Exercícios de Aprofundamento Mat Geom Espacial

Transcrição

1 1. (Fuvest 015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do segmento AM. a) Exprima cos θ em função de x. b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso? c) Mostre que, se x 4, então θ mede menos do que 45.. (Unesp 015) Um bloco maciço com a forma de paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões 8 m, 1 m e 10 m. Em duas de suas faces, indicadas por A e B na figura, foram marcados retângulos, de m por m, centralizados com as faces do bloco e com lados paralelos às arestas do bloco. Esses retângulos foram utilizados como referência para perfurar totalmente o bloco, desde as faces A e B até as respectivas faces opostas a elas no bloco. Calcule o volume e a área total do novo sólido, que resultou após a perfuração do bloco.. (Espcex (Aman) 015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em a) 1. π b). π cm ) é igual a Página 1 de 1

2 c) 4. π d) 8. π e) π. 4. (Ita 014) Um cilindro reto de altura h = 1 cm tem sua base no plano xy definida por x y x 4y 4 0. Um plano, contendo a reta y x 0 e paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do menor sólido. 5. (Ita 014) Três circunferências C 1, C e C são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r 1, r e r destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 1. A soma dos comprimentos de C 1, C e C é igual a 6π cm. Determine: a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C 1, C e C. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado. 6. (Ita 014) Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio R que tangencia todas as demais. Determine a distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal. 7. (Ita 014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0, 5 cm do vértice A e 0, 75 cm da base BC. Se o lado AB mede a) b) c) 7. 4 d) 9. 4 e) π 1 cm, π o volume desse sólido, em cm, é igual a 8. (Unesp 014) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. Página de 1

3 Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases B e b é 1 h (B B b b ) π e dado que 65 8, determine o raio aproximado da base do copo, em função de R, para que a capacidade da taça seja da capacidade do copo. 9. (Epcar (Afa) 01) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede cm. Sendo a) 0 b) 7 6 c) d) 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a 10. (Unicamp 01) A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar 5%. Sejam r e h o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que: a) R e H 16. r 4 h 9 b) R 9 e H 4. r 16 h c) R 4 e H 5. r 5 h 16 d) R 16 e H 5. r 5 h (Fgv 01) Um cilindro circular reto de base contida em um plano α foi seccionado por um plano β, formando 0 com α, gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que BD e CE são, respectivamente, eixo maior da elipse de centro P contida em β, e raio da circunferência de centro Q contida em α. Os pontos A, B, P e D são colineares e estão em β, e os pontos A, C, Q e E são colineares e estão em α. Página de 1

4 Sendo BC = 1 m e CQ m, o menor caminho pela superfície lateral do tronco ligando os pontos C e D mede, em metros, a) 1 π b) π c) d) e) 1 π 9 π 9 π TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Notações : Conjunto dos números naturais; : Conjunto dos números reais; : Conjunto dos números reais não negativos; i: unidade imaginária; i 1; P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A; n(a) : número de elementos do conjunto finito A; AB : segmento de reta unindo os pontos A e B; arg z : argumento do número complexo z; a,b x : a x b A \ B x : x A e x B c A : complementar do conjunto A; n k n akx a0 a1x a x... anx,n. k0 Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. 1. (Ita 01) Em um plano estão situados uma circunferência ω de raio cm e um ponto P que dista cm do centro de ω. Considere os segmentos PA e PB tangentes a ω nos pontos A e B, respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor AB em torno de um eixo passando pelo centro de ω e perpendicular ao segmento PA, obtém-se um sólido de revolução. Determine: a) A área total da superfície do sólido. b) O volume do sólido. Página 4 de 1

5 Gabarito: Resposta da questão 1: a) EM x 1 No ΔMAB: BM x 1 No ΔEMH: HM x 1 1 x x HB (diagonal do cubo) Aplicando agora, o teorema dos cossenos no Δ MHO, temos: x x x 1 x x x 1cosθ x x x 1 x x x 1cosθ cosθ x x x x x 1 b) Como x x e x 1 são positivos para todo x real, concluímos que θ será obtuso se, e somente se: x x 0 0 x 1. Portanto, x / 0 x 1. c) x 4 cosθ cos Como cosθ cos45 θ 45. Resposta da questão : Página 5 de 1

6 O volume V do sólido restante será dado pelo volume do sólido inicial V (r). V V(i) V( r) V V V V 840 m Para calcular a área total, iremos considerar algumas etapas: Área das faces externas paralelas à face A: Área das faces internas paralelas à face A: Área das faces externas paralelas à face B: Área das faces internas paralelas à face B: Área das faces externas paralelas à face C: Área das faces internas paralelas à face C: Portanto, a área total será dada por: A (8 10 ) 148m 1 A 4 (4 ) 48m A (1 8 ) 180m 4 A m A m 5 A (10 5) 80m A A A A A A A m Resposta da questão : [D] Considerando O o centro da esfera, temos: 6 V (i) e o sólido retirado Página 6 de 1

7 No triângulo AOD, temos: ΔADO ΔABC r cm 4 r 8 AD 1 AD 8cm Portanto, o volume V do cone será dado por: π V πr h π 4 cm 8 Resposta da questão 4: Na figura, temos: d 1 1 d. x y x 4y 4 0 x 1 y 1 (equação de um círculo com centro no ponto (1,) e raio 1.) A reta y = x intercepta a circunferência do círculo nos pontos (1,1) e (,), para isto basta resolver um sistema com as equações da reta e da circunferência. Calculando, agora, a área da base da figura descrita acima: A b π1 11 π Calculando sua área lateral. Página 7 de 1

8 π1 π AL Portanto, a área total será dada por: π 1 π At 4 A ( π 1) unid t Resposta da questão 5: a) De acordo com os dados do problema, temos: r 9r, r r e r r e 1 π 9r π r π r 6π r 1 cm Temos então um triângulo de lados 4cm, 10cm e 1cm com vértices nos centros das circunferências. Portanto, sua área será dada por: p 1 A 1 (1 4) (1 10) (1 1) A 9cm b) O sólido de revolução é a união entre dois cones. Calculando a medida do raio da base dos cones, que também é a altura do triângulo considerado. Página 8 de 1

9 1 R 9 9 R cm Portanto o volume do sólido será dado por: π 9 π 9 V (x y) 1 9πcm Resposta da questão 6: No triângulo VOA, temos: R R h h R 5 Portanto, a distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal é: d R R 5 R(1 5) Resposta da questão 7: [C] No triângulo AMC, temos: Página 9 de 1

10 1 π x x e h π π π Volume do cilindro: V C 1 9 π cm 4 π 16 Volume de cada tronco de cone: VT π cm π Portanto, o volume pedido será dado por: V V C V T cm Resposta da questão 8: Utilizando a fórmula dada temos: Capacidade da Taça: Capacidade do copo: V T c 4π R π R r π R r V π R π R r 4 πr r Fazendo V T = /(V C ), temos: 7R r R R R 0 Resolvendo a equação na incógnita r, temos: 4 R 65 R 5 R r 14 R 14 ou 4 R 65 R 11 R r 14 R 14 (não convém) Portanto, o raio do copo será: 5 R 5 R Resposta da questão 9: [A] Página 10 de 1

11 No triângulo VOM: No triângulo VOM: R 5 R 4 R e a = 1 m 5 1 m 6 O triângulo AMV é isósceles de base VM (AM = AV = ) Logo, d d 9 d 4 Resposta da questão 10: Gabarito Oficial: [C] Gabarito SuperPro : [A] e [C] Volumes iguais. R h π.r.h π.r.h (I) r H R 5 h π.r.h 1,5.πr.h (II) r 4 H substituindo (I) em (II), temos: Página 11 de 1

12 R 5 R 1 5 R R 4 e H 5 r 4 r 4 r r 5 h 16 Como : H 5 H 16 h 16 h 9 R 4 R r 5 r 4 As alternativas [A] e [C] estão corretas. Resposta da questão 11: [D] Planificando a metade da superfície lateral do tronco, obtemos a figura abaixo. O resultado procurado é a hipotenusa do triângulo CDE. O cateto EC é o semiperímetro da base do tronco. Logo, EC π m. Dado que CQ é raio da circunferência de centro Q, temos EQ m. Sabendo que BC 1m, do triângulo retângulo ABC, vem BC tg0 AC m. AC Da semelhança dos triângulos ADE e ABC, obtemos DE AE DE BC AC 1 DE m. Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, encontramos CD DE EC CD ( π) CD 9 π m. Resposta da questão 1: a) A área total será igual à soma das seguintes áreas. Página 1 de 1

13 Área da base do cilindro: A b π. 4. πcm Área lateral do cilindro: A L. π.. 8. πcm Área da parte da esfera, interna ao cilindro (metade da superfície esférica): i A. π. 8. πcm Logo, a área total será: A 4π 8π 8π 0 πcm b) O volume será dado pelo volume do cilindro menos o volume do hemisfério. Volume do cilindro: V π.. 8πcm Volume do hemisfério: 16π V H π. cm Volume do sólido: 16π 8π V 8π cm Página 1 de 1