a1q1: Seja ABCDEF GH um cubo de aresta unitária de E 3 e considere o espaço V 3 orientado pela base { CD, CB, CH}. Então podemos afirmar que: a)

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1 1 a1q1: Seja ABCDEF GH um cubo de aresta unitária de E 3 e considere o espaço V 3 orientado pela base { CD, CB, CH}. Então podemos afirmar que: a) EB ED = GA b) EB ED = AG c) EB ED = EH d) EB ED = EA e) EB ED = EG a1q: Sejam B uma base ortonormal positiva de V 3, u = ( 3λ, λ, λ) B e v = (1, 0, 1)B. Se u forma um ângulo agudo com v e a área do paralelogramo determinado por u e v é, então o valor de λ é: a) - b) 3 c) d) - 3 e) 3 a1q3: Sejam u, v e w três vetores de V 3. Se x = ( w v ) u então: a) { x, u, v } é linearmente dependente. b) { x, w, u } é linearmente dependente. c) { x, w, v } é linearmente dependente. d) { x, w, v } é linearmente dependente se e somente se { u, v, w } é linearmente dependente. e) { v, w, u } é linearmente dependente.

2 a1q4: Considere as seguintes afirmações: (I) O volume do tetraedro ABCD é dado por V = 1 3 AB AC. AD. (II) Quaisquer que sejam A, B, C, D em E 3, temos que AB. CD + AC. DB + AD. BC = 0. (III) Seja ABC um triângulo de área 1. Então a distância de um ponto D de E 3 ao plano determinado por A, B e C é dada por 1 AB BC. CD. Podemos afirmar que: a) Apenas (I) e (II) são verdadeiras. b) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. c) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. d) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras. e) Apenas (I) é verdadeira. a1q5: Sejam a, b, c vetores de V 3. Considere as afirmações: (I) Se a não é o vetor nulo então a. a > 0. (II) Se a b = a c então { a, b, c } é linearmente dependente. (III) Se { a, b, c } é linearmente dependente então a b = a c. Temos que: a) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras. b) As afirmações (II) e (III) são falsas. c) As afirmações (I) e (III) são falsas. d) Somente (I) é verdadeira. e) Somente (III) é falsa.

3 3 a1q: Sejam B uma base ortonormal de V 3, a = (0, 1, 1) B, b = (0, 1, 0) B, c = (1, 1, 0) B. Seja u um vetor unitário tal que u. b > 0, u é ortogonal a c e a projeção ortogonal de u sobre o vetor a é (0, 1, 1 ) B. Então as coordenadas de u são: a) ( 3, 3, 1 3 ) B b) ( 3, 3, 1 3 ) B c) (0, 0, 1) B d) ( 1 3, 1 3, 1 3 ) B e) (0, 1, 0) B a1q7: Considere as seguintes afirmações: (I) Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa AC e cateto unitário AB, e seja X E 3 tal que AX AB = BC. Então existe λ IR tal que AX = AB BC + λab. (II) Sejam A e B pontos de E 3 com AB unitário, m IR e X E 3 tais que AX. AB = m. Então AX = u +mab, em que u AB. (III) Dados A, B e C pontos não-colineares de E 3, seja A a área do triângulo ABC. Então 1 AB BC = A. Podemos afirmar que: a) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras. b) Apenas (III) é verdadeira. c) Apenas (I) e (II) são verdadeiras. d) As afirmações (I), (II) e (III) são falsas. e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.

4 4 a1q8: Assinale a afirmativa falsa: a) Uma matriz mudança de base sempre tem determinante diferente de zero. b) Existem somente duas maneiras de orientar o espaço V 3. c) Os vetores u e v são linearmente dependentes se e somente se u. v = u v. d) Se o ângulo entre dois vetores é 180 o então eles são paralelos. e) Um vetor pode ser representado somente por um número finito de segmentos orientados. a1q9: Seja E = { e 1, e, e 3 } uma base ortonormal de V 3 e seja v V 3 tal que v e + e 3, v = e o ângulo entre v e e 1 é π 4. Denotando por α e β os ângulos que v faz com e e e 3, respectivamente, podemos afirmar que: a) α = β = π 3 ou α = β = π 3. b) α = π 3, β = π 3 ou α = π 3, β = π 3. c) α = π 3 d) α = π 3 e β = π 3. e β = π 3. e) α = π 3 e β = π 3.

5 5 a1q10: Sejam B uma base ortonormal positiva, a = (1, 0, 1) B, b = (1, 0, 0) B e c = (0, 1, 0) B. Seja E = { e 1, e, e 3 } uma base ortonormal negativa tal que: e1 é paralelo a a e tem o mesmo sentido de a ; e = β b +γ c (β, γ IR, γ > 0). Podemos afirmar que: a) E = {(, 0, ) B, (0, 1, 0) B, (, 0, ) B}. b) E = {(, 0, ) B, (0, 1, 0) B, (, 0, ) B}. c) E = {(, 0, ) B, (0, 1, 0) B, (, 0, ) B}. d) E = {(, 0, ) B, (0, 1, 0) B, (, 0, ) B}. e) E = {(, 0, ) B, (0, 1, 0) B, (, 0, ) B}. a1q11: Sejam B uma base ortonormal positiva, u = (1, 0, 1) B, v = (, 1, ) B, w = (0, α, α) B, e V o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Podemos afirmar que: a) V = 3 se e somente se α = 3. b) V = 3 se e somente se α = 3. c) V = 3 se e somente se α = 3 ou α = 3. d) V = 3 se e somente se α 3 e α 3. e) Não existe α IR tal que V = 3. a1q1: Dado o tetraedro OABC, sejam D o ponto médio de AC e M o ponto médio de BD. Denotando por E a base { OA, OB, OC} de V 3, temos que: a) BM = ( 1 4, 1, 1 4 ) E d) BM = (0, 1, 1 ) E b) BM = ( 1 4, 1, 1 4 ) E e) BM = ( 3 4, 1, 1 4 ) E c) BM = ( 3 4, 1, 1 4 ) E

6 a1q13: Sejam v e w dois vetores linearmente independentes de V 3. Seja u a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor w. Considere as afirmações: (I) w u. v = u v. w. (II) u. v = u. (III) v. w = u. w. Podemos afirmar que: a) As afirmações (I), (II) e (III) são verdadeiras. b) Apenas a afirmação (III) é a verdadeira. c) Apenas a afirmação (I) é a verdadeira. d) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. e) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. a1q14: Sejam B uma base ortonormal de V 3, a = (0, 1, 1) B, b = (0, 1, 0) B, c = (1, 1, 0) B. Seja v um vetor de norma 8, que forma um ângulo de 0 o com a e tal que { a, c, v } é linearmente dependente. Podemos afirmar que: a) v = (,, 0) B ou v = (, 0, )B b) v = (,, 0) B ou v = (, 0, )B c) v = (,, 0) B ou v = (, 0, )B d) v = (,, 0) B ou v = (, 0, )B e) v = (,, 0) B ou v = (,, 0)B a1q15: Sendo u e v vetores não-nulos de V 3 e θ o ângulo entre u e v, podemos afirmar que: a) u. v = u v cosθ, u v = u v senθ. b) u. v = u v senθ, u v = u v ( u. v ). c) u. v = u v cosθ, u v = u v + ( u. v ). d) u. v = u v cosθ, u v = u v ( u. v ). e) u v é paralelo a u e v.

7 7 a1q1: O sólido da figura é um prisma triangular reto; suas bases são triângulos equiláteros e suas faces laterais são quadrados de lado. Consideremos uma orientação de V 3 de modo que { CA, CB, CF } é uma base positiva. Sejam u = DE, v = DF, w = DC, i = afirmar que: v v, j = u v u v, k = i j. Podemos a) u v = 3 j, w = i + j, ( u v ). w = 4 3. b) { i, j, k } é uma base negativa. c) { i, j, k } não é uma base ortonormal. d) u v = 3 j, w = i j, ( u v ). w = 4 3. e) u v = 3 j, w = i j, ( u v ). w = 4 3. a1q17: Seja E = { i, j, k } uma base ortonormal positiva de V 3. Seja F = { u, v, w } outra base de V 3, com u = i + 3 k, v = 3 j, w = i + j + k. A afirmação falsa é: a) F é uma base positiva de V 3. b) F não é uma base ortonormal de V 3. c) {(0, 0, 1) E, (1, 0, 0) E, (0, 1, 0) E } é uma base ortonormal de V d) a matriz de mudança de base de E para F é e) a matriz de mudança de base de E para F tem determinante diferente de 0. a1q18: Seja E uma base ortonormal positiva de V 3. Considere os vetores AB = (1, 0, 1)E, AC = (, 1, 0) E e AD = (0, 1, 1)E. A altura h do tetraedro ABCD relativa ao vértice D é: a) h = d) h = 1 b) h = e) h = 3 c) h = 4 a1q19: Sejam B uma base ortonormal positiva, v = (1, 1, 0) B, w = (1, 1, 1) B e a = (1, 0, ) B. Se u é um vetor ortogonal a v e w, e u forma um ângulo obtuso com a, então podemos afirmar que:

8 8 a) u = ( λ, λ, λ) (λ IR, λ 0). b) u = ( λ, λ, λ) (λ IR, λ > 0). c) u = ( λ, λ, λ) (λ IR). d) u = ( λ, λ, λ) (λ IR, λ < 0). e) u = ( α, β, γ) (α, β, γ IR). a1q0: Dados os vetores a, b, c de V 3, a afirmação falsa é: a) ( a b + c ) ( a + b c ) = 0. b) Se { a, c } é linearmente independente e a. b 0 então ( a b ) c a ( b c ). c) Se a. b = a. c = 1 então o ângulo entre a e b coincide com o ângulo entre a e c e ambos valem π. d) a. b = a. c se e somente se a ( b c ). e) ( a b ) c é ortogonal a c.