a média de gols da primeira rodada, M G a média de gols das duas primeiras rodadas e x o número de gols da segunda rodada, tem-se 15 + x 15 M G

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1 MATEMÁTICA O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5,,,, 0 e. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 0% superior à média obtida na primeira rodada? Sendo M I a média de gols da primeira rodada, M G a média de gols das duas primeiras rodadas e x o número de gols da segunda rodada, tem-se 5 + x 5 M G = ( + 0%) M I =, x = x = 8 Resposta: 8 gols Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 0 km de A. Sabendo-se que P está 0 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro. Nas condições representadas na figura, tem-se: y = x + (x 0) y = 6x 60 x = 60 y = 50 x + y = 0 Resposta: 60 km F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

2 Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = e AC =. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo A^CB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. Sendo x o comprimento do segmento MN, tem-se: ) CM AC BC é bissetriz = AM BM 5 5 = AM = AN = x AM 5 AM 5 0 e BN = 5 ( x) = + x ) No triângulo retângulo ANC, CN +AN = ) No triângulo retângulo BNC, CN +BN = 6 ) Dos itens () e (), conclui-se que BN AN 0 = ( + x) 5 ( x) = x + x x x = x + = x = 0 Resposta: 0 F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

3 Considere a equação z = αz + (α ) z, onde α é um número real e z indica o conjugado do número complexo z. a) Determinar os valores de α para os quais a equação tem quatro raízes distintas. b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando α = 0. a) Sendo z = x + y i, com x e y reais, tem-se z = α z + (α ) z (x + y i) = α (x + y i) + + (α ) (x yi) x + xyi y = αx + αyi + αx αyi x + yi x y + xyi = (α ) x + yi x y = (α ) x { xy = y y = 0 ou x = Para y = 0 tem-se x = (α ) x x (α )x = 0, que só admite duas raízes distintas se (α ) 0 α Para x =, tem-se ( ) y = (α ). y = α y = α, que só admite duas raízes distintas se α > 0 α<. Assim sendo, se α < e α, as raízes serão z = 0, z = α, z = + i α e z = i α b) Para α = 0, as raízes são z = 0 = (0; 0), z = = ( ; 0), z = + i = ( ; ) e z = i = ( ; ) cuja representação no gráfico cartesiano é: F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

4 Respostas: a) α / α < e α b) gráfico 5 O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = x mx + x + é igual a. Determinar a) o valor de m. b) as raízes de p. Sendo V = {a, b, c} o conjunto-verdade da equação p(x) = x mx + x + = 0 e ab =, temos: a. b. c = a) c = ab = ab + ac + bc = ab + c (a + b) = + (a + b) = a + b = m m a + b + c = + = m = 7 b) a + b = { x x = 0 x = ± a. b = então: V = {( ), ( + ), /} Respostas: a) m = 7 b) V = {( ), ( + ), /} F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

5 6 A figura abaixo representa duas polias circulares C e C de raios R = cm e R = cm, apoiadas em uma superfície plana em P e P, respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P e P é cm, determinar o comprimento da correia. O comprimento L, em centímetros, dessa polia é dado por: 60 θ L = ( ).. π. + θ π. +., em que: θ tg ( ) Assim: = = e 0 < θ < 80 θ 60 0 L = ( ) = 60 θ = 0 e π. +..π L =.. π. +.. π. +. L = 6π + 6 L = 6 (π + ) Resposta: 6 (π + ) cm F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

6 7 Na figura a seguir, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo ^B o ângulo reto. Sabendo-se que A(0,0), B pertence à reta x y = 0 e P = (,) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar as coordenadas a) do vértice B. b) do vértice C. a) º) O raio da circunferência de centro P (; ), e tangente à reta de equação x y = 0, é a distância:. 5 r = = = º) O ponto B pertence à reta x y = 0, então B(b; b). º) O triângulo APQ é retângulo no ponto Q, com AP = 5 e PQ = 5, então: F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

7 AQ = 5 ( 5 ) = 0 AQ = 5 º) AB = AQ + r = 5 (b) + b = ( 5 ) 5b = 5 b = 9 b =, pois b > 0 Portanto, B(6; ). b) º) A reta AC, de equação y = m. x mx y = 0, é tal que: m. m + m = ou m = = 5 m m + = 0 Como a reta AC tem coeficiente angular m =, pois é o coeficiente angular da reta AB, sua equação é y =.x º) A reta BC, que passa pelo ponto B (6; ) e tem coeficiente angular m = (a reta BC é perpendicular à reta AB) tem equação: y =. (x 6) y = x + 5 º) O ponto C é a intersecção das retas AC e BC, então: { y =. x { x = y = y = x + 5 Portanto: C (; ). Respostas: a) B(6; ) b) C(; ) F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

8 8 Na figura ao lado, cada uma das quatro circunferências externas tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C. Se o raio de C é igual a, determinar a) o valor de r. b) a área da região hachurada. a) (r + ) é a medida da diagonal de um quadrado de lado r Assim: (r + ) = r r + = r r( ) = r = r = ( + ) b) A área S da região hachurada é igual à área de um quadrado de lado r menos a soma das áreas de um círculo de raio r e um círculo de raio, ou seja: S = (r) πr π S = ( π).r π Assim: F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

9 S = ( π).( + ) π S = ( π).( + 8 ) π S = [( π)( + ) π] Respostas: a) ( + ) b) [( π)( + ) π] F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

10 9 Seja m 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x x + e g(x) = mx + m. a) Esboçar, no plano cartesiano representado ao lado, os gráficos de f e de g quando m = e m =. b) Determinar as raízes de f(x)=g(x) quando m =. c) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação f(x) = g(x). a) Sendo: f(x) = x x +, g(x) = x + (quando m = ) e g(x) = x + (quando m = ), temos os gráficos abaixo: b) f(x) = g(x) x x + = x +, para m = º) x 0 f(x) = g(x) x + x + = x + x + x = 0 x (x + ) = 0 x = 0 ou x = º) x 0 f(x) = g(x) x x + = x + x 5 5 x = 0 x (x ) = 0 x = 0 ou x = 5 O conjunto-verdade da equação é F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

11 5 V { 0; ; }, para m = c) O gráfico de f não depende dos valores assumidos pelo número real m 0. A sentença g(x) = mx + m representa uma família de retas que passam pelo ponto ( ; 0). Analisando as posições dos dois gráficos, para m 0, temos: ) m = 0 g(x) = 0 A equação tem duas raízes reais distintas, que são e. ) 0 < m < A equação admite quatro raízes reais distintas, sendo duas negativas e duas positivas. ) m = g(x) = x + F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

12 A equação admite três raízes reais distintas, que são 5, 0 e. ) m > A equação admite duas raízes reais distintas, sendo uma negativa e outra positiva. Respostas: a) gráfico 5 b) ; 0 ; c) m = 0 raízes reais 0 < m < raízes reais m = m > raízes reais raízes reais F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

13 0 No sólido S representado na figura a seguir, a base ABCD é um retângulo de lados AB = e AD = as faces ABEF e DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos equiláteros e o segmento EF tem comprimento. Determinar, em função de, o volume de S. O sólido S pode ser decomposto em dois novos sólidos: uma pirâmide, cuja base é um quadrado de lado e cuja altura h é a distância entre a aresta EF e o plano do retângulo ABCD, e um prisma oblíquo de aresta lateral, cuja secção reta é um triângulo isósceles de la dos congruentes com medida a = e altura h, onde h = ( ) ( ) h = Assim o seu volume V será dado por:. V =.. +. F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

14 5 V = + V = 6 Resposta: 5 F U V E S T - ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0