2. Na gura abaixo, representa-se um cubo. Desenhe a echa de origem H que representa ! DN =! DC

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1 1 Universidade Estadual de Santa Catarina Centro de Ciências Tecnológicas -DMAT ALG- CCI Professores: Ivanete, Elisandra e Rodrigo I Lista - vetores, retas e planos 1. Dados os vetores ~u e ~v da gura, mostrar num grá co, um representante do vetor: a) ~u ~v b) ~v ~u c) ~u 3~v. Na gura abaixo, representa-se um cubo. Desenhe a echa de origem H que representa a) (E F ) + (B D) + (C D); b) (G B) + (B A). 3. No trapézio ABCD representado pela gura, tem-se AB = a, DC = a, DA = b, DN = DC BC e BE = : Escreva os vetores 3 3 EN e BN em função dos vetores a e b 4. Dado o tetraedro ABCD (Figura 1) em que AB = a, AC = b, P = 1DC. Escreva o vetor 3 BP em função dos vetores a, b e c. AD = c e

2 D P A C B Figura 1 5. Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u = (; 3; 1), sendo sua extremidade o ponto B(0; 4; ): 6. Dados os vetores u = i ; v = i + j + k e w = i + 6 j + 6 k expresse w como combinação linear de u e v 7. Dados os vetores ~u = (3; 1) e ~v = ( 1; ), determinar o vetor ~w tal que 4(~u ~v) + ~w = ~u ~w. 8. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u e ~v é de 60, determinar o ângulo formado pelos vetores ~u e ~v 9. Calcular o ângulo entre os vetores u e v ; sabendo-se que u + v + w = 0 e j u j =, j v j = 3 e j w j = Calcular o ângulo entre os vetores a + b c e a + b c, sabendo-se que j a j = b = j c j = 1 e a ; b e c são mutuamente ortogonais. 11. Um jovem parte de um ponto A, caminha 100 metros para norte, até um ponto B; em seguida, orienta-se para o leste e caminha mais 50 metros do ponto B até um ponto C. (a) Determine o módulo do deslocamento resultante. (b) Encontre o ângulo formado pelo entre vetor que representa o deslocamente resultante e o vetor AB. 1. Encontre o vetor w de forma que w seja paralelo ao vetor r = ( u : v ) ( u v ), sendo u = i + j e v = (1; 3; ), j w j = 6 e w forme um ângulo agudo com o eixo das abscissas. 13. Determinar a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3; a; b), B(1; 5; 1) e C( 3; 13; 7). 14. Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento da reta de extremidades A(x 1 ; y 1 ) e B(x ; y ). 15. Na gura abaixo tem-se CM = CA, CN = CB. Prove que os segmentos MN e AB 3 3 são paralelos, e que o comprimento do primeiro é 1 do comprimento do segundo. 3

3 3 16. Sabendo que a distância entre os pontos A( 1; ; 3) e B(1; 1; m) é 7, calcular m. 17. Determinar para que o vetor ~u = ( p 11 ; 1 4 ; ) seja unitário. 18. Provar que os pontos A(5; 1; 5), B(4; 3; ) e C( 3; ; 1) são vértices de um triângulo retângulo. 19. Dado o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, determinar a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa AC. Dados A(0; 0; ); B(3; ; 8) e C( 3; 5; 10): (a) Considere os pontos A(; 4; 1); B(3; 3; 5) e C(; 1; 3): (b) O triângulo determinado pelos pontos ABC é retângulo? Justi que. (c) Determine a área do triângulo ABC. 0. Calcule o valor de a para que o vetor v = 8; 0; 7 seja mutuamente ortogonal aos vetores w = a i + 5 j 4 k e u = (a + 1) i + j + 4 k : 1. Os pontos A(; 1; 1); B( 1; 3; 1) e C(0; 1; ) formam um triângulo: (a) Determine a projeção do lado AB sobre o lado CA: (b) Obtenha, se possível, o valor de c para que o vetor v = (3c + 4; colinear ao vetor projeção. ; 9) seja. Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3; ; 1) e uma diagonal de extremidades B(1; 1; 1) e C(0; 1; ). 3. Determinar o vetor unitário ortogonal aos vetores u = (; 3; 1) e v = (1; 1; ) 4. Veri car se são coplanares os pontos A(; 1; 3), B(3; ; 4), C( 1; 1; 1) e D(0; 1; 1). 5. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: ~a = (; k; 1), ~ b = (1; ; k) e ~c = (3; 0; 3). 6. Calcule o volume de um paralelepipedo determinado pelos vetores u ; v e w ; onde u = ( 1; ; 3) ; v = (; 1; 3) e w = v ( u v ). 7. Determine as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzidas da reta que passa pelos pontos A(3; 5; 1) e B(1; 1; 3).

4 4 8. Determine os valores de m para que as retas r : sejam: ( x = + t y = mt z = 4 + 5t (a) ortogonais (b) paralelas (c) coplanares. x = y + m = z 6 m ( x = 3 + at 9. Calcule os valores de a e b para que a reta r : y = bt z = 7 t que é simultaneamente ortogonal às retas ( x = t + 5 x 4 r : y = 4t + = y + z = 6t seja paralela à reta = z Determine as equações reduzidas da reta r quepassa pelo ponto P (3; 5; ) e é x = 1 simultaneamente ortogonal ao eixo x e a reta s : y 3 = z + 1 x = my Calcule o(s) valor(s) de m para o(s) qual(is) a reta r : z = (m + 1)y 7 seja ortogonal à reta determinada pelos pontos A(4; 0; m) e B( 5; m; 3m): 3. Estabeleça as equações simétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das ( retas r : 1 x = y = z x = 4 + t y = 3 + 4t e é, ao mesmo tempo, ortogonal z = 6 + 6t a essas retas: 33. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1; 1; 1) e é ortogonal à reta r: x = y = z 34. Calcular as equações da reta r que contém o ponto A(; 1; 1) e que interceptam ( x = 1 + t a reta s : y = 1 segundo um ângulo de rad 4 z = t 35. Determine a posição relativa entre: x = 1 y = 4x + 7 (a) as retas r : y = 3 z = x ( x = 1 + 3t (b) a reta r : y = 1 t e o plano x + y + z + 1 = 0 z = t (c) os planos x + 3y + 4z = 9 e 3x y + 3z = 10: 36. Dados os planos 1 : 4x + 4y 4 = 0 e : x + y + z = 0; determine: (a) a interseção entre 1 e : (b) o ângulo entre 1 e : :

5 5 37. Obtenha a equação simétrica da reta que passa pelo ponto de interseção da reta y = x + 1 com o plano x+y 3z+4 = 0 e que é simultaneamente ortogonal z = x 3 às retas r : x = z + 4 y = 3z 6 x = 4 z = y Estabeleça a equação geral do plano que contém as retas r : x = y + 5 s : z = y 1 : ( x 1 = z y = 1 e 39. Determine a equação geral do plano que contém o ponto P (1; 3; 4) e a reta r : ( x = 1 5t y = + 3t z = 7t : 40. Determinar a equação do plano que passa pela reta interseção dos planos x 3y z + 3 = 0 e 3x + y z + = 0 e é perpendicular ao plano yz: 41. Determinar um vetor unitário ortogonal ao plano p x + y z + 5 = 0 4. O plano : x + y z = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A; B e C: Determine a área e a altura do triângulo ABC 43. Determine as equações paramétricas do plano que contém a reta e é perpendicular ao plano x + y z + 5 = 0. y = x 3 z = x Determine a posição relativa entre: ( x 1 = y + 1 (a) a reta r : e o plano x + y 3z 1 = 0: z = 0 y = x 3 (b) a reta s : e o plano 3x y z = 0: z = x Calcule os valores de m e n para que a reta nx + my z 5 = 0. ( x = t + 3 y = t 3 z = t + 4 esteja contida no plano 46. Determine um ponto P de coordenadas inteiras que pertença à reta interseção dos planos: 1 : 3x 4y + z 3 = 0 e : x + 3y z = 0 e cuja distância ao ponto Q(1; 1; 1) é 9 unidades de medida.