Definição. Geometria plana

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Kléber Valgueiro Camelo
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1 Geometria analítica

Definição A palavra geometria vem do grego geometrien onde geo significa terra e metrien medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição de terras.

2 Definição A palavra geometria vem do grego geometrien onde geo significa terra e metrien medida. Geometria foi, em sua origem, a ciência de medição de terras. O historiador grego Heródoto (500 a.c.) atribuiu aos egípcios o início da geometria, mas outras civilizações antigas (babilônios, hindus, chineses) também possuíam muitas informações geométricas.

3 Definição Geometria plana A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano.

4 Definição Geometria espacial Ramo da geometria que estuda a medida do espaço ocupado por um sólido. Cálculo dos volumes de um cubo, prisma, pirâmide, cone, cilindro, esfera e de um paralelepípedo.

5 Definição Axioma O termo axioma é originado da palavra grega αξιωμα (axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou adequado, ou que tem um significado evidente. Entre os filósofos dos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade de prova. Exemplos: 1 - Dados quaisquer dois pontos distintos, A e B, existe uma única reta que os contém

6 Definição 2 Em cada reta existem ao menos dois pontos distintos 3 - Dois segmentos são congruentes (iguais) se eles têm a mesma medida. 4 - Dois ângulos são congruentes (iguais) se eles têm a mesma medida. Observação. Usamos o termo congruentes, e não iguais, para distinguir do termo igual, que significa, matematicamente, o mesmo objeto matemático.

7 Definição Alguns símbolos usados em geometria A, B, C,... ponto r, s, t,... reta AÔB, DÔE,... Ô ângulo do vértice O ou medida de ângulo

8 Definição AB,... segmento de extremidade A e B, ou reta que passa por A,B Δ ABC triângulo de vértices A,B,C AB CD segmento AB congruente ao segmento CD

9 VETORES

10 Grandezas físicas Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. Deste modo, grandezas físicas são as que podem ser medidas. São divididas em dois grupos: escalares e vetoriais.

11 Vetores e Escalares Um vetor possui módulo assim como direção e sentido. Uma grandeza vetorial possui tanto módulo (valor numérico) quando direção e sentido, portanto, pode ser representado por um vetor. Exemplo: deslocamento, velocidade e aceleração. Nem toda grandeza física envolve uma direção e/ou um sentido. Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Que são grandezas que só possuem um valor e uma unidade: Exemplo: temperatura, massa, tempo.

12 Representação de um vetor É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas. Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta) Tem uma direção (plano em que se analisa) E um sentido. (Que é pra onde a flecha está apontando). Sentido Módulo Direção da Reta Suporte Exemplo:

13 Representação de uma Grandeza Vetorial As grandezas vetoriais são representadas da seguinte forma: a letra que representa a grandeza, e uma a flechinha sobre a letra. Da seguinte forma... N v B d A M O F P

14 Comparação entre vetores Vetores iguais a b r s Mesmo Módulo Mesma Direção Mesmo Sentido a = b O vetor a é igual ao vetor b.

15 Comparação entre vetores Vetores Opostos a b c r s t Sobre os vetores b e c podemos afirmar: Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos opostos. a = b = c O vetor c é oposto aos vetores a e b.

16 Vetores Observações a) Quando escrevemos: v = AB, estamos dizendo que um vetor v é determinado pelo segmento orientado AB. Exemplo: v = AB b) Quando dois vetores são paralelos, indicamos por u//v. Exemplo: a//b

17 Vetores c) Dois vetores u e v são iguais, e indica-se por u = v, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido; Observe: u v u v u v u = v Sentidos opostos Módulos diferentes Direções e sentidos diferentes d) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por 0 ou AA (a origem coincide com a extremidade). Por não possuir direção e sentidos definidos, considera-se paralelo a qualquer vetor A Vetor: 0 ou AA Módulo, direção e sentido iguais.

18 Vetores e) A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto v, de mesmo módulo e mesma direção de v, porém, de sentido contrário. Se v = AB, o vetor BAé o oposto de AB, isto é, AB = AB = BA. v = AB= BA

19 Vetores f) - O vetor u é unitário se u = 1. - A cada vetor v, com v 0, é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de v u e u. Na figura, vemos v = 6 e u = u = 1 - O vetor u unitário que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v.

20 Vetores g) Quando dois vetores u e v são ortogonais, e indica-se por u v. u v i) Dois vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados

21 Exercícios 1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruente. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. A B C D L M N E K P O F J I H G

22 Exercícios 2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações H G E F D C A B

23 Soma vetorial Considere os vetores u e v cuja soma u + v pretendemos encontrar. Tomando um ponto A qualquer e, com origem nele, tracemos um segmento orientado AB representante do vetor u. Utilizemos a extremidade B para traçar o segmento orientado BC representante de v. C A v u O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o vetor soma de u e v, isto é: B u + v = AC ou AB + BC = AC

24 Soma vetorial Sendo u //v, a maneira de se obter o vetor u + v é a mesma, como mostra a figura abaixo: u u + v v u e v de mesmo sentido u + v u v u e v de sentidos contrários

25 Soma vetorial Há duas regras para realização da soma vetorial: Regra do paralelogramo; Regra do polígono.

26 Soma vetorial regra do paralelogramo a + b = a S b Neste caso os vetores são transpostos de forma a fecharem um paralelogramo, esta regra é eficaz somente com dois vetores. OBS: Paralelogramo porque traça-se uma reta paralela saindo da origem do outro seguimento

27 Soma vetorial regra do polígono b a b + = a S Nesta regra o vetor posterior sai da extremidade do primeiro

28 Soma vetorial regra do polígono Exemplo: Dado os vetores u, v, w e t, determine: u v w t a) v + u + w B u C v w A v + u + w D

29 Soma vetorial regra do polígono b) v + u + w + t B u C v w A t D E

30 Soma vetorial Propriedades Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades: i. Comutativa: u + v = v + u ii. Associativa: u + v + w = u + (v + w) iii. Elemento neutro: u + 0 = u iv. Elemento oposto: u + ( u) = 0

31 Soma vetorial O vetor u + ( v), escreve-se u v. Exemplo: Considerando os vetores do exercício anterior, determine: a) v + u B u C v b) v u A C v u u B v A

32 Exercícios 3) Com base na Figura abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

33 Exercícios 4) Com base na figura abaixo, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

34 Exercícios 5) Dado dois vetores u e v não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores u + v, u v, v u e u v, todos com origem em um mesmo ponto. v u u v

35 Componentes de vetores Uma técnica mais organizada para somar vetores envolve álgebra, mas exigem que vetores sejam colocados em sistema de coordenadas. Um componente de um vetor é a projeção do mesmo sobre o eixo. y a y a θ a x x a x =componente de a na coordenada x a y =componente de a na coordenada y Este processo é chamado de decomposição de vetores. Portanto: sin θ = a y a cos θ = a x a tan θ = a y a x

36 Módulo de um vetor Considere o vetor no plano cartesiano: y(m) 4 v 3 x(m) O módulo do vetor v, pode ser encontrado através de uma simples relação trigonométrica, conhecida como teorema de Pitágoras. Fazendo: a² = b² + c² v 2 = 3² + 4² v = v = 5m Podemos então dizer que, para encontrarmos o módulo de um vetor basta elevarmos seus componentes ao quadrado, soma-los e logo tirar a raiz: v = v² x + v² y

37 Observações a. Se todos os vetores são paralelos e não-nulos, proporcionais a v podemos ordena-los na mesma reta Por outro lado, supondo u//v, com v 0, sempre existe um número real tal que u = v Por exemplo, na figura abaixo, onde DC está dividido em cinco segmentos congruentes (de mesmo comprimento), em relação ao vetor AB ( AB = 2), tem-se BD = 2 AB AB = 3 2 AB CD = 5 2 AB

38 Observações b. Sabemos que cada vetor v, v 0, é possível associar dois vetores unitários paralelos a v. u u v O vetor unitário a v v ou v v de mesmo sentido de v é versor de v. Exemplo: - Se v = 5, o versor de v é v 5 ; - Se v = 1, o versor de v é 3v ; 3 - Se v = 10, o versor de v é v 10.

39 Exemplo Exemplo:

40 VETORES UNITÁRIOS

41 Vetores Unitários Um vetor unitário é um vetor que possui módulo igual a 1. Sua única função é especificar uma direção e um sentido, ou seja, ele não possui dimensão e nem unidade. São representados da seguinte maneira: a = a x i + a y j + a z k

42 Vetores Unitários Podemos expressar qualquer vetor deste sistema de coordenadas. Por exemplo a e b abaixo: a = a x i + a y j b = b x i + b y j + b z k Este sistema é chamado de sistema de coordenadas dextrogiro; a x e a y são chamados de componentes escalares (ou como dito antes, simplesmente componentes); a x i e a y j são vetores, chamados componentes vetoriais de a. Exemplo:

43 Somando os vetores componente a componente Dado os vetores a e b, calcule soma: R = a + b a = a x i + a y j + a z k b = b x i + b y j + b z k R = R x i + R y j + R z k Sendo: R x = a x i + b x i R y = a y j + b y j R z = a z k + b z k Se calcularmos a diferença, teremos: R = a b R = a x b x i + a y b y j + a z b z k

44 Exercício Dado os vetores realize a soma e faça um gráfico contendo cada um e a resultante: a = 4,2 i 1,5 j b = 1,6 i + 2,9 j c = 3,7 i

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