Retas no Espaço. Laura Goulart. 28 de Agosto de 2018 UESB. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
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1 Retas no Espaço Laura Goulart UESB 28 de Agosto de 2018 Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
2 Equação Vetorial da Reta Um dos principais axiomas da Geometria Euclidiana diz que dois pontos distintos A e B determinam uma única reta r. Assim, para cada ponto P qualquer da reta temos que AP e AB são l.d. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
3 Equação Vetorial da Reta Um dos principais axiomas da Geometria Euclidiana diz que dois pontos distintos A e B determinam uma única reta r. Assim, para cada ponto P qualquer da reta temos que AP e AB são l.d. Logo, AP = t AB para algum t R. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
4 Equação Vetorial da Reta Um dos principais axiomas da Geometria Euclidiana diz que dois pontos distintos A e B determinam uma única reta r. Assim, para cada ponto P qualquer da reta temos que AP e AB são l.d. Logo, Portanto, AP = t AB para algum t R. P = A + t AB. (1) Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
5 Equação Vetorial da Reta Um dos principais axiomas da Geometria Euclidiana diz que dois pontos distintos A e B determinam uma única reta r. Assim, para cada ponto P qualquer da reta temos que AP e AB são l.d. Logo, Portanto, O vetor parâmetro. AP = t AB para algum t R. P = A + t AB. (1) AB é denominado vetor diretor da reta r e t é chamado de Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
6 Observações 1) O vetor diretor da equação 1 serve para xar a direção da reta enquanto que o ponto serve para xar a posição da reta no espaço. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
7 Observações 1) O vetor diretor da equação 1 serve para xar a direção da reta enquanto que o ponto serve para xar a posição da reta no espaço. 2) É fundamental para determinar a equação vetorial da reta conhecermos um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e o vetor diretor u = (a, b, c). Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
8 Observações 1) O vetor diretor da equação 1 serve para xar a direção da reta enquanto que o ponto serve para xar a posição da reta no espaço. 2) É fundamental para determinar a equação vetorial da reta conhecermos um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e o vetor diretor u = (a, b, c). 3) A equação 1 não é única, basta escolher um outro ponto da reta, como por exemplo o ponto B ao invés do ponto A. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
9 Exemplos 1) Ache a equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(3, 1, 1) e B(2, 1, 2). Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
10 Exemplos 1) Ache a equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(3, 1, 1) e B(2, 1, 2). 2) Verique se o ponto P( 1, 0, 2) pertence a reta X = ( 7, 3, 7) + t(2, 1, 3). Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
11 Equação Paramétrica da Reta A equação vetorial (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t (a, b, c) equivale ao sistema: Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
12 Equação Paramétrica da Reta A equação vetorial (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t (a, b, c) equivale ao sistema: x = x 0 + t a y = y 0 + t b z = z 0 + t c chamada de equação paramétrica da reta. (2) Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
13 Observação O parâmetro t da equação 2 pode ser interpretado como o instante de tempo, se o ponto P(x, y, z) descreve o movimento retilíneo uniforme de uma partícula com vetor velocidade u. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
14 Exemplos 1) Ache a equação paramétrica da reta que tem direção u r = ( 3, 1, 0) e passa pelo ponto P 0 (1, 1, 2). Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
15 Exemplos 1) Ache a equação paramétrica da reta que tem direção u r = ( 3, 1, 0) e passa pelo ponto P 0 (1, 1, 2). x = 1 t 2) Ache o vetor diretor e um ponto da reta r : y = 3 z = 2t. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
16 Exemplos 1) Ache a equação paramétrica da reta que tem direção u r = ( 3, 1, 0) e passa pelo ponto P 0 (1, 1, 2). 2) Ache o vetor diretor e um ponto da reta r : 3) Ache a equação vetorial da reta x = 2 + t y = 1 t z = 3 + 2t x = 1 t y = 3 z = 2t.. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
17 Equação Simétrica da Reta Se todas as componentes do vetor diretor da reta r são não nulas, podemos isolar o parâmetro t em cada equação de 2 e igualar os resultados obtendo o que chamamos de equação simétrica da reta dada por: Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
18 Equação Simétrica da Reta Se todas as componentes do vetor diretor da reta r são não nulas, podemos isolar o parâmetro t em cada equação de 2 e igualar os resultados obtendo o que chamamos de equação simétrica da reta dada por: x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c (3) Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
19 Exemplos 1) Ache a equação simétrica da reta que passa pelos pontos A( 1, 2, 0) e B(1, 1, 1). Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
20 Exemplos 1) Ache a equação simétrica da reta que passa pelos pontos A( 1, 2, 0) e B(1, 1, 1). 3) Ache as equações vetorial e paramétrica da reta r : x 1 2 = y = z. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
21 Posição relativa entre retas Duas retas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas e para estudar a posição relativa vamos dividir o nosso estudo nesses casos. Considere as retas r : P = A + t u r e s : P = B + h u s. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
![r e s são retas reversas(ou não coplanares) [ u r, u s, AB] 0](/docs-images/88/117474332/images/22-0.jpg "Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de 2018 11 /")
22 r e s são retas reversas(ou não coplanares) [ u r, u s, AB] 0 Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
23 Exemplo x = t Verique se r : P = (1, 2, 3) + t(0, 1, 3) e s : y = 1 + t z = t são reversas. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
24 r e s coplanares e paralelas u r e u s são ld. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
25 Exemplo x = h Verique se r : P = (1, 1, 1) + t(6, 8, 2) e s : y = h z = 3 + 6h paralelas. são Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
26 r e s coplanares e concorrentes u r e u s são li. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
27 Exemplo Verique se r : (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e s : x 2 = 3 y = z 2 são concorrentes. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
28 Observação Um ponto pode ser obtido a partir da intersecção de duas retas concorrentes. Note que a determinação das coordenadas do ponto ca condicionada à resolução de um sistema linear formado pelas equações das retas. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
29 Observação Um ponto pode ser obtido a partir da intersecção de duas retas concorrentes. Note que a determinação das coordenadas do ponto ca condicionada à resolução de um sistema linear formado pelas equações das retas. Exemplo Determine o ponto de intersecção das retas r : x 2 = y = z 1 x = 4 + h s : y = 2 h. z = 3 e Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
30 Ângulo entre retas Sejam r e s retas concorrentes que se interceptam formando quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
31 Ângulo entre retas Sejam r e s retas concorrentes que se interceptam formando quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice. O ângulo entre as retas é denido como sendo o menor destes ângulo. É claro que o ângulo agudo formado pela retas é o mesmo formado pelos vetores diretores delas. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
32 Ângulo entre retas Sejam r e s retas concorrentes que se interceptam formando quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice. O ângulo entre as retas é denido como sendo o menor destes ângulo. É claro que o ângulo agudo formado pela retas é o mesmo formado pelos vetores diretores delas. Logo, cos (r, s) = < u r, u s > u r u s com 0 (r, s) π 2. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
33 Se as retas r e s são reversas, existe uma reta s paralela a reta s interceptando a reta r em um ponto. O ângulo entre r e como sendo o ângulo entre r e s. s é denido Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
34 Se as retas r e s são reversas, existe uma reta s paralela a reta s interceptando a reta r em um ponto. O ângulo entre r e como sendo o ângulo entre r e s. s é denido Observação No caso em que as retas são paralelas diremos que o ângulo é nulo. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
35 Exemplo x = 1 + h Calcule o ângulo entre as retas r : P = t(1, 1, 1) e s : y = 2h z = 2 h. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
36 Distância entre ponto e reta Para entendermos melhor a distância no espaço, é necessário relembrarmos que dados A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) pontos no espaço, chama-se distância entre eles a norma do vetor AB. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
37 Distância entre ponto e reta Para entendermos melhor a distância no espaço, é necessário relembrarmos que dados A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) pontos no espaço, chama-se distância entre eles a norma do vetor AB. Portanto, d(a, B) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
38 Distância entre ponto e reta Para entendermos melhor a distância no espaço, é necessário relembrarmos que dados A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) pontos no espaço, chama-se distância entre eles a norma do vetor AB. Portanto, d(a, B) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. Dado um ponto P(x 1, y 1, z 1 ) e uma reta r : P 0 + t u, a distância entre P e r é o menor comprimento dos segmentos PR, onde R r. É claro que este mínimo é atingido quando o vetor PR é ortogonal ao vetor diretor da reta. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
39 PQ e u é justamente PQ u, onde a base mede u e a altura é a Lembremos que a área do paralelogramo determinado pelos vetores distância procurada. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
40 PQ e u é justamente PQ u, onde a base mede u e a altura é a Lembremos que a área do paralelogramo determinado pelos vetores distância procurada. Logo, d(p, r) = PQ u. u Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
41 PQ e u é justamente PQ u, onde a base mede u e a altura é a Lembremos que a área do paralelogramo determinado pelos vetores distância procurada. Logo, d(p, r) = PQ u. u Observe que este método independe da escolha do ponto da reta. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
42 Exemplo x = 2 + t Calcule a distância entre o ponto P(1, 1, 0) e r : y = 1 + 2t z = t. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
43 Distância entre retas A distância entre as retas r : R + t u r e s : S + t u s é denida como a menor distância entre os pontos das retas. E para determinar esta distância é necessário saber primeiro qual é a posição relativa delas. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
44 Distância entre retas - Retas paralelas Se as retas r e s são paralelas então d(r, s) = d(r, s) ou d(r, s) = d(r, S). Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
45 Exemplo Ache a distância entre as retas r : P = (1, 0, 2) + t(1, 1, 1) e s : x 1 = y + 2 = z 3. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
46 Distância entre retas - Retas reversas Os vetores RS, u r e u s por serem não coplanares, eles determinam um paralelepípedo cuja a altura é a distância d(r, s) que se quer calcular. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
47 Distância entre retas - Retas reversas Os vetores RS, u r e u s por serem não coplanares, eles determinam um paralelepípedo cuja a altura é a distância d(r, s) que se quer calcular. Lembremos que o volume do paralelepípedo é dado por área da base vezes altura. Observemos que no paralelepípedo em questão a área da base é dada por u r u s. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
48 Por outro lado, como já foi visto, a área do paralelepípedo é dada por [ RS, u r, u s ]. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
49 Por outro lado, como já foi visto, a área do paralelepípedo é dada por [ RS, u r, u s ]. Portanto, d(r, s) = [ RS, u r, u s ] u r. u s Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
50 Exemplo Ache a distância entre as retas r : P = (1, 1, 1) + t( 1, 2, 1) e s : P = (1, 1, 3) + h(2, 1, 3). Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
51 Observação Se as retas são concorrentes diremos que a distância entre elas é nula. Laura Goulart (UESB) Retas no Espaço 28 de Agosto de / 30
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