Professor Mascena Cordeiro

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1 Professor Mascena Cordeiro º Ano Ensino Médio M A T E M Á T I C A. Determine os valores de m pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que os pontos (0, -), (, m) e (-, -) pertençam a mesma reta. Resp.: m =. Considere os pontos A(, ), B(, 0) e C,. I. Determine a equação reduzida da reta AB. II. Verifique se o ponto C é ou não colinear com A e B. III. Calcule k, de modo que o ponto D(k, k) esteja alinhado com A e B. Resp.: I) y = - x II) É colinear III) k = - ou k =. Determine o coeficiente angular das retas: Resp.: a) - b) -. Seja (r) uma reta que passa pelo ponto,. Indiquemos por A e B os pontos onde (r) corta os eixos coordenados. Seja, ainda, C um ponto simétrico a B em relação à origem do sistema de coordenadas. Se o triângulo ABC é eqüilátero, determine a equação de (r). Resp.: y + = x. Calcule a e b reais positivos, de modo que a reta ax + by = 6 passe pelo ponto (, ) e forme, com os eixos coordenados, um triângulo de área igual a 6. Resp.: a = e b = 6. Calcule as coordenadas do ponto da reta de equação x - y + = 0, que é eqüidistante dos pontos A(, 0) e B(, - ). 8 Resp.:, 7. Considere as retas r e s definidas por: (r) kx - (k + )y = e (s) ky - x = k. Determine k de modo que: I. r e s sejam concorrentes. II. r e s sejam paralelas. III. r e s sejam coincidentes. Resp.: I) k - e k II) k = - ou k = III) não existe k R 8. Determine a abscissa do ponto de interseção das retas r e s, sabendo que a reta r é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares, e passa pelo ponto P(, -7), e a reta s passa pelo ponto Q(, - 7) e é paralela à reta de equação x - y + = 0. Resp.: 9

2 9. Determine um ponto P simétrico ao ponto P(-,6) em relação à reta de equação (r) x - y + = 0. Resp.: P'(, -) 0. Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, b) e (b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são: a) (- b, - b) d) (b, - b) b) (b, - b) c) (b, - b) e) (b, - b) Resp.: x - y + 7 = 0 ou x + y - 7 = 0. A reta r determina um ângulo de 0 com a reta s, cujo coeficiente angular é. O coeficiente angular de r é: a ) 6 + b) c) d) e) Resp.: C. Num triângulo ABC, temos: I. AB r tal que (r): y = x. II. AC S tal que (s): x = y. III. BC (t), tal que t // u e (u): x + y = 0. IV. A área do triângulo ABC é. Determine a equação da reta (t). Resp.: C. Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices B(, ) e C(, - ), a reta que contém o cateto AB é paralela à reta de equação x - y + = 0. Determine a equação da reta que contém o cateto AC. Resp.: x + y + = 0 ou x + y - = 0. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que A(9a, b), B(-c, d), C(c,-d) são vértices de um triângulo eqüilátero. Então, a equação da reta r que é paralela ao lado BC e passa pelo incentro do triângulo ABC é: a) ax + by = c d d) dx + ay = bc b) dx + cy = ad + bc c) ax + by = c +d e) dx - cy = 9a + b. Resp.: x + y - 6 = 0. Dado o triângulo de vértices A(, ), 9 B ; e C ; 8 8, determine: I. a equação da bissetriz do ângulo interno B. II. a área do círculo inscrito no triângulo ABC. Resp.: B

3 6. Dado o triângulo de vértices A (, ), 9 B ; e C ; 8 8, determine: I. A equação da bissetriz do ângulo interno B. II. A área do círculo inscrito no triângulo ABC. 9 Resp.: I) x + y - 7 = 0 II) 7. As retas da forma ax + y + 8 = 0 tem um ponto em comum A, e as retas da forma bx - y + = 0 tem um ponto comum B. A equação dareta que passa por A e por B é: a) y = 0. b) x = 8. c) x =. d) x = 0. e) y =. Resp.: x = 0 Testes de Vestibulares. (U.P.E) Sejam as retas r, s, t e v dadas, respectivamente, pelas equações: ( r ) x y + = 0 ( s ) x + y 6 = 0 ( t ) x y + = 0 ( v ) x + y = 0. Podemos afirmar que: a) r, s, t e v formam um feixe de retas paralelas. b) r e s passam pela origem. c) t é perpendicular a v e r é paralela à s. d) r, s, t e v formam um feixe de retas concorrentes no ponto (, ). e) t é paralela à s e perpendicular à v. Resp.: D. As retas (r) e (s) de equações x y + 7 = 0 e x y = 0 respectivamente passam pelo ponto P(a, b). O valor de a + b é: a) b) c) 8 d) 6 e) Resp.: A. Seja ax + by + c = 0, com a, b e c números reais não-nulos, a equação de uma reta (r). Analise as proposições e assinale na coluna I as proposições verdadeiras e na coluna II, as falsas: I II 0 0 O gráfico de (r) passa pela origem. A reta de equação bx ay + c = 0 é perpendicular à reta (r). O gráfico de (r) intercepta o eixo das ordenadas em (0, c) se c > 0. A reta dada faz com o eixo dos x um ângulo cuja tangente é b a. A reta de equação cartesiana ax + by + 0 = 0 é paralela a reta (r).

4 . Se, x y é o ponto da reta y = x + mais próximo ponto (, -6), então y0 x éigual a: Resp.: FVFFV a) - b) 6 c) 7 d) 8 e) - 9. Resp.: C. Sejam A(-, ), B(. ), C(, ) e D(6, 0). As retas AB e CD encontram o eixo dos y nos pontos M e N, respectivamente. Se P é o ponto de interseção de AB com CD, podemos afirmar que a área do triângulo MNP é: a) b) c) d) e) Resp: E 6. Dados A(, ), B(, k) e (r) x + y 9 = 0, quais os possíveis valores de k, para os quais o segmento AB, fica inteiramente contido num dos semiplanos determinados por (r). a) k > b) k < c) k > - d) k < - e) k = 0 Resp.: B 7. Considere a figura e as proposições abaixo. Y y Q A P 0 =B x X ( r ) I) A área do triângulo OPQ é dada por x x. II) Se (r) intercepta OX no ponto (, 0), então a equação cartesiana de (r) é dada por x + y = 0. III) A equação cartesiana da reta que contém A e é perpendicular à (r) é dada por y x + = 0. Assinale a alternativa correta. a) Apenas a proposição I é falsa. b) Apenas a proposição I é verdadeira. c) Todas as proposições são falsas. d) Todas as proposições são verdadeiras. e) Apenas a proposição III é falsa.

5 Resp.: B 8. A área do triângulo PQR da figura abaixo é: Obs: O ângulo R é reto. a) b) c) d) e) y R 90 Q(,) P(,) x Resp.: D 9. As coordenadas do ponto P pertencentes à reta x y 7 = 0 cuja distância ao ponto Q (, ) é mínima, são a) (6,) b), c), d), e) ( -- 0) : Resp.: D x y x = t - 0. As retas cujas equações são ( r ) e ( s) podem ser classificadas como: y = 7 - t a) tangentes b) concorrentes perpendiculares c) paralelas iguais d) paralelas distintas e) concorrentes. A equação de uma das retas que determina, com os eixos coordenados, um triângulo de área 6 unidades de área e é perpendicular à reta de equação x + y = 0, é: a) x y + = 0 d) x y = 0 b) x y + = 0 c) x y = 0 e) x y = 0. A região do plano definida pela desigualdade x + y < é: Resp.: B a) interior de um círculo. d) uma coroa circular. b) interior de um triângulo. c) interior de um quadrado. e) um quadrante de um círculo. Resp.: C

6 . A área da região do plano limitada pelas inequações: x y 0 x y 0 y a) 8 b) c) d) 6 e) 7 Resp.: B. Os pontos do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem a equação tg( y x) = 0 constituem um feixe de retas paralelas. A equação da reta do feixe que forma com os eixos coordenados no quadrante um triângulo de área é: a) y x = b) y x = - c) y x = d) y x = - e) y x = 0. Resp.: D. São dadas no plano as duas retas: (r) x y e a reta dada pela sua x forma paramétrica: (s). y Determine a tangente do ângulo agudo formado por ( r ) e ( s ). 7 a ) b ) - c ) d) - e) Resp.: B 6. Sabe-se que os pontos (-, ) e (-, a) estão em semiplanos opostos em relação à reta x y + = 0. Um possível valor de a é: a ) b) c) - d) - e) - Resp.: E 7. Uma das bissetrizes do ângulo formado pelas retas (r) x + y = 0 e (s) x y + 9 = 0 é: 6

7 a) x + 7y + = 0 d) x y = 0 b) 7x y + = 0 c) 7x + y = 0 e) x + y = 0 Resp.: C 8. A distância da reta x cos + y sen - 0 ao ponto P (0; - ) é: a) b) c) d) 6 e) 6 Resp.: C 9. A área do triângulo determinado pelo eixo dos y e as retas de equações x y + = 0 e x + y = 0, é a) 8 b) c) d) 6 e) 0. A parte do plano delimitada pelas inequações: x y x y x y 0 0 y é: Resp.: C a) um trapézio. b) um quadrado. c) um retângulo. d) um quadrilátero irregular. e) um triângulo. Resp.: D. A equação de reta perpendicular à reta (r) x y + = 0 e que passa pela interseção das retas (s) x + y = e ( t ) x + y = é: a) x + y + 7 = 0 d) x + y 7 = 0 b) x + y 7 = 0 c) x y 7 = 0 e) x + y + 7 = 0 Resp.: D 7

8 QUESTÃO 0 m 9 m 0 m QUESTÃO I. Seja y = mx + n a equação de AB. 0 Então: m AB. Equação de AB : y x n. Quando x =, y = 0. Então: 0 = Equação:. y x n n II. Se C é colinear a AB, então C satisfaz a equação de AB... Então, C é colinear com A e B. III. Se ( k, k) é colinear com A e B, então satisfaz a equação de AB. k k k 0k 0 k k 0 k = - ou k = QUESTÃO a) x + y - = 0. Então m =. x t b) t y. Logo: x = - + ( y) = y = y y t y = - x + e y = x. 8

9 QUESTÃO O triângulo ABC é eqüilátero, logo os ângulos A, B e C medem 60. Traçando-se as paralelas ao eixo dos x, verificamos que a inclinação da reta é o ângulo que mede 0. m = tg Então, a equação da reta AB é dada por: y x. º caso: m = tg 0 = - tg 0 = Equação da reta AB: y x QUESTÃO A reta corta o eixo coordenado nos pontos A(6/a,0) e B(0, 6/b). A área do triângulo será: ab 6 ab. Como (, ) pertence a reta, então a + b = 6 e b = 6 a. Logo: a (6 a b a) = e a 6 a + = 0 a a 0 a e b QUESTÃO 6 Seja P(x, y) ponto da reta eqüidistante de A e B. Então, y = x +. x x e d x x dap BP 7 Então: x 6x 9 x x 9 x x x 8x 9 8 6x + 8 = 6x + 0 e 0x = -, logo: x 0 y =

10 QUESTÃO 7 I. k k mr e ms.se as retas são concorrentes, então k k k k k k k k 0 k ou k. II. Se r e s são paralelas, então se k = - ou k =. III. K = e k = - ; as retas r e s não são coincidentes, pois os termos independentes serão distintos, logo não existe valor de k para o qual as retas (r) e (s) sejam paralelas e coincidentes. QUESTÃO 8 Equação da reta (r) y = x + n. Como (r) passa por P, então: - 7 = + n, logo n = - 8 Equação de (r) y = x 8. Equação de (s): y + 7 = (x ) logo y = x 7. Interseção de (r) e (s): y x 8 y x 8 y x 7 y x x -9 x 9. QUESTÃO 9 Equação da reta perpendicular a ( r ) que passa por P. y 6 (x ) y 8 x x y 0 Interseção das retas: x y x 6y 8 x y x 9y y = 0, logo y = e x = Então, (, ) é ponto médio de PP, logo: x y 6 x e y 0

11 QUESTÃO 0 m tg = m m m m + = m ou m + = - + m m = -/ ou m = / Se m y x y 0 x x y 7 0 Se m = y x y x x y 7 0 QUESTÃO M é o ponto médio da diagonal AC, logo M tem coordenadas: b, 0. M é ponto médio de BD, logo x b b x b y b 0 y b As coordenadas de D são: ( b, - b) QUESTÃO m tg 0 = m m m m m ( )m. m m m 6 m QUESTÃO

12 Área de ABC =. A(0, 0), B (x, x) e C ( x, x /) (t ): y = - x + n y x n y x y x n 0 n n 0 n n x y n 9n 6 6 8n. n 6 n 6 A reta (t) pode ter por equações: x + y + = 0 ou x + y = 0. QUESTÃO x n 0 x n, y x n n 0 x, y Se a reta que contém AB é paralela à reta x y + = 0, então a reta que contém AC é perpendicular à reta x y + = 0, pois o triângulo é retângulo em A, logo AC e AB são catetos. O cateto AC está contido na reta que passa por (, - ) e é perpendicular a x y + = 0. O coeficiente angular de AC é: m =. A reta é dada por: y = x n. n n 6. Então, a reta é dada por: y = x 6, ou seja x y 6 = 0 n n QUESTÃO No triângulo eqüilátero, as medianas e as bissetrizes se encontram no mesmo ponto, logo o incentro do triângulo eqüilátero é o baricentro do triângulo. x G 9a c c b d d a e y G a A reta BC é dada por: x c d y d d dx cy 0 m d c d c Equação da reta que passa pelo incentro paralela à reta BC é: y b = d (x 9 a) dx + cy = ad + bc c QUESTÃO 6 9 I. Reta AB passa por A e tem coeficiente angular m =

13 y = -(x ) y = -x + x + y - = Reta BC passa por B e tem coeficiente angular m = y 9 7 Reta BC: y 7 x 7x y 9 x 7 x y 0 7x + y = 0 x y 7x y Seja P(x, y) um ponto da bissetriz, então: dp,bc dp, AB a) x + y - 0 = 7x + y - x - y + 9 = =0 b) x + y 0 = - 7x y + - x 6y + = 0 x + y 7 = II. Cálculo da área do triângulo: / 9 / S / 8 / 8 Cálculo das medidas dos lados: AB dab AC / 9 / / 8 / 8 9 A área do círculo inscrito em um triângulo é dada por: (AB AC.BC).r S S 6.r 7.7 r A área do círculo inscrito será: A =. r 9 QUESTÃO 7 Como ax + y + 8 = 0 tem um ponto comum para todo a, então x = 0 e y = - 8 é um ponto da reta para todo a. De modo análogo, (0, ) é um ponto de bx y + = 0 para todo b. A equação da reta que passa por esses pontos é x = 0. Testes de Vestibulares QUESTÃO Coeficientes angulares: (r) y = x + (s) y = x 6 (t) y = x + e (v) y = - x +. a) Falso, pois coeficiente angula de (r) diferente de (s). b) Falso, pois os termos independentes de (r) e (s) são não-nulos. c) Falso, pois (r) não é paralela à (s). d) Verdadeiro, pois (, ) pertence a todas as retas.

14 QUESTÃO P(a, b) é ponto de interseção de (r) e (s). x y 7 x y 7 x y x y x e y. Logo a b QUESTÃO I II 0 0 Não, pois c é não nulo. Sim, os coeficientes angulares das retas são perpendiculares. a b e b a, logo as retas são Falso. O gráfico de (r) corta o eixo dos x no ponto (0, c) qualquer que seja c. Falso. A reta faz um ângulo cuja tangente é a/b Verdadeiro. Os coeficientes angulares das retas são iguais à (-a/b). QUESTÃO A menor distância entre (, -6) e y = x + é dada pela perpendicular à reta que passa por (, - 6). A perpendicular é: y + 6 = m(x ), sendo m igual a. Então y + 6 = (x ) y + = -x +, e y = -x. y x O ponto mais próximo, é a interseção das retas: y x 7 7 y x x 0 x e y QUESTÃO

15 Reta que passa por A e B: y = (x ) y x x y Ponto M onde a reta corta o eixo dos y: m (0, /) Reta que passa por CD: y 0 = (x 6) y x x y Ponto N onde a reta corta o eixo dos y é N(0, ). P é o ponto de interseção das retas. x y 8 x y x e y 7 7 / 7 8 / Área do triângulo MNP: 0. S = / QUESTÃO 6 O ponto A pertence ao semiplano: + 9 < 0 O ponto (, k) tem que pertencer ao mesmo semiplano, logo + k 9 < 0 e k < QUESTÃO 7 y x Os triângulos OPQ e OAB são semelhantes, então: y x x x x x I) A área do triângulo é: S = x.y x. x x II) Se P(, 0 ) a reta (r) passa pelos pontos (, 0) e (, ) e m r e ( r ) tem por equação: y = - (x ) ou seja x + y = 0. III) Coeficiente angular da reta perpendicular à (r): m =. Equação da perpendicular: y = (x ) y = x, ou seja x y + = 0 ou y x = 0. Então, a única proposição verdadeira é a proposição I. QUESTÃO 8 Equação da reta reta RQ: m = tg = y = (x -) y x y x Equação da reta PR: m = - ( reta perpendicular à reta y = x + ) y = - (x ) y x y x 6 7 R é a interseção das retas: y =x + e y = - x + 6 y 7 y 7 x.

16 Área do triângulo: d PR 7 d RQ S = QUESTÃO 9 Reta y = x + 7. Um ponto da reta é dado por (x, x - 7) dpq x x 7 d x x 9x 0x 00 PQ f(x) = 0x x 0 O ponto de mínimo é x V y =. 7. Logo P, 0 QUESTÃO 0 (r) x + y - = 0 e ( s ): t = 7 y, então x =.(7 y) = y. (s) x + y 9 = 0. Coeficientes angulares de ( r ) e ( s): mr e ms tg QUESTÃO arctg Coeficiente angular da reta x + y = 0. m Coeficiente angular da reta perpendicular: m Equação da reta: y = n x n. A reta corta os eixos em:, 0 e 0, n A reta forma com os eixos um triângulo de área 6. n n.n 6 n 9 n 6 Retas procuradas: y x y x x y 0 QUESTÃO 6

17 x y QUESTÃO x y x + y < x y x y A região é um triângulo de base e altura, então sua área é. QUESTÃO tg (y x) = 0y x = 0. A reta procurada é paralela à reta y x = 0. Então, a reta corta os eixos em (x, 0) e (0, x/) 0 0 x Área do triângulo: x 0 x. Como a reta passa no quarto quadrante, então x =. 0 x/ Então, a reta corta os eixos nos pontos, 0 e 0, Coeficiente angular da reta: m = Equação da reta: y = x y x y x QUESTÃO (r) : x + y = 6 y x mr (s) : x y (x ) y x y x ms 7 7 tg. QUESTÃO 6 Em relação à reta x y + = 0, o ponto (-, ) é tal que: < 0 Então, o ponto (, a) deve pertencer ao plano x y + > 0, ou seja - a + > 0. - a > e a < - QUESTÃO 7 Seja (x, y) um ponto da bissetriz, então: x y x y x + y = x y + 9 ou x + y = - x + y 9 x - 7y + = 0 7x + y = 0 7

18 QUESTÃO 8 Equação da reta: x y 0 x y d = QUESTÃO 9 P é o ponto de interseção das retas. x y x y x x y. Área do triângulo: A = QUESTÃO Interseção das retas: x y x y x y x 6y 6 y y x + y = x. Então, a interseção das retas é o ponto:, Coeficiente angular da reta perpendicular à reta y = x +, é igual a. Equação da reta procurada: y x y x x y

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