( ) ( ) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x Î Ç B é : x Ï A ou x Ï B.

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1 Considere as afirmações abaio relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de Î Ç B é : Ï A ou Ï B. II. A Ç( B È C) = ( A Ç B) È( A Ç C). III. ( A/ B) È ( B / A) = ( A È B) \ ( A Ç B). Destas, é (são) falsa(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) apenas nenhuma. I. Se Ï A Ç B então Î( A Ç B) C, mas ( ) C C C A Ç B = A È B Logo ( ) C C C C Î A È B Þ Î A ou Î B Þ Ï A ou Ï B verdadeiro II. Pela propriedade distributiva temos que A Ç( B È C) = ( A Ç B) È( A Ç C) verdadeiro C C III. (A \ B) È (B \ A) = (A-B) È(B- A) = (A Ç B ) È(BÇ A ) = ( ) ( ) é C ù é C C ù = ê A Ç B È Bú Ç ê A Ç B È A ë û ë úû é C C C C ( A B) ( B B) ù é( A A ) ( B A ) ù = ê È Ç È ú Ç ê È Ç È ë û ë úû (( ) ) é C C C = A È B ÇU Ç Ç( È ) ù êu B A ú = ( A È B) Ç( B Ç A ) ë û verdadeiro Resposta: letra e

2 Considere conjuntos A, B Ì e C Ì( A È B). Se A È B, A Ç C e B Ç C são os domínios das funções reais definidas por ( ) In - p, e -p, respectivamente, pode-se afirmar que 5- a) C= ] p,5 [. b) C = [, p]. c) C = [,5 ]. d) C = [ p, ]. e) C não é intervalo. Considerando ( p ) f ( ) = ln - g ( ) = p h( ) = 5- Df : - p > : { p} > p, logo A È B: Î /> Dg logo A Ç C: { Î / } - p Dh : ³ 5- B Ç C : { Î / p < 5} Então o conjunto C será: ( A Ç C) È( B Ç C) A B C C = [,5[ 5 5 A Ç C B Ç C C Resposta: letra c

3 Se z é uma solução da equação em é æ - + öù, z - z + z = - ( i ) i + ç -, pode-se afirmar que êë çè øúû a) i( z - z ) <. b) i( z - z ) >. c) z Î[ 5, ]. d) z Î[,7 ]. e) z + > 8. z Þ a + bi - a + bi + a + b = ( + ) ( -) é ù - i i + z- z + z = êë úû æ 7p 7p ö =-( - i) =- ( ) ç cos + isen çè ø =- (- ) = Þ a + b + bi = Þ b = e a + b = Þ a =± 8 Logo z = 8 ou z = - 8 e z + > 8 z Resposta: letra e

4 Os argumentos principais das soluções da equação em z, iz + z + ( z + z ) - i =, pertencem a a) b) c) d) ùp p é,. ú ê û ë ù p 5p é,. ú ê û ë ù 5p p é,. ú ê û ë ùp p é ù p 7p é, È,. ú ê ú ê û ë û ë p ù 7p é e) ], [ È, p. ú ê û ë iz + z + ( z + z ) - i = i( a + bi) + ( a - bi) + ( a + bi + a -bi) - i = ai - b + a - bi + a - i = ( a a b) i( a b ) = a + a - b = a -b - = a = b + ( b + ) + ( b + ) - b = ( ) 9b + b + + 9b + - b = b + b + + 8b + = D = - 8 = 7 7 tgq = - - = 8 logo 7i z = Resposta: letra c æ-ö - - Se b = - : a = ç + = + = çè ø 7 æ-7ö Se b = : a = ç + = + = = 8 çè 8 ø 8 8 b 5p tgq = = Þ q = a logo i z = - -

5 Considere a progressão aritmética (a, a,..., a 5 ) de razão d. Se d - a é igual a a) b) c) 9 d) e) 5 å å = + 5 d e = 55, então an an n= n= a + a a = + 5d S = + 5d ( a + a ) = + 5d ( a + a + 9d) 5 = + 5d a + 9d = + 5d a = - d a = - d a + a a = 55 S 5 5 = 55 a + a + 9d = 8 a + 9d = 8 ( - d) + 9d = 8 - d + 9d = 8 5d = 8 d = a = - a = -7 logo: d - a = Resposta: letra d

6 Seja, f, g : R R tais que f é apra e g é impar. Das seguintes afirmações: I. f. g é ímpar, II. f o g é par, III. g o f é ímpar é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas f é par, então f() = f(-) g é ímpar, então g(-) = - g() I. h( ) = f ( ) g( ) = y h( - ) = f (- ) g( - ) = - f ( ) g( ) = -y h( ) = -h(-), h é ímpar (verdadeira) II. h( ) = f ( g( )) = fog( ) h( - ) = f ( g( - )) = f (- g( )) = f ( g( )) = fog( ) h( ) = h( -), h é par (verdadeira) III. h( ) = g( f ( )) = gof ( ) h( - ) = g( f (- )) = g( f ( )) = gof ( ) h( ) = h( -), h é par (falsa) Resposta: letra d

7 æ e ö p ç èe -ø A equação em, arctg( e + ) - arccot g =, Î \ { }, a) admite infinitas soluções, todas positivas. b) admite uma única solução, e esta é positiva. c) admite três soluções que se encontram no intervalo d) admite apenas soluções negativas. e) não admite solução. ù 5 é -,. ú ê û ë æ e ö p arctg( e + )- arctg = ( I) ç èe -ø æ p pö a = arctg( e + ) Þ tg a = e +, a Î ç -, çè ø æ e ö e b = arccot g Þ cot g b =, b Î (-p, p) ç èe -ø e - e - tgb = e p a - b = p a = + b æp ö tga = tg ç + b çè ø p tg + tgb tga = p - tg tgb e - + e + = e e - - e e + e - + = e e - e + e e e + e - e + = fazendo e = a e - e + a + a a = + - a - a + -a - a + a + = a a a a - a + a + a - a + = a + a = Testando a = - - a + a - = D = + = - + Se a = - então e = - (não eiste Î que satisfaça) - - Se a =, e = æ - ö = ln ç çè ø Como Se Î que satisfaça) - >, é positivo - a = - então -- e = (não eiste logo a equação admite uma única solução e esta é positiva Resposta: leta b

8 Sabe-se que o polinômio p() = 5 - a + a -, a Î, admite a raiz - i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p: I. Quatro das raízes são imaginárias puras. II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. III. Apenas uma das raízes é real. Destas, é (são) verdadeira(s) apenas. a) I. b) II. c) III. d) I e III. e) II e III. = i é raiz Þ -i divide P() =-i é raiz Þ + i divide P() ( - i)( + i) divide P() + divide P() 5 a -- (- + ) = ( - ) ( a ) ( ) ( - ) + + ( + a) + + = = é raiz do P(). Como = i é raiz temos: i i a i i i + + ( + ) = ( + a) i = a = Logo fazendo + + =, obtemos: as outras raízes do P(), a saber ± i = Resposta: letra c

9 Um polinômio real p() 5 n p( ) = å an, com a5 =, tem três raízes real distintas, a, b e c, que satisfazem o n= ìïa + b + 5c = ïa + b + c = sistema í ï ïî a + b + c = 5 Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p() é igual a a). b). c). d). e). Resolvendo o sistema: a + b + 5 c = a + b + c = a + b + c = 5 (-) (-) ìï ï a ï í ï ïî + b + 5c = b - c = -b - 8 c = 5 - c = c = - (raiz dupla) b ( - ) = b = ( raiz dupla) a (-) = a + 5 = a = (raiz simples) logo p() pode ser escrito na forma fatorada p() = a 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) p() = ( ) ( - ) ( + ) p() = - Resposta: letra a

10 5 n Considere o polinômio p( ) = å an com coeficientes a = - e a n = + ia n-, n =,,..., 5. Das afirmações: n= I. p( -) Ï, II. p( ) (+ + ), " Î[ -,], III. a 8 = a, É (são verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. (a) a = -, a = - i, a = + i, a = i, a = - a = a Þ a = a 5 Þ a = a = a Þ a = a 8 Þ III Correto 5 i (b) å ai = (a + a + a +a )( ) i= 5 i å ai = (a + a + a + a ).( ) i= 8 ( a + a + a + a ).( ) como Î [-, ] ( a + a + a + a ).( ) ( ). ( ). II Correto (c) p(-) = (a - a + a - a ). ( ) p(-) =. = Þ I Falso Resposta: letra e

11 Eepressão 5 5 ( + 5) - ( - 5) é igual a a) 5. b) 9 5. c) 7 5. d) 58 5 e). (a + b) 5 = a 5 + 5a b + a b + a b + 5ab + b 5 I (a - b) 5 = a 5 5a b + a b a b + 5ab b 5 II I - II = a b + a b + b 5 = b (5a + a b + b ) Substituíndo a = e b = 5 obtemos: 5 5 ( + 5) - ( - 5) = 5 ( ) = 9 À@¹ÏÿúÜú Resposta: letra b

12 Um palco possui refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que,para cada um dos refletores, sejam de a probabilidade de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a a) 7. b) 9 8. c) 5. d) e) Para refletores temos: æö P = æö ç çè ø ç çè ø p, = Para 5 refletores temos: 79 5 Þ P = 8 5 æö æö 5, P = Þ ç è ø çè ø p P = 5 = Logo para ou 5 refletores temos: P = 8 + = = 7 Resposta: letra a

13 éa a aù A = Considere a matriz a a5 Î M ( ), em que a =, det A = - e a, a, a, a, a 5 e a formam, êë a úû nesta ordem, uma progressão aritmética de razão d >. Pode-se afirmar que a) -. b) -. c) -. d). e). a d é igual a éa a a ù A = a5 êë a úû det A = a. a = - Þ a a = - a (a + 5 d) = - a + 5a d = - (I) a = Þ a + d = Þ a = d (II) Substuindo (II) em (I) (- d) + 5d ( - d) = - d + 9d + 5d 5d = - - d d + = d + d = d + 5d = D = 5 (-) = 5 d = - 5 ± = = 5 Não convém Logo d = 5 e a = - 5, então a d = - Resposta: letra d

14 Sobre os elementos da matriz A é ù y y y y ê ú Î M ( ) êë úû = ê ú sabe-se que (,,, ) e (y, y, y, y ) são duas progressões geométricas de razão e e de soma 8 e 55, respectivamente. Então, det(a - ) e o elemento (A - ) valem, respectivamente, a) b) c) d) e) 7 e 7 e - - e 7 - e e = = 8 =, logo = = = 8 = 5 y + y + y + y = 55 y =, logo y = y = 8 y = 9 logo A = det(a - ) = deta = det A : : o elemento (A - ) = A det A A = (-) (-) (57 - ) = -8 (A - ) = : : - (-8) = 7 Resposta: letra c -. 7 = - 9 : 7 : = = - 7 ( - ) = - 7 então det (A - ) = - 7 A - = (cofa)t det A

15 O valor da soma å n= sen æaö ç çè n ø sen æa ö ç çè n ø, para todo a Î, é igual a a) é æ a ö ù cos -cosa ê ç79 ë è ø ú û. b) é æ a ö æ a öù sen - sen ê ç ç79 ë è ø è øú û. æ a ö c) cos ç çè ø - cos æ a ö ç çè 79ø. d) é æ sen a ö æ cos a öù - ê ç 79 ç ë è ø è øú û. æ a ö e) cos ç -cosa. çè 79ø æaö Usando prostaférese para o produto sen ç çè n ø sen æa ö ç çè n ø æ p qö cos p - cos q = - sen + ç çè ø sen æ p qö - ç çè ø ì p + q a ï = n ïí p - q a ï = n ïîï Þ p = logo a a a = n n - e q = n æaö sen ç çè n ø sen æa ö ç çè n ø = cosq - cos p = æ ö æ ö cos a cos a - ç n n- è ø èç ø æaö æ Þ å sen aö ç n= çè n ø sen æa ö cos ç çè n ø = ç çè ø -cosa æaö cos æ aö ç + çè 9 ø - cos ç çè ø + æa ö cos æ a ö ç çè 8 ø - cos ç çè 7 ø + æ a ö cos æ a ö ç çè ø - cos ç çè 8 ø + æ a ö æ a ö cos - cos ç è79ø èç ø æ a ö cos ç cosa çè 79ø = - + = é æ ö ù cos a - cosa ê çè 79ø ë ú û Resposta: letra a

16 a Se os números reais a e b, com a + b = p, a b, maimizam a soma sena + sen b, então a é igual a) p p b) p c) 5 5 p d) 8 7 p e) Por prostáferese temos: æb aö æb aö sen a + sen b = + - cos ç è ø èç ø = cos æb aö - ç çè ø Þ sen a + sen b = logo para que sen a + sen b assuma o maior valor possível Temos que ter: æb aö cos - ç = çè ø æ ö cos b - a ç çè ø b - a Þ = kp com k Î Z Þ b - a = kp, com k Î Z como a + b = p e a b temos que ter k =. Sendo assim temos: ìï p ïa + b = í ï ïî b - a = Þ b = p p p Þ b = Þ a = Resposta: letra b

17 Considerando as circunferências C : ( - ) + (y - ) = e C : ( - ) + (y - ) = 9. Seja r uma reta tangente interna a C e C, isto é, r tangencia C e C e intercepta o segmento de reta O O definido pelos centros O de C e O de C. Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede a) 5 b) 5 c) d) 5 e) 9 O (, ) O (, ) A Pela distância entre dois pontos temos: OO = + 8 = no D O O A (vide figura) temos: = + 5 = 5 Resposta: letra a

18 Um cilindro reto de altura cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem cm, o volume do cilindro, em cm, é igual a a) b) c) d) e) p p p p p 9 A altura H de um tetraedro regular de aresta com medida a é dada por H = a, a altura do tetraedro em questão é =, observa-se que a altura do cilindro é igual a / da altura tetraedro. Seja l o lado do triângulo equilátero ABC (vide figura), temos que: l = Þ l = como o raio da circunferência inscrita a um triângulo equilatero é igual a l temos que o raio da base do cilindro será igual. Sendo assim temos que o volume (V) do cilindro será: V = p æ ö ç çè ø = p 9 Resposta: letra d

19 Um triângulo equilátero tem os vértices no pontos A, B e C do plano Oy, sendo B = (,) e C = (5,5). Das seguintes afirmações: I. A se encontra sobre a reta y = - +, II. A está na intersecção da reta y = com a circunferência ( ) ( ) y - = 5, III. A pertence às circunferência ( ) ( y ) e æ ö = 5 ç - + ( y - ) = 75, é (são) verdadeira(s) apenas çè ø a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. Seja r a reta suporte do lado BC e s a reta suporte da altura do triângulo relativa ao lado BC. Sendo assim temos: I) m s = - m r Vy 5 - mr = = = Þ ms = - V 5- æ ö Assim podemos determinar a equação da reta s, uma vez que M 7 ç, que é o ponto médio de BC pertence a s. çè ø æ ö y 7 - = - ç - çè ø - y - = + 8 y = y = - + ( s) 8 d AB logo I é falso. II) A circunferência ( - ) + ( y - ) = 5 tem centro (, ) que é o ponto B e raio 5. Como a distância = d = + = 5 = Raio, a afirmação II é verdadeira. BC æ ö III) A circunferência 7 75 ç - + ( y - ) = çè ø æ ö tem centro M 7 ç, çè ø 5 que é o ponto médio de BC e raio. Como a l 5 distancia d AM é a altura h do triângulo equilátero e h = = = Raio, a afirmação é verdadeira Resposta: letra e

20 Sejam A, B, C e D os vértices de tetraedro regular cujas arestas medem cm. Se M é o ponto médio de seguimento AB e N é o ponto médio do segmento CD, então a área do triângulo MND, em cm, é igual a a). b). 8 c). d). 8 e). 9 A M C / B N D MD =, pois trata-se da altura do triângulo equilatero ABC de lado. ND =, pois N é ponto médio de CD MN é MCD é perpendicular a CD, pois o triângulo MCD é isósceles de base CD. Sendo assim, denotando por a medida do segemento MN e por A a área do triângulo MND temos: æ ö æ ö + = ç è ø çè ø Þ = Þ A = Þ A = 8 Resposta: letra b