Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemáica

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1 Universidade Tecnológica ederal do Paraná âmpus ampo Mourão epartamento de Matemáica 1. Verdadeiro ou falso? GX1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Lista de xercícios: Produto de Vetores Prof. Lilian aroline Xavier andido (a medida angular entre um vetor não-nulo e ele mesmo é 0 (graus ou radianos. (b medida angular entre dois vetores não-nulos e ortogonais é π 2 radianos. (c medida angular entre dois vetores de sentido contrário é 180 graus. (d Não existem u e v tais que ang( u, v = arcsen ( m uma roleta de centro O, o preto 17 ocupa a posição P. pós um giro de 7π 5 ocupar a posição Q. Qual é a medida angular em radianos entre OP e OQ? radianos, passa a. Seja o hexágono regular de centro O da figura abaixo. O Obtenha as seguintes medidas angulares em graus: ( (a ang, ( (b ang O+, ( (c ang + ( (d ang,, 4. Sendo um tetraedro regular de aresta unitária, calcule. 5. Os lados do triângulo equilátero têm medida 2. alcule alcule, em radianos, a medida angular entre u e v. (a u = (1,0,1, v = ( 2,10,2 (b u = (,,0, v = (2,1, 2 (c u = ( 1,1,1, v = (1,1,1 (d u = ( 2, 1 2,0, v = (, 1, 2 2 (e u = (00,00,0, v = ( 2000, 1000, Seja o triângulo de vértices ( 1, 2,4, ( 4, 2,0 e (, 2,1. eterminar o ângulo interno ao vértice. 8. Provar que os pontos (5,1,5, (4,,2 e (, 2,1 são vértices de um triângulo retângulo. 9. etermine x de modo que u e v sejam ortogonais. (a u = (x,0,, v = (1,x, (b u = (x,x,4, v = (4,x,1 (c u = (x+1,1,2, v = (x 1, 1, 2 (d u = (x, 1,4, v = (x,,1

2 10. etermine u ortogonal a (,0,1 tal que u (1,4,5 = 24 e u ( 1,1,0 = (a Obtenha os vetores de norma que são ortogonais a u = (2,, 1 e v = (2, 4,6. (b Qual dos vetores obtidos no item (a forma ângulo agudo com (1,0,0? 12. Obtenha a tripla de coordenadas do vetor que tem norma, é ortogonal a (1,1,0 e a ( 1,0,1 e forma ângulo obtuso com (0,1,0. 1. Obtenha um vetor u ortogonal a v = (4, 1,5 e w = (1, 2, tal que u (1,1,1 = ados v = (1,1,1, w = (0,1, 1 e t = (2,1, 1, obtenha u de norma 5, ortogonal a t, tal que u, v e w sejam paralelos a um mesmo plano. lgum dos vetores encontrados forma ângulo agudo com ( 1,0,0? 15. Obtenha u ortogonal a (1,1,0 tal que u = 2 e a medida angular em graus entre u e (1, 1,0 seja escreva o conjunto de todos os vetores w ortogonais a v = (2,1,2 tais que u = (1,1, 1, v e w sejam paralelos a um mesmo plano. 17. Sendo u e v unitários, w = 4, u w = 2, v w = 4, e ang( u, v = π rad, calcule: (a ( u+ v + w u (b (2 u v + w ( u+ v (c (5 u w ( w 2 u (d ( w v + u ( u+2 w + v 18. alcule 2 u+4 v 2, sabendo que u é unitário, v = 2, e a medida angular entre u e v é 2π radianos. 19. figura a seguir mostra um cubo. H G M Sabendo que o comprimento de M é o dobro do comprimento de GM, calcule a medida do ângulo ÂM. 20. medida angular em radianos entre u e v é π 4, u = 5 e v = 1. alcule a medida angular em radianos entre u+ v e u v. 21. alcule a projeção ortogonal de v sobre u em cada caso. (a v = (1, 1,2, u = (, 1,1 (b v = ( 1,1,1, u = ( 2,1,2 (c v = (1,,5, u = (,1,0 (d v = (1,2,4, u = ( 2, 4, m cada caso, decomponha v como soma de dois vetores p e q, de modo que p seja paralelo e q seja ortogonal a u. (a v = ( 1,,2, u = (0,1, (b v = (0,1,2, u = (0,1, 2 (c v = (1,2, 1, u = (2, 1,0 2. medida angular entre u e v é 0 o, e suas normas, 2 e. alcule u v.

3 24. Sabendo que u = 1, v = 7 e ang( u, v = π rad, calcule u v e 4 u 9 v medida angular entre os vetores unitários u e v é 0 o e u v e (2,2,1 são de mesmo sentido. etermine a tripla de coordenadas de u v. 26. medida angular entre os vetores a e b é 60 o, e suas normas são, respectivamente, 1 e 2. Sendo u = a+ b e v = a b, calcule a norma de u v. 27. alcule ( 2 u v + w ( 6 u+ v w. 28. O lado do hexágono regular representado na figura mede 2. alcule: (a (b (c (d (e 29. alcule (2 k i+5 j ( i 2 k + j 0. alcule u v nos casos: (a u = (6, 2, 4, v = ( 1, 2,1 (b u = (7,0, 5, v = (1,2, 1 (c u = (1,,1, v = (1,1,4 (d u = (2,1,2, v = (4,2,4 1. Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: a j 2 i b i 2 k 2. alcule a área do paralelogramo, sendo = (1,1, 1 e = (2,1,4.. Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos(1, 2,,(4,, 1,(5,7, e(2,2,1 é um paralelogramo e calcular sua área. 4. alcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto (,2,1 e uma diagonal de extremidades (1, 1, 1 e (0, 1, alcule a área do triângulo, sendo = ( 1,1,0 e = (0,1,. 6. alcular a área do triângulo de vértices: a ( 1,0,2, ( 4,1,1 e (0,1, b (1,0,1, (4,2,1 e (1,2,0 c (2,, 1, (,1, 2 e ( 1,0,2 d ( 1,2, 2, (2,, 1 e (0,1,1 7. alcular x, sabendo que (x,1,1, (1, 1,0 e (2,1, 1 são vértices de um triângulo de área ado o triângulo de vértices(0,1, 1,( 2,0,1 e(1, 2,0, calcular a medida da altura relativa ao lado.

4 9. etermine x tal que x ( i+ k = 2( i+ j k e x = etermine x de norma, ortogonal a (1,1,0 e a ( 1,0,1, e que forma ângulo agudo com j. 41. O lado do quadrado mede 2, é a diagonal e M é o ponto médio de. alcule M. 42. Sejam os vetores u = (1,1,0, v = (2,0,1, w 1 = u 2 v, w 2 = u+ v e w = i+ j 2 k. eterminar o volume do paralelepípedo definido por w 1, w 2 e w. 4. alcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v 1 = 2 i j, v 2 = 6 i+m j 2 k e v = 4 i+ k seja igual a Os vetores a = (2, 1,, b = ( 1,1, 4 e c = (m+1,m, 1 determinam um paralelepípedo de volume 42. alcular m. 45. ados os pontos (1, 2,, (2, 1, 4, (0,2,0 e ( 1,m,1, determinar o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores, e. 46. São dados os vetores u = (1,2, 1, v = (0,, 4, w = (1,0, e t = (0,0,2. alcule o volume do tetraedro, sabendo que = proj v u, que é o vetor oposto do versor de w e que ( = proj t. 47. alcular o volume do tetraedro, sendo dados: a (1,0,0, (0,1,0, (0,0,1 e (4,2,7; b ( 1,,2, (0,1, 1, ( 2,0,1 e (1, 2,0. Para este, calcular também a medida da altura traçada do vértice. 48. Verificar se são coplanares os seguintes vetores: (a u = (, 1,2, v = (1,1,1 e w = ( 2,,4 (b u = (2, 1,0, v = (,1,2 e w = (7, 1,2 49. Verificar se são coplanares os pontos: (a (1,1,1, ( 2, 1,, (0,2, 2 e ( 1,0, 2 (b (1,0,2, ( 1,0,, (2,4,1 e ( 1, 2,2 (c (2,1,, (,2,4, ( 1, 1, 1 e (0,1, Sendo [ u, v, w] = 6, calcule [2 u v + w, u+ v w, v w].

5 Respostas 1. a V b V c V d V 2. 0,6π radianos. a 150 o b 60 o c 90 o d 0 o a π 2 b π 4 c arccos ( = 0 9. a -9 b (1,2, 11. a (,, e (,, b (,, 12. (1, 1,1 1. (1, 1, 1 d π e π 4 c ± 6 d Não existe 14. u = (1,0,2 ou u = ( 1,0, 2. Sim, o segundo. ( 2 ( , 2,1 e 2 2, 2, É o conjunto dos vetores λ(7,8, 11, com λ a 1 2 b 7 2 c -40 d ( 19. arccos ( 20. arccos a ( 18 11, 6 11, 6 11 b ( 10 9, 5 9, 10 9 c (0,0,0 d (1,2,4 22. a v = ( 0,, ( , b v = ( 0,, ( , 8, c v = (0,0,0+(1,2, 1 2., e ( 1, 1, , pois o segundo é o produto de pelo primeiro. 28. a 2 b i+4 j 16 k 0. a ( 10, 2, b (10,2, (a 6 (b ou x = i+2 j + k 40. x = ( 1,1, u.v ou ou ou c 4 d 4 e 8 c ( 1,,4 d (0,0,0 (c (d (a 2 (b 4 e (a Não (b Sim 49. (a Sim (b Não (c Sim