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1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática isciplina : Geometria nalítica (GM003) ssunto: sistemas de coordenadas; vetores: operações com vetores, produto escalar, produto vetorial, produto misto e aplicações geométricas. Professor Sato 1 a Lista de exercícios 1. eterminar as coordenadas polares dos pontos que são simétricos em relação ao eixo polar dos pontos: M 1 (3, π) e M (, π ), dados num sistema de coordenadas polares.. ados dois pontos P( 5, ) e Q(3, 1), achar a projeção do segmento P Q sobre um eixo que forma com o eixo Ox o ângulo θ = arctg Sejam π o plano que passa pelos pontos P 1 (1, 0, 0), P (0, 1, 0)) e P 3 (1, 0, ) e β o plano que passa pelos pontos Q 1 (1, 0, ), Q (0, 1, 3) e Q 3 (0, 0, ). Esboce o poliedro cujas faces estão contidas nos planos coordenados, no plano π e no plano β.. Esboce as seguintes regiões descritas em coordenadas polares (a) { (ρ, θ);0 ρ 1 e π θ } π 3 3. (b) { (ρ, θ);1 ρ e π θ } 3π. 5. Representar graficamente (a) a reta definida pelos pontos (, 1, 3) e (, 5, ); (b) o plano definido pelos pontos (0, 0, 3), (, 3, 1) e (0, 3, ). 6. Um tetraedro contido no quarto octante tem três de suas faces contidas nos planos coordenados e seus vértices são os pontos: (0, 0, 0), (, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 1). Faça um esboço desse tetraedro. 7. Representar graficamente os pontos de coordenadas cilíndricas: (5, 1, ); (10,, ). Em seguida, calcular suas coordenadas cartesianas em relação a um sistema com origem no polo e eixo das abascissas coincidindo com o eixo polar. 8. Representar graficamente os pontos do espaço, cujas coordenadas cilíndricas satisfazem a equação θ = 5. Em seguida, passar a equação de coordenadas cilíndricas para cartesianas. 9. Representar graficamente os pontos do espaço, cujas coordenadas esféricas satisfazem a equação ρ = 7. Em seguida, passar a equação de coordenadas esféricas para cartesianas. 10. Para os vetores u, v e w da figura, construir geometricamente o vetor x = u 3 v + 1 w. v u w 1

2 11. O paralelogramo é determinado pelos vetores e. Sendo M e N os pontos médios dos lados e, complete convenientemente. a) + = b) + = c) = d) N + = e) M + M = f) M 1 = 1. Na figura, tem-se um paralelepípedo EFGH. Se u =, v = e w = E, exprima em função dos vetores u, v e w os seguintes vetores: G, H, E e F. H G E F 13. ados os pontos ( 1, 0, ), (, 1, 1) e (0, 1, 3) determine o versor do vetor v, solução da equação vetorial v = v + ( ). 1. etermine a de modo que u = a i + 5 j + 5 k seja um vetor unitário. 15. Mostre que se α, β e γ são não-nulos, então os vetores do espaço u = a i +b j +c k = (a, b, c) e v = α i + β j + γ k = (α, β, γ) são paralelos se, e somente se, a α = b β = c γ. Vale um resultado análogo para vetores do plano. 16. ados dois vértices consecutivos ( 3, 5), (1, 7) de um paralelogramo e o ponto de interseção M(1, 1) de suas diagonais, achar os dois outros vértices. 17. Obter o ponto P do eixo das abscissas que é equidistante de (, 3, 1) e (, 1, 1). 18. etermine o simétrico do ponto P(3, 1, ) em relação ao ponto ( 1, 0, 3). 19. ados os vértices (x 1, y 1 ), (x, y ), (x 3, y 3 ) de uma placa triangular homogênea, determinar o seu centro de gravidade. Sugestão: O centro de gravidade de um triângulo se encontra no ponto de interseção das medianas. 0. alcular as coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais o segmento de reta que une os pontos (5, 1, 7) e ( 3, 3, 1). 1. alcular as coordenadas do centro de gravidade do tetraedro de vértices (3, 5, 8), (5, 3, ), (,, 3) e (6, 0, 1).. Use o conceito de vetor para verificar se são colineares os pontos: (a) ( 1, 5, 0), (, 1, 3) e (, 7, 1). (b) (, 1, 1), (3, 1, 0) e (1, 0, ). 3. alcule a e b de modo que os pontos (3, 1, ), (1, 5, 1) e (a, b, 7) sejam colineares.

3 . emonstre vetorialmente que, em um triângulo qualquer, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual à metade dele. 5. emonstre vetorialmente que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. 6. Mostre que: a) ados os vetores linearmente independentes u, v e w se α u + β v + δ w = = α u + β v + δ w, então α = α, β = β e δ = δ. b) ados os vetores linearmente dependentes u, v e w se α u + β v + δ w = = α u + β v + δ w, então não necessariamente ocorre as igualdades α = α, β = β e δ = δ. 7. Sejam u e v vetores quaisquer. Mostre que i) u + v = u + v + u v ; ii) u v = u + v u v ; iii) u [ v = 1 u + v u v ]. 8. Prove a igualdade u + v + u [ v = u + v ] e dê uma interpretação geométrica. 9. Mostre que u + v é ortogonal a u v se e somente se u = v. Interprete geometricamente. 30. Mostre que u e v são linearmente dependentes se e somente se u v = u v. 31. Seja r a reta que passa pelos pontos 3. alcule as normas dos vetores u + v e u v, sabendo-se que u =, v = 3 e que o ângulo entre os vetores u e v é de Mostre que os pontos (1, 0, 1), ( 1, 0, ) e (1, 1, 1) são vértices de um triângulo retângulo. 3. Mostre que o triângulo de vértices (1,, 1), (0, 1, 1) e (, 0, 0) é equilátero. 35. Sabendo-se que u =, v = 3 e que u e v formam ângulo de 3π ( u v ) ( u v ). rd, determine 36. Os ângulos diretores de um vetor são 5, 60 e θ. etermine θ. 37. Que condições os vetores u e v devem satisfazer para que o vetor u + v divida o ângulo entre u e v em dois ângulos congruentes? 38. Encontre um vetor unitário paralelo à bissetriz do ângulo determinado pelos vetores u e v nos seguintes casos: i) u = (1,, ) e v = (, 1, ) ii) u = (1,, ) e v = (3,, 0). 39. etermine o vetor v, paralelo ao vetor u = i j + k para o qual u v = Encontre a medida da projeção ortogonal do vetor u = i + j k na direção do vetor v = i + j + k. 1. Encontre a componente do vetor u = (1,, 3) na direção do vetor v = (, 1, ). 3

4 . ados u = (1, a, a 1), v = (a, a 1, 1) e w = (a, 1, 1), determine a de modo que u v = ( u + v ) w. 3. Mostre que: i) u v + u v = u v. ii) u v u v. Em que condições ocorrerá a igualdade? iii) ( u v ) (α u + β v ) = 0, quaisquer que sejam os escalares α e β. iv) Se u = α x + β z e v = γ x + δ z, então u v = (αδ βγ) x z. v) (u v ) ( x u x z ) = u z v x v z, onde denota o determinante.. Encontre o vetor x, cuja norma é 3 6, que é ortogonal aos vetores u = (, 1, 3) e v = (1, 0, ), sabendo-se que o mesmo forma um ângulo agudo com o vetor j. 5. Uso o conceito de projeção de e norma de vetores para determinar a distância do ponto P à reta r que passa pelos pontos e nos casos: (a) P(, 0, 1), (1,, 0) e (, 0, 1); (b) P(1, 0, 1), (0, 0, 0) e (6, 3, ). 6. Refaça o exercício anterior usando, agora, a interpretação geométrica da norma do produto vetorial. 7. Use a interpretação geométrica da norma do produto vetorial de dois vetores não-nulos para demonstrar a Lei dos senos. 8. Obtenha um vetor v tal que ( i ) v + j + k = i j. 9. ados u = (, 1, 1), v = (1, 1, 0) e w = ( 1,, ), obter: a) u v b) ( u v ) ( u w ) c) v ( w u ) d) ( u v ) w e) u ( v w ) f) ( u + v ) ( u v ) g) u 3 v h) u ( v w ) 50. Sejam, e três pontos não colineares, vértices de um triângulo. F E Use a figura acima e a interpretação da norma do produto vetorial de vetores não-nulos para mostrar que a área do triângulo satisfaz: área ( ) = 1 = 1 1 =. 51. Mostre que o centro de gravidade G de um triângulo o divide em três triângulos G, G e G de mesma área.

5 5. alcule a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto (3,, 1) e uma diagonal de extremidades (1, 1, 1) e (0, 1, ). 53. etermine a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores u e v, sendo u = (, 1, 0) e v = (1, 3, ). 5. alcule x se, no triângulo, de área 9, = (x, 0, ) e = (1,, 1). 55. etermine um vetor não-nulo simultaneamente ortogonal a u + v e v u, sendo u = 3 i j k e v = i 3 k. 56. alcule a distância do ponto P ao plano π determinado pelos pontos, e nos seguintes casos: (a) P (0, 0, 6), (0, 0, 3), (0, 3, 0) e (6, 0, 0); (b) P = (1, 1, 1), (0, 0, ), (0,, 0) e (, 0, 0). 57. Se u v = 3 3, u = 3 e o ângulo entre u e v é de 60, determine v. 58. alcule o volume do tetraedro, se ( 1, 3, ), (0, 1, 1), (, 0, 1) e ( 1,, 0). 59. Mostre que os pontos (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1,, 1) e ( 1,, 1) são coplanares, mas não colineares. 60. Use o conceito de produto misto para verificar se são coplanares os pontos: (a) (1, 1, 1), (, 1, 3), (0,, ) e ( 1, 0, ). (b) (1, 0, ), ( 1, 0, 3), (,, 1) e ( 1,, ). 61. Mostre que os pontos (, 0, 1), (5, 1, 3), (3,, 5) e (, 1, 3) são vértices de um paralelogramo. 6. alcule o valor de m para que o paralelepípedo determinado por u = i j, v = 6 i + m j k e w = i + k tenha volume 10 (unidades de volume). 63. alcule m para que os vetores u = (, 1, 3), v = ( 1, 1, ) e w = (m + 1, m, 1) determinem um tetraedro de volume 1 (unidades de volume). Sugestão os vetores u =, v = e w = determinam um paralelepípedo que se decompõem em seis tetraedros de mesmo volume. 5

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