 c) 6( + ) d) 7 /( ) e) 0( + ) A n (em cm ) é a área do heágono H n, então 9 An (em cm ) é igual a n=

10 Sendo = cm e n, a medida dos lados do heágono regular H n, tem-se que: A 4 = n n+ n+ n+ = n A = n Como ( A n ), forma uma progressão geométrica de razão A = 6 = cm, então n= l A 4 4 An = = = = 54 cm q 4 4 q = e 4 Alternativa B Questão 8 Sejam a reta s: 5y+ 7 = 0 e a circunferência C: + y + 4+ y =. A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eio Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo 9 8 a), 8 74 b), 74 0 c), 0 74 d), 75 9 e), ( s) : 5y+ 7 = 0 C ( y ) ( + ) + ( y+ ) = 4 :( ) 4+ = Centro da circunferência (, ) Raio = R = 4 Sejam r e r retas tangentes a circunferência C e perpendiculares a (s) ( r):5+ y+ k = 0 d 0, r k = = k =± 4 i) + k = 5 k = 74 Logo: 5 + y+ 74= 0 ( r ) ii) + k = 5 k = 0 Logo: 5 + y 0= 0 ( r ) 0 Se = 0 em r teremos y = - o(-,-) y (S) - 5 y+ 7 = 0 r - r 0

11 74 Se = 0 em r teremos y = O que deia a referida questão sem gabarito, pois esperávamos (nós alunos) um conjunto-solução onde que não acontece estivesse contido, o Questão 9 Os focos de uma elipse são F (0, 6) e F (0, 6). Os pontos A (0, 9) e B, ( ), > 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F e F é igual a a) 0 b) 8 0 c) 5 0 d) 0 e) 6 0 Na figura, estão representados os pontos F, F, A. Note que a área pedida pode ser calculada por Sendo FF = = 6 ; sendo a abscissa de B. y + = a equação dessa elipse, tem-se que a = 8 e b = 8 6 = 45. b a B =, pertence à elipse, Como -b y 9 A F 6 B b = = = 40 = 0, pois > Assim, a área pedida é 6 = 6 0 = F Alternativa D Questão 0 Uma pirâmide regular tem por base um heágono cuja diagonal menor mede cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60º com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm, é a) 8 / b) 8 / c) 8/ d) 7 e) 7 Seja ABCDEF a base da pirâmide e V o seu vértice, como ilustra a figura. V D C E H M F A Sendo a medida dos lados da base da pirâmide, = = cm B

12 Considerando que M seja o ponto médio de AB, sabe-se que HM Daí, cos 60º VM HM cm VM = = = Portanto, a área total da pirâmide é: = + = cm 4 Alternativa A VMH = 60º e HM = cm Questão Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = { A,, Am } P( A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. Ai o /, i =,, m II. Ai Aj = o /, se i j, para i, j =,, m III. A = A A Am Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se na ( i ) a) As ordens possíveis para uma partição de A. b) O número de partições de A que têm ordem. = k, i =,, m. Supondo na= 8 determine: a) Das condições notamos que a ordem k da partição deve ser divisor positivo do número de elementos de A. Supondo n(a) = 8, concluímos que os possíveis valores de k são,, 4 e 8. b) Devemos escolher 4 subconjuntos de eatamente elementos respeitando as condições I, II e III, logo: C8, C6, C4, C, número de partições: = = 05. P 4 Questão 4 Seja f :[0, ) definida por, 0 < / f( ) =., / < f( + /), /< < 0 Seja g :( /, /) dada por g =, com f definida acima. Justificando a resposta, f ( + /), 0 < / determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Encontremos as leis de formação para g:, 0 < f( ) =, fazendo, < = a+ vem: α+ = α+, α< 0 f α+ = α+ = α, 0 α<

13 f + = +, < < 0 Daí g = f + =, 0 < +, < < 0 g = ( ) +, 0 < Seja β ],0 [ g β = β+ () 0, g ( β ) = ( ( β )) +, pois β ] [ g ( β ) = β + () De () e () e lembrando que o mesmo ocorreria se β fosse tomada no intervalo ] 0,/ [ Concluímos que g é par. Questão Determine o coeficiente de 4 9 no desenvolvimento de ( + + ) k k + + = + + = + ( ) k = 0 k Para k = p 9 ( + ) =, que possui um como único termo em : = = 6 0 P= 0 p 4 4 Para k = p 8 87 ( + ) = 9, que possui como único termo em 4 : 9 = 9 = 5 p= 0 p 4 4 Para k = p ( + ) = 6, que possui como único termo em : 6 = 6. p= 0 p 0 Para k > não mais teremos termo 4. Do eposto concluímos que o coeficiente do termo em 4 do desenvolvimento de ( ) + + é igual a = 44. Questão 4 π π Determine para quais valores de, vale a desigualdade log cos (4sen ) log cos (4 sec ) >. Condições de eistência: π π i) cos > 0,0 0, ii) 4sen > 0 sen> sen> ou sen < 4 π π π π,, 6 6 iii) 4 sec 0 sec 4 > <

14 cos > cos > 4 π π, De i, ii e iii vem: π π π π,, 6 6 (I) 4sen logcos > log cos cos 4 sec 4 sen cos < 4 sec 4sen < cos 4 sec 4sen < 4cos π π < < < < < 4 4 π π, () 4 4 tg tg De () e () vem: π π π π,, Questão 5 Considere o polinômio p = + a + +, com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira: Se uma das raízes de p() é racional, então todas as suas raízes são racionais. Sejam α, β e γ as raízes de P : α+β+γ = a () β α= d β=α+ d (), em que d é um número racional. Voltando em (): α+α+ d +γ = a α+γ = a d, em que a d é racional. Lembrando que a soma de um número racional com outro irracional é obrigatoriamente irracional, concluímos que entre α e γ se um deles for racional o outro também será, e nesse caso β também será racional (equação ). Do eposto notamos que se uma das raízes de P é racional então, todas as suas raízes são racionais, ou seja, a afirmação é verdadeira. 4

15 Questão 6 As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão metros. Calcule a área total deste cone em m. PA ( R, h, g) B Sendo a razão de P.A.: R = h e g = h+ Fazendo Pitágoras no Δ OAB : g g = h + R h ( h+ ) = h + ( h ) h = 8m Voltando em (): R = 6m e g = 0 m Seja A a área total do cone: 0 R A A R R g = π +π = π +π A = 96π m Questão 7 Sejam as matrizes 0 / 5 A = 5 / 0 e / B = 5 / 5 Determine o elemento C 4 da matriz = ( + ). C A B A+ B = A + : B Cálculo de A+ B = ~ ~ / / /9 /9 0 0 ~ ~ / / / / Portanto: 5

16 / / 0 0 /9 /9 0 0 C = A+ B = C,4 = 0 0 5/ / 0 0 / / Obs.: Poderíamos também ter chegado ao elemento C,4 sem encontrarmos a matriz C, e para tanto utilizaríamos os cofatores da matriz A + B. Questão 8 Seja ( a, a, a,, a n, ) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de é 6/, determine o valor de a+ r. ( n a, a, a,..., an... = a, ar, ar,..., ar,...) 6 a + a4 + a = 4 a + a6 + a = ar + ar + ar +... = 4 ar + ar + ar +... = ar ar 6 = 4 = r r 6 ( r ) ar = 4 ( r ) ( I) ar = () r De () e (): 6( r ) 4 ( r ) = r 4 ( r)( r + r+ ) ( + r)( r) = r 4( r + r+ ) + r = r r+ r = 4r + 4r+ 4 9r + 9r 4= 0 9± r = 8 9± 5 r = 8 9± 5 r = =, pois r > 0. 8 Voltando em : a = 4 a = Logo, a+ r = + = 6

17 Questão 9 Sabendo que 9y 6 44y = é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. Fatorando: 9y 44y = 0 ( y y ) ( ) = 0 ( y ) ( ) = 0 ( y ) ( ) ( y ) ( ) = = ( y 8) ( 7) = 6 9 a = 6 e b = 9 Lembrando que c = a + b vem: c = = 5 c = 5 Daí a distância focal c vale 0. Questão 0 Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 00 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em cm, do círculo inscrito neste losango. D = 00 = 5cm AC = 40 cm OC = 0 cm A O No Δ ODC : = OC + OD 5 = 0 + OD B OD = 5 cm Percebemos que o raio da circunferência inscrita no losango é igual a altura relativa à hipotenusa do Δ ODC : R = OC OD 5 R = 0 5 R = cm Seja A a área pedida: A=π R =π A = 44π cm C 7