Geometria Analítica. Prof. M.Sc. Guilherme Schünemann

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1 Geometria Analítica Prof. M.Sc. Guilherme Schünemann

2 Ponto de partida Um ponto é a unidade básica de toda a geometria analítica. A partir dele, definem-se retas, segmentos, vetores, planos, etc. Reta definida por dois pontos..

3 Reta e segmento orientados

4 Tipos de segmentos Segmento nulo sua extremidade coincide com sua origem Segmento oposto se AB é um segmento orientado, o segmento BA é oposto de AB Segmentos equipolentes dois segmentos orientados são equipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento

5 Direção, sentido e comprimento Direção dois segmentos tem a mesma direção se suas retas suporte são paralelas Sentido diz respeito à orientação de um segmento. Dois segmentos podem ter a mesma direção mas não necessariamente o mesmo sentido! Comprimento número de unidades de comprimento associado a um segmento orientado. Este número descreve seu tamanho ou módulo

6 Propriedades da equipolência

7 Vetores Um vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados equipolentes, chamados representantes desse vetor.

8 Propriedades de vetores Um vetor é definido por seu módulo, direção e sentido

9 Propriedades de vetores Apenas u 1 é um versor de v Ex1 Se v = 5, qual seu versor?

10 Propriedades de vetores

11 Propriedades de vetores Podemos afirmar que dois vetores serão sempre coplanares?

12 Propriedades de vetores Exercício Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas

13 Propriedades de vetores Exercício Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas

14 Operações com vetores

15 Operações com vetores

16 Operações com vetores u v = v u?

17 Operações com vetores

18 Operações com vetores

19 Operações com vetores

20 Operações com vetores

21 Ângulos entre vetores

22 Ângulos entre vetores Ex4 Determine a direção e o sentido dos vetores (desenhe) u e v da figura nos seguintes casos: θ = 90º θ = π (180º) θ = 0º

23 Exercícios Exercícios para estudo: Steinbruch, Winterle. Geometria analítica: capítulo 1, problemas propostos 1 e 2 Winterle. Vetores e Geometria analítica: capítulo 1, problemas propostos 1, 2, 10 e 13

24 Decomposição de um vetor no plano Qualquer vetor x pode ser representado por outros dois vetores coplanares a ele, u e v Só existe uma dupla de números reais a 1 e a 2 tal que: x = a 1 v + a 2 u

25 Decomposição de um vetor no plano

26 Base ortonormal e base canônica v = a 1 v1 + a 2 v2 diz-se que v é uma combinação linear de v1 e v2 O conjunto B = {v1, v2} é denominado base do plano Se os vetores que formam uma base são ortogonais e unitários, essa base é chamada ortonormal

27 Base ortonormal e base canônica A base que determina o plano cartesiano, com vetores ortogonais unitários i e j, com origem em zero é chamada de base canônica i = 1,0 ; j = (0,1) Qualquer vetor pode ser escrito como: v = x i + y j

28 Base ortonormal e base canônica

29 Exemplo 1: quais os valores de x e y para que o vetor u = (x+1, 4) seja igual ao vetor v = (5, 2y-6)? Exemplo 2: Dados os mesmos vetores do exemplo anterior, determine: 3u+2v; -2u+v

30 Propriedades de vetores

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32 Quiz: como podemos representar o ponto médio de um vetor?

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34 Exercício: dados os pontos: P(1,2,4), Q(2,3,2), R(2,1,-1), determine as coordenadas do ponto S, tal que P, Q, R E S sejam vértices de um paralelogramo. Resposta: S(1,0,1) Exercícios para estudo: Steinbruch, Winterle, GA. Capítulo 2, problemas propostos: 2, 3, 10, 11

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45 Aplicações do produto vetorial O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial rotacional. É também utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial. O produto vetorial pode também ser utilizado para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica e do desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação e assim obter gráficos mais realistas.

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47 Exercícios para estudo: Steinbruch e Winterle, Geometria analítica. Capítulo 3, problemas propostos: 1, 7, 15, 16, 18, 34, 40 e 42

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