Apresentaremos as equações do plano: Equação vetorial e Equação geral do. = AB e v. C A u B. ) não-colineares do plano.

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1 CAPÍTULO VIII PLANO Consideremos em V 3 o sistema de referência (O, i, j, k ), onde E = ( i, j, k ) é base ortonormal positiva e O(0, 0, 0) EQUAÇÕES DO PLANO plano. Apresentaremos as equações do plano: Equação vetorial e Equação geral do EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO Sabe-se que por um conjunto de três pontos distintos A, B e C, não pertencentes a uma mesma reta, existe um só plano que os contém. Um plano também é identificado, de modo único, se forem conhecidos A, um de seus pontos, e dois vetores u e v não nulos e, não paralelos entre si. Veja representantes de u e v no plano na Fig 8.1. Os vetores u e v indicam uma família de planos paralelos e o ponto A define qual deles é o plano. O comprimento e o sentido destes vetores são irrelevantes para o caso. Analogamente, os pontos A, B e C, distintos e não colineares, também definem o plano que os contém, pois se podem considerar o ponto A fixo e os vetores u = AB e v = AC. z v C A u B P x i k O j y Fig. 8.1 Sejam os pontos fixos A ( x A, y A, z A ), B ( x B, y B, z B ) e C ( x C, y C, z C ) não-colineares do plano. Os vetores u = AB = ( xb xa, yb ya, zb za) = ( u1, u2, u 3) e v = AC = ( xc xa, yc ya, zc za) = ( v1, v2, v 3) dão a direção de. 85

2 Uma equação do plano é obtida quando se conhecem as coordenadas de: a) três pontos distintos, não colineares, ou b) um ponto fixo e a sua orientação, dada por dois vetores u e v não nulos e não paralelos, mas paralelos a ele (plano). Seja A o ponto fixo do plano e P um ponto qualquer deste plano (Fig 8.1). Temos que OP = OA + AP. A cada posição de P existem e reais tais que AP = u + v. Portanto, tem-se OP = OA + u + v chamada de equação vetorial do plano. Vemos, pela equação vetorial, que a cada par de valores dos parâmetros e corresponde um só ponto P de. Sendo OP = (x, y, z), OA = ( xa, ya, z A), u = ( u 1, u 2, u 3 ) e v = ( v 1, v 2, v 3 ), então a equação vetorial é dada por : (x, y, z) = ( xa, ya, z A) + ( u1, u2, u 3) + ( v1, v2, v 3),,. (2) EXEMPLO 8.1 1) Obter a equação vetorial do plano, sabendo-se que A(2, 1, 0) pertence a e que tem a orientação dos vetores u = (2, 1, 3) e v = (4, 3, 1). Os vetores u e v são não nulos (os seus módulos são diferentes de zero) e não paralelos (as coordenadas não são proporcionais). Utilizando o ponto A fixo de, segue de (2), que: : (x, y, z) = (2, 1, 0) + (2, 1, 3) + (4, 3, 1),,. 2) Obter a equação vetorial do plano, conhecendo-se o seus pontos A(2, 1, 0) e B(5, 0, 1) e C(3, 2, 5). Tomemos u = AB = (3, 1, 1) e v = AC = (1, 1, 5) que não são nulos ou paralelos. Utilizando o ponto fixo A, segue de (2) que: : (x, y, z) = (2, 1, 0) + (3, 1, 1) + (1, 1, 5),,. (1) 86

3 EQUAÇÃO GERAL E LINEAR DO PLANO Considerando, na Fig 8.1, os vetores u = ( u 1, u 2, u 3 ) 0 e v = ( v 1, v 2, v 3 ) 0, não paralelos, o ponto fixo A ( x A, y A, z A ) e um ponto qualquer P(x, y, z) do plano, tem-se o vetor genérico AP = ( x xa, y ya, z za). Os vetores AP, u e v são coplanares e, neste caso, o det( AP,u,v) = 0. xxa y ya zza Então, u1 u2 u3 0 (3) v1 v2 v3 é uma equação do plano. Desenvolvendo o determinante por Laplace, seguindo pela 1ª linha, tem-se: : u2 u3 u3 u1 u1 u2 ( xxa) ( y ya) ( zza) 0. v2 v3 v3 v1 v1 v2 Considerando a, b e c os valores dos respectivos determinantes de 2ª ordem, teremos : a( xxa) b( y ya) c( zza) 0 (4) chamada de equação geral do plano. Efetuando as operações indicadas em (4), tem-se : axbyczd 0, (5) d ( ax by cz ). com A A A A equação (5) é chamada de equação linear em x, y e z do plano. Observação 8.1: 1) O produto vetorial u v é vetor ortogonal aos vetores u e v, logo, ortogonal ao plano e, por isso, chamado de vetor normal ao plano: i j k = u v u1 u2 u = ai + b j + ck. 3 v v v As componentes do vetor nas direções i, j e k coincidem, respectivamente, com os coeficientes em x, y e z da equação linear do plano. = u v v P A u Fig

4 2) O vetor = ai + b j + ck é ortogonal a todo vetor de. Portanto, AP. Assim, o produto escalar de = (a, b, c) por AP = ( x xa, y ya, z za) é zero: AP = a( xxa) b( y ya) c( zza) 0. A segunda igualdade obtida é a equação geral do plano. 3) A reta normal ao plano por A é N: (x, y, z) = ( x A, y A, z A ) + (a,b,c), FORMAS PARTICULARES DA EQUAÇÃO DO PLANO Consideremos os casos: a) Se = (0, b, c), então é paralelo ao eixo x e tem equação : byczd 0 x z z d / c i k j d / b y x Fig 8 3 b) Se = (a, 0, c), então é paralelo ao eixo y e tem equação : axczd 0 z d / c yz k i j y d / a x Fig

5 c) Se = (a, b, 0), então é paralelo ao eixo z e tem equação : axby d 0 z yz x z i k j d / b y x d / a Fig 8.5 d) Se = (0, 0, c), então é paralelo ao plano xy e tem equação : czd 0 z z d/ c k j y i xy A reta r: x xa e z za tem vetor v Fig 8.6 x = (0, b, 0) e é paralela ao eixo y. e) Se = (a, 0, 0), então é paralelo ao plano yz e tem equação : axd 0 z yz k i j y x d/ a x Fig

6 f) Se = (0, b, 0), então é paralelo ao plano xz e tem equação : byd 0 z xz i k j y d/ b y x Fig 8.8 Nota: Se d = 0, então a origem O(0, 0, 0) do sistema de referência pertence ao plano de equação axbycz 0. EXEMPLO 8.2 1) Dados os pontos A(1,2, 3), B(2, 2, 1) e C(3, 0, 2), pede-se uma equação a) linear do plano que possui os pontos dados. b) vetorial do plano que possui os pontos dados. c) da reta N, normal ao plano que contém A,B e C, sabendo-se A pertence a ela. a) Equação linear do plano Consideremos P(x, y, z) um ponto qualquer de. Os vetores AP = (x1, y+2, z3), AB = (1, 4, 2) e AC = (2, 2, 1) são coplanares. Logo, a equação de é: x1 y2 z Desenvolvendo o determinante por Laplace seguindo pela 1ª linha, temos: : 3y6z12 0 ou : y 2z4 0. b) Equação vetorial do plano Temos que os vetores u = AB = (1, 4, 2) e v = AC = (2, 2, 1) não são nulos ou paralelos, logo por (2), : (x, y, z) = (1,2, 3) + (1, 4, 2) + (2, 2, 1),,. c) Equações da reta normal a por A. A reta N deverá ter a direção do vetor = AB AC = (0, 3, 6), que é normal ao plano (ver observação 8.1), e contém o ponto A(1,2, 3). Assim, teremos as equações: - vetorial: N: ( xyz,, ) (1, 2,3) (0, 3, 6),. - paramétricas: N: x 1, y 2 3 e z 3 6, 90

7 - simétrica: N: x 1, y 2 z ) Dados o ponto A(1, 2, 3) e = (1, 3, 6), pede-se uma equação a) do plano que possui A e tem a orientação ortogonal a. b) da reta N, normal ao plano, sabendo-se A pertence a ela. a) Equação linear do plano Consideremos P(x, y, z) um ponto qualquer de. Então, AP = (x1, y+2, z3) é um vetor qualquer do plano. O problema pede que = (1, 3, 6) seja ortogonal a. A equação do plano é obtida fazendo AP = 0. Assim, : 1 (x 1) + 3 (y + 2) + 6 (z 3) = 0 ou : x 3y6z13 0. b) Equações da reta N A reta N possui o ponto A(1, 2, 3) e tem a direção de = (1, 3, 6). - vetorial: N: ( xyz,, ) (1, 2, 3) (1, 3, 6),. - paramétricas: N: x 1, y 2 3 e z 3 6, x 1 y2 z3 - simétrica: N: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8.1 1) Dados os pontos A(1,3,2), B(2,0,1) e C(1, 1, 3), pede-se uma equação: a) do plano que contém o conjunto dos pontos A, B e C. b) da reta normal ao plano ABC pelo ponto A. R. a) 7x + y + 4z 18 = 0 b) (x, y, z) = (1,3,2) + (7,1,4), 2) Dados o ponto A(2,0,1) e n (3,1,2), pede-se uma equação: a) do plano que contém A e tem orientação ortogonal a n. b) da reta normal ao plano em A. R. 3x + y + 2z 8 = 0 b) (x, y, z) = (2, 0, 1) + t (3,1, 3), t 3) Determinar uma equação do plano, sabendo-se que: a) A(1, 0, 2) pertence ao plano que tem vetor normal v 2i3j5k. b) B(3, 4, 2) pertence ao plano que é perpendicular a reta de equação x2 y3 z c) C(2, 1, 3) pertence ao plano que é paralelo ao plano de equação 2x3y+2z+7=0. y 2 z 3 d) contém a reta de equação x 2, 2 1 e é paralelo ao plano de equação x + 3y 6 z + 1= 0. e) os pontos A(1, 2, 3), B(2, 4, 1) e C(0, 1, 3) pertencem a ele. R. a) 2x3y5z12 0 b) 4x 3y z2 0 c) 2x3y2z13 0 d) x3y6z10 0 e) 4x4y5z

8 4) Determinar uma equação da reta que possui o ponto M(0, 1, 5) e é perpendicular ao plano 6x2y+4z4=0. x y1 z5 R ) Escrever uma equação do plano, sabendo-se que o ponto A(1,2,3) pertence a e que é normal a direção do vetor u 3i j2k. R. 3x + y + 2z 11 = 0 6) Escrever uma equação do plano, sabendo-se que A(1,7,2) pertence a que é normal a reta r: x = 0, y = 3. R. z 2 = 0 ou z = 2 7) Escrever uma equação do plano que contém o conjunto dos pontos A, B e C, onde a) A(2,1,0), B(3,1,1) e C(1,1,2). b) A(0,0,1), B(1,2,1) e C(1, 1, 0). R. a) y = 1 b) (x,y,z) = (0,0,1) + t 1 ( 1,2,0) + t 2 (1, 1, 1), t 1,t 2, ou 2x+ y + z 1= 0 8) Escrever uma equação do plano, sabendo-se que o ponto P pertence a e que contém a reta r, sendo a) r: x y z e P(2,1,1) b) r: x = 1, z = 1 e P(3,2,2). R. a) 2x +5y + z 10 = 0 b) 3x + 4z +1 = 0 9) Escrever uma equação do plano, sabendo-se que o ponto P pertence a e que é normal ao plano e paralelo a reta r, sendo x1 z1 a) P(3, 2, 1), : 3x 2y = 3 e r:, y x1 z1 b) P(2, 2, 1), : x + y z = 0 e r:, y R. a) 2x 3y + 3z + 15 = 0 b) 3x + 5y + 2z 2 = 0 10) Escrever uma equação do plano, sabendo-se que o ponto A pertence a e que é paralelo as retas r e s, onde x y1 z1 x1 z1 a) A( 6,0,1), r: e s:, y b) A( 1,0,0), r: x = 1, y = 2 e s: x y z R. a) x + 3y z + 7 = 0 b) 5x + 2y + 5 = 0 11) Escrever uma equação do plano, sabendo-se que o ponto A pertence a e que é ortogonal aos planos e, sendo a) A(3, 1, 4), : x y z = 0 e : 2x y = 5. b) A(2, 1, 1), : z = 6 e : x = 4. R. a) x 2y + z 3 = 0 b) y + 1 = 0 12) Determinar uma equação da reta que possui o ponto P(1, 2, 10), esta contida no plano de equação 3x z + 7 = 0 e é paralela ao plano de equação 2x 6z + 1 = 0. R. x 1, z 10 13) Escrever uma equação do plano que contém o conjunto formado pelos pontos A(2,1, 1) 92

9 e B(0,3, 2) e é paralelo a reta r: x y z R. x + y 3 = 0 14) Escrever uma equação da reta s, sabendo-se que o ponto A pertence a s e que s é paralela ao plano e ortogonal a reta r, onde x1 z 2 a) A(2, 3, 1), : 2x 3z = 1 e r:, y x 2 z1 a) A(2, 1, 1), : 2x y + 3z = 3 e r:, x R. a) (x, y, z) = (2, 3, 1) + t (0, 1, 0), t b) (x, y, z) = (2, 1, 1) + t (13, 6, 8), t 15) Escrever uma equação da reta s, sabendo-se que o ponto P pertence a s e que s é paralela aos planos e, onde a) P(2, 0, 4), : x + y + 3z = 2 e : x 2y = 4. b) P(6, 0, 1), : z = 4 e : x + 2y z 1 = 0. R. a) (x, y, z) = (2, 0, 4) + t ( 2, 1, 1), t b) (x, y, z) = (6, 0, 1) + t (0, 1, 2), t 16) Quais são os pontos que distam dos pontos (a, a, a) e ( a, a, a)? R. x + y + z = 0 17) Dê uma equação do plano que intercepta o eixo x no ponto a, e eixo y no ponto b e o eixo z no ponto c, sendo a, b e c positivos. Fazer um esboço do gráfico. R. bcx + acy + abz abc = 0 18) Dê as equações das retas intersecções do plano : x + y + z 1 = 0 com os planos x = 0, y = 0 e z = 0. Interprete geometricamente o resultado. R. y + z 1 = 0, x + z 1 = 0 e x + y 1 = POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E PLANO. Sejam r: (x,y,z) = A + u, e : ax + by + cz + d = 0, = (a,b,c). A u r r u A Fig 8.9 I Fig 8.10 Se u = 0, então r é paralela a : a) A r esta contida em. b) A r é paralela a e não esta contida em. Se u 0, então r intercepta : c) u // r é perpendicular a. d) u // r não é perpendicular a. 93

10 EXEMPO 8.3 Dizer qual é a posição relativa entre r e, nos casos: 1) r: (x, y, z) = (1, 3, 2) + (0, 1, 2), e : 5x + 2y + z 13 = 0. Temos que A(1, 3, 2), u = (0, 1, 2) e = (5, 2, 1). Vemos que u = (0,1,2) (5,2,1) = 0 e A, pois 5(1)+2(3)+(2) 13 = 0, logo, r esta contida em. 2) r: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (0, 1, 2), e : 5x + 2y + z 13 = 0. Temos que A(1, 3, 0), u = (0, 1, 2) e = (5, 2, 1). Vemos que u = (0,1,2) (5,2,1) = 0 e A, pois 5(1)+2(3)+(0) 13 = 2, logo, r é paralela a. 3) r: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (10, 4, 2), e : 5x + 2y + z 13 = 0. Temos que A(1, 3, 0), u = (10, 4, 2) e = (5, 2, 1). Vemos que u = (10,4,2) (5,2,1) = 60 e u //, pois suas coordenadas são proporcionais (u = 2 ), logo, r é perpendicular a. 4) r: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (1, 4, 2), e : 5x + 2y + z 13 = 0. Temos que A(1, 3, 0), u = (1, 4, 2) e = (5, 2, 1). Vemos que u = (1,4,2) (5,2,1) = 5 e u //, pois suas coordenadas não são proporcionais, logo, r intercepta, mas não perpendicularmente INTERSECÇÃO ENTRE RETA E PLANO Sejam r: (x,y,z) = A + u, e : ax + by + cz + d = 0, = (a,b,c). Procedimento para se obter o ponto I de interseção entre reta e plano: a) Verificar se u 0, sendo u um vetor de reta e normal ao plano, b) Escrever a equação da reta na forma paramétrica e do plano na forma linear, c) Substituir os valores de x, y e z da paramétrica na forma linear do plano, d) Resolva a equação formada com as referidas substituições: Obtêm-se o da reta, e) Substituir o obtido na forma paramétrica da reta e obtendo-se as coordenadas do ponto I de interseção entre r e. 94

11 Exemplificando: Obtenha a interseção da reta r: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (10, 4, 2), com o plano : 5x + 2y + z 13 = 0. a) Considerando que u = (10, 4, 2) é vetor de r e = (5, 2, 1) normal a, temos que: u = (10,4,2) (5,2,1) = Logo, r intercepta. O fato de ocorrer u //, pois u = 2, nos diz que r é perpendicular a. b) Forma paramétrica de r: x = , y = e z = 2,, e a forma linear do plano é : 5x + 2y + z 13 = 0. c) Substituir x, y e z de r em : 5( ) + 2(3 + 4 ) + (2 ) 13 = 0 d) Resolver a equação acima obtida: = 1/30. e) Substituir = 1/30 na equação paramétrica da reta: x = (1/30) = 1 + 1/3 = 4/3 y = 3 + 4(1/30) = 3 + 2/15 = 47/15 I (3/4, 47/15, 1/15). z = 2(1/30) = 1/ POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PLANO E PLANO Sejam os planos : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0. i Se // Fig 8.11 Fig 8.12, então os planos e são paralelos. a) A e A, segue que e coincidem. b) A e A, segue que e são paralelos e não coincidem. Se //, então os planos se interceptam. A reta i = (Fig 8.12). EXEMPLO 8.4 1) São dados os planos : 2x + 6y 4z + 4 = 0 e : 5x 15y + 10z + 3 = 0. a) Os planos se interceptam? b) Caso se intercepte, encontre a reta i de interseção. 95

12 Temos que = (2, 6, 4) e = (5,15, 10). Vemos que, logo, //, e, daí, os planos e são paralelos. Verificar se e coincidem: Vamos escolher um ponto de : Atribuindo valores para x e para y na forma da equação de, obteremos um valor para z. Isto é, assumindo x = 2 e y = 0 (por exemplo), teremos 2(2) + 6(0) 4z + 4 = 0, e, daí, z = 2. Então o ponto A(2, 0, 2) pertence a. Substituindo A em, teremos: 5(2) 15(0) + 10(2) + 3 = 13 0, logo, os planos não coincidem. A interseção dos planos é vazia. 2) São dados os planos : 2x + 6y 4z + 4 = 0 e : 5x + 15y + 10z + 3 = 0. a) Os planos se interceptam? b) Caso se intercepte, encontre a reta i de interseção. a) Temos que = (2, 6, 4) e = (5, 15, 10). Vemos que 2 6 4, logo, //, e, daí, concluímos que os planos e se interceptam. b) A reta i de interseção: Observando a Fig 8.12, notamos que i tem direção ortogonal a tem a direção de ( ). i j k = = (120, 40, 0) Precisamos, agora, obter um ponto A de i: Fazendo, por exemplo, y = 0, teremos o sistema linear daí, o ponto A(13/10, 0, 7/20) pertence a i. A interseção dos planos é i: (x, y, z) = ( 13 10, 0, x 4z 4 5x10z 3 e a, logo, x 13/10, z 7/20 ) + (120, 40, 0),. Observação 8.2: O estudo da posição relativa dos planos : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0, quando ocorre //, nos permite entender que: a1 b1 c1 d1 1º) Se ocorrer, com os coeficientes todos diferentes de zero, os a2 b2 c2 d2 planos e são coincidentes. Caso um dos coeficientes seja zero e o coeficiente correspondente da outra equação também for zero o raciocínio continua válido. 96

13 a1 b1 c1 d1 2º) Se ocorrer, com os coeficientes todos diferentes de zero, os a2 b2 c2 d2 planos e são paralelos e não coincidentes (Exemplo 8.4(1)) PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UMA RETA NUM PLANO Sejam r: (x,y,z) = A + u, e : ax + by + cz + d = 0, = (a,b,c). A reta r, indicada na Fig 8.13 abaixo, é a projeção ortogonal de r em. Vejamos, no exemplo que segue, um modo de se obter a reta r. EXEMPLO 8.5: Dados r: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (1, 4, 2), e : 5x + 2y + z 13 = 0, pede a reta r, projeção ortogonal de r em. Temos que A(1, 3, 0), u = (1, 4, 2) e = (5, 2, 1). a) Vemos que u = (1, 4, 2) (5, 2,1) = 5 e u G, pois suas coordenadas não são proporcionais, logo, r intercepta, mas não perpendicularmente. b) Determinar o ponto I = r : x 1 Substituindo r: y 3 4 em : 5(1 ) + 2(3+4 ) + (2 ) 13 = 0, segue que z 0 2 = 2/5, que substituído em r tem-se I = (3/5, 23/5, 4/5) c) Obter a reta s pelo ponto Ar com direção normal ao plano : Temos que s: (x, y, z) = A +,. s: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (5, 2, 1),. d) Obter A = s x 15 Substituindo s: y 3 2 em : 5(1 + 5 ) + 2(3 + 2 ) + ( ) 13 = 0, segue z 0 que = 1/15, que substituído em s tem-se A = (20/15, 47/15, 1/15). e) Obter r pelos pontos I e A : Temos que r : (x, y, z) = I + t 0. IA', t 0. Sendo I = (3/5, 23/5, 4/5) e IA' = (11/15, 68/15, 11/15), segue que: r : (x, y, z) = (3/5, 23/5, 4/5) + t (11, 68, 11), t. Observação 8.3: Se a reta r for paralela a : a) Obter os pontos A e B distintos de r b) Construir as retas s e s normais a, tais que As e Bs c) Obter A = s e B = s d) Construir a reta r pelos pontos A e B. 97

14 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8.2 1) Obtenha, se houver, a interseção da reta r: (x, y, z) = (1, 3, 2) + (1,2, 0),, com o plano : 2x 4y 2 = 0. R. I(11/5, 3/5, 2) 2) Dados a reta r: (x, y, z) = (1, 3, 2) + (1,2, 0),, e o plano : 2x 4y + 2 = 0. Pede: a) a posição relativa entre r e. b) se houver, obter a interseção de r e. R. a) r intercepta e não é ortogonal a b) I(2, 1, 2) 3) Define-se o ângulo entre dois planos não paralelos como sendo o menor ângulo formado pelas direções normais dos planos. Obtenha o ângulo entre os planos: a) : 2x + 6y 4z + 4 = 0 e : 5x 15y + 10z + 3 = 0. b) : 2x + 6y 4z + 4 = 0 e : 5x + 15y + 10z + 3 = 0. R. a) 0 b) arcos(3/7) 65º 4) Define-se ângulo entre reta r e plano como sendo o complementar do menor ângulo que a reta u forma com a normal ao plano. A A reta r é a projeção de r em. Assim, r. u r sen = cos =. u I A Obtenha o ângulo entre a reta r e o plano : Fig 8.13 a) r: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (0, 2, 2), e : z 3 = 0. b) r: (x, y, z) = (1, 3, 0) + (3, 0, 3 ), e : z = 2. c) r: (x, y, z) = (2, 1, 3) + (2, 1, 2), e : x y + z + 3 = 0. R. a) 45 b) 30 c) arcsen( 3 /3) 5) Qual é a posição relativa entre os planos x + y + z + 1 = 0 e x + y + z 1 = 0? Faça esboço gráfico. R. paralelos 6) Qual é a posição relativa entre o plano que possui os pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,1) com o plano que tem os pontos D(1,0,0), E(0, 1,0) e F(0,0,1)? Dê a interseção. Faça um esboço gráfico. R. reta z = x + 1 no plano xz 7) Dê equações dos planos coordenados xy, xz e yz. Dê equações dos eixos coordenados x, y e z. Faça um esboço gráfico. R. planos: z=0, y=0 x=0 eixos: y=0 e z=0, x=0 e z=0, x=0 e y=0. 8) Qual é a interseção dos planos y = x e y = x? R. eixo z 98