Questões. 2ª Lista de Exercícios (Geometria Analítica e Álgebra Linear) Prof. Helder G. G. de Lima 1

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1 ª Lista de Exercícios (Geometria Analítica e Álgebra Linear) Prof. Helder G. G. de Lima 1 Questões 1. Sejam A, B, C e D vértices de um quadrado. Quantos vetores diferentes entre si podem ser definidos por segmentos orientados com ambas as extremidades nestes vértices?. Suponha que A, B, C, D, E, F, G, H sejam vértices de um paralelepípedo como o da figura a seguir, em que apenas duas faces são quadradas e as demais são retangulares: Encontre segmentos orientados com extremidades nestes pontos para representar: (a) Dois vetores distintos que sejam paralelos (colineares). (b) Três vetores distintos que sejam coplanares. (c) Três vetores distintos que não sejam coplanares nem ortogonais. (d) Três vetores ortogonais entre si, sem repetir nenhuma das extremidades. (e) Quatro vetores com soma nula, sem que dois deles sejam opostos. (f) Dois vetores cuja soma não possa ser representada usando apenas os pontos dados. (g) Cinco vetores cujas normas (módulos) sejam diferentes entre si. (h) Sete vetores distintos cuja soma seja BH. 3. As faces do sólido representado a seguir são paralelogramos, com exceção dos quadriláteros ABCD e EFGH. Nessas condições, calcule os vetores pedidos (use apenas os pontos dados): (a) AB GF + HD (b) EF + EH AB + DA (c) (C G) + (C E) + (E A) (d) (F E) + (A E) + (A G) (C G) 1 Este é um material de acesso livre distribuído sob os termos da licença Creative Commons Atribuição- CompartilhaIgual 4.0 Internacional 1

2 4. Supondo que x 0, calcule a norma (módulo) dos vetores u = 4 x x e v = x 5 x, e também dos vetores u e 10 v. 5. Sejam u, v e w os vetores representados na figura a seguir: Encontre representantes para os seguintes vetores, com origem no ponto A. também quais dos vetores resultantes são ortogonais a w. Indique (a) u + v + w (c) (b) u + 1 v 3 w u v w (d) u v + w (e) u + v + 4 w (f) u + 1 v 6. Suponha que u e v são os vetores representados a seguir, e que x e y satisfazem o sistema de equações indicado. Expresse x e y em termos de u e v e represente-os geometricamente. { x + y = u x y = v 7. Sejam A, B, C e D pontos quaisquer do espaço (por exemplo, os da figura abaixo), M o ponto médio de AC e N o de BD. Encontre uma expressão para a soma x = AB + AD + CB + CD em função de MN. 8. Se u = ( 4, 4, 1) pode ser representado por um segmento orientado com origem M e extremidade N(5, 3, 1), quais são as coordenadas de M? 9. Se u = ( 7, 5, 3) e w = ( 5, 1, 0), determine o vetor v que satisfaz ( v u) = 1 ( v + w). 10. Verifique se o triângulo com vértices P (0, 3, 0), Q(3, 1, 1) e R(1, 0, ) é equilátero. 11. Sejam A = ( t, t + 5, 4), B = ( 3, 4, 0) e C = (1, 0, 0). Calcule (se existirem) os valores de t para que A, B e C:

3 (a) Formem um triângulo retângulo (b) Sejam colineares (c) Formem um triângulo equilátero 1. Os pontos P (1, 1, 4) e Q(,, ) estão a uma mesma distância de um certo ponto R do eixo z. Quais as coordenadas de R? Os pontos P, Q e R formam um triângulo equilátero? 13. Os pontos A( 1,, 3), B(1, 4, 3), C(1,, 5) e D( 1, 4, 5) definem um tetraedro regular? 14. Sejam u = ( 5, 1), v = (, ) e w = (6, 6). Encontre escalares α e β tais que w = α u + β v. Represente graficamente a decomposição encontrada para w. 15. Obtenha α e β tais que w = α u + β v, se u = 3 i + 3 j 3 k, v = i + j + k e w = 3 i + 3 j. 16. Determine o ponto (ou os pontos) do plano horizontal xy cuja distância a A(1, 1, 0) é e cuja distância a B(0, 1, 0) é Suponha que AD = BC, AB BD e que o ângulo entre AB e BC é de π/3 radianos. Determine o ângulo entre: (a) CD e AB (b) BD e CD (c) BD e AD 18. Se A = ( 1,, 3 ) e B = (1, 1, z), determine z para que o vetor AB seja unitário Encontre o ponto A que é o simétrico de B = ( 9, 1, 4) em relação ao ponto C = (,, 3), isto é, aquele ponto A tal que C é o ponto médio de AB. 0. Verifique se A = ( 1, 1, 3), B = (1,, 3), C = (1, 3, 1) e D = ( 1, 6, 10) são vértices de um paralelogramo (não necessariamente nesta ordem). 3

4 Respostas 1. 8 vetores. Rotulando os vértices no sentido horário, tem-se: AB = DC, AC, AD = BC, BA = CD, BD, CA, CB = DA, DB.. Como há diversas respostas válidas, será indicada apenas uma possibilidade: (a) Basta considerar qualquer vetor e o seu oposto. Por exemplo, AB e BA. (b) Quaisquer vetores cujas extremidades estão em uma mesma face do paralelepípedo são coplanares. Por exemplo, AB, AF e AE. (c) AB, AF e AG. (d) AB, F G e DH (e) AB + BF + F D + DA (f) AB e AF (g) AB, AE, AC, AF e AG (h) BH = BF + F E + EA + AD + DC + CF + F H 3. (a) (b) AB GF + HD = AB + F G + HD = AB + BC + HD = AC + HD = AC + EA = EC EF + EH AB + DA = EF + EH + BA + DA = EF + EH + F E + DA = EH + DA = EH + HE = 0 (c) (C G) + (C E) + (E A) = (C G) + (C A) = (A E) + (C A) = C E (d) (F E) + (A E) + (A G) (C G) = (F E) + (A E) + (A G) + (G C) = (F E) + (A E) + (A C) = (B E) + (A C) = (B E) + (E G) = B G 4

5 4. Lembrando que m w = m w, para todo m R e todo vetor w, tem-se: (a) u = 4 x x = 4 x x = 4 x x = 4 x = 4. x (b) v = x 4 x = 1 x 4 x = 1 4 x x = 1 x = 1 x = 1 = 1 4 x 4 x (c) u = u = 4 = 8. (d) 10 v = 10 v = = 5. w é ortogonal a: ˆ u + v + 4 w ˆ u + 1 v 3 w 6. x = u+ v e y = u v 7. Note que ˆ AB = AM + MN + NB ˆ AD = AM + MN + ND ˆ CB = CM + MN + NB ˆ CD = CM + MN + ND Logo, x = AB + AD + CB + CD = AM + CM + 4 MN + NB + ND = AM + CM + 4 MN = 4 MN 8. M(9, 7, 0) 9. v = 1 w + 4 u = ( 11, 7, 4) 3 3 5

6 10. P Q = P R = QR = 14, então o triângulo é equilátero. 11. (a) Como AB = ( 3+t, t 1, 4), AC = (1+t, t 5, 4) e BC = (4, 4, 0), pode-se dizer que: i. Para que o triângulo fosse retângulo em A, deveria ocorrer AB AC = 0, isto é, 0 = ( 3 + t, t 1, 4) (1 + t, t 5, 4) = t + 4t Mas isto não é possível para nenhum t R pois = < 0. Logo, independentemente do valor de t, nunca ocorre um ângulo reto no vértice A. De fato, o ângulo no vértice A é sempre agudo pois t +4t+18 = (t+1) +16 > 0. ii. Haverá um ângulo reto em B se, e somente se, BC BA = 0, isto é, 0 = (4, 4, 0) (3 t, t + 1, 4) = 8 8t. Assim, o triângulo é retângulo em B se t = 1. iii. Analogamente, há um ângulo reto em C se, e somente se, CA CB = 0, isto é, Neste caso, t = 3. 0 = ( 1 t, t + 5, 4) ( 4, 4, 0) = 8t + 4. (b) Os três pontos só podem ser colineares se os vetores AC e BC forem paralelos, isto é, se existir algum k R tal que AC = k BC. Mas isto equivale a (1 + t, t 5, 4) = k(4, 4, 0) = (4k, 4k, 0), ou em termos das coordenadas, 1 + t = 4k, t 5 = 4k e 4 = 0. Como esta última equação é sempre falsa, não há qualquer valor de t que torne os pontos colineares. (c) Se os pontos formam um triângulo equilátero, então AB =. BC = AC A primeira equação implica que ( 3 + t) + ( t 1) + ( 4) = 4 + ( 4) + 0, ou ainda, t 4t + 6 = 3. Elevando ambos os membros ao quadrado e resolvendo a equação do segundo grau, resulta que t = 1 ou t = 3. Mas para t = 3 tem-se AC = (4, 8, 4) e AC = 96 3 (ou seja, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero). Logo, a única possibilidade é t = P (0, 0, 3/) está a uma distância 33/ dos pontos Q e R, mas estes distam 14 entre si, então não formam um triângulo equilátero (mas ele é isósceles). 13. Como AB = AC = AD = BC = BD = CD = 8, o tetraedro ABCD tem todos os lados com a mesma medida, ou seja, é regular. 14. A equação w = α u + β v equivale a (6, 6) = α( 5, 1) + β(, ) = ( 5α β, α β), ou seja, α e β devem ser soluções do sistema { 5α β = 6 a saber, α = e β =. α β = 6, 6

7 15. A equação w = α u + β v equivale a 3 i + 3 j + 0 k = α(3 i + 3 j 3 k) + β( i + j + k) = (3α β) i + (3α + β) j + ( 3α + β) k, ou seja, α e β devem ser soluções do sistema 3α β = 3 3α + β = 3 3α + β = 0, 16. (...) 17. (...) 18. (...) 19. (...) a saber, α = 1 e β = Para que os pontos definam um paralelogramo, é preciso que o vetor determinado por dois dos pontos seja igual (ou oposto, dependendo de como orientar as arestas) ao vetor determinado pelos outros dois pontos. Assim, deveríamos ter AB = ± CD ou AC = ± BD. Mas AB = (, 3, 0) ±(, 3, 11) = CD e AC = (,, 4) ±(, 8, 7) = BD, então estes pontos não formam um paralelogramo. 7