Åaxwell Mariano de Barros

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1 Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Å Ö Ò Ó ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹ ¼½ ÐÙÐÓ Î ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ËÓ ÄÙ ¹ ÅA ¾¼½½

2 ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço Reta Orientada Álgebra de Vetores Soma de Vetores Produto de Número Real por Vetores Soma de Pontos com Vetores Exercícios Referências Bibliográficas 11

3 ÆÇÌ Ë ÍÄ ¹ ¼½ ÐÙÐÓ Î ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Î ØÓÖ ÒÓ Ô Ó Ë Ç ½º½ Ê Ø ÇÖ ÒØ Seja r uma reta no espaço. Iremos dizer que r está orientada se nela escolhermos um sentido de percurso, que chamaremos de positivo. O sentido contrário ao escolhido é chamado de negativo. Se A e B são dois pontos de r, dizemos que A está à esquerda de B (ou B está à direita de A) se o sentido de percuso de A para B é o positivo. A B Sejam r uma reta orientada, A e B pontos de r. A união do conjunto formado pelos pontos A e B com o conjunto dos pontos de r que estão entre eles é chamado de um segmento de reta orientado, com extremos A e B. Se A está à esquerda de B, dizemos que A é a origem do segmento e B seu extremo. Um segmento com origem no ponto A e extremo no pontob será denotado por[a,b]. SeA=B, dizemos que[a,b] é o segmento nulo. Obsserve que se A B, então[a,b] [B,A]. Sejam [A,B] e [C,D] dois segmentos orientados no espaço. Dizemos que:

4 Vetores no Espaço 3 1. [A,B] e[c,d] são colineares se são segmentos contidos em uma mesma reta; 2. Se[A,B] e[c,d] não são segmentos nulos, então[a,b] e[c,d] tem a mesma direção ou são paralelos se são colineares ou estão contidos em retas paralelas; 3. [A,B] e [C,D] têm o mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais. Sejam[A,B] e[c,d] segmentos orientados paralelos. Suponha que[a,b] e[c,d] estão em retas paralelas distintas. Neste caso, iremos dizer que eles têm o mesmo sentido se os segmentos geométricos AC e BD tem interseção vazia. Caso contrário, dizemos que [A, B] e[b, C] possuem sentidos contrários (ver figura abaixo). D C B B A A C Mesmo sentido D Sentido Contrário Suponha que [A,B] e [C,D] são paralelos e colineares e seja r a reta que contém [A,B] e [C,D]. Para sabermos se [A,B] e [C,D] têm mesmo sentido ou sentidos contrários, procedemos da seguinte maneira: escolhemos uma reta s paralela a reta r e tomamos [E,F] tal que tenha a mesmo sentido de [C,D], como definido anteriormente. Se [A,B] e [E,F] têm o mesmo sentido (respectivamente, sentidos contrários), dizemos que [A, B] e [C, D] têm o mesmo sentido (respectivamente, sentidos contrários). Dois segmentos orientados [A, B] e [C, D] são ditos equipolentes se [A, B] e [C, D] têm a mesma direção, mesmo comprimento e mesmo sentido. Usaremos a notação [A,B] [C,D] para indicar que [A,B] e [C,D] são segmentos orientados, equipolentes. Observação Note que, dado um segmento orientado [A,B] e um ponto C no espaço, podemos construir um segmento orientado[c,d] tal que [A,B] [C,D]. De fato, ser é a reta tal que

5 Vetores no Espaço 4 [A,B] r, tomamos a reta s que passa por C, paralela a retar. Em s, escolhemos um ponto D tal que [A,B] e [C,D] têm mesmo comprimento e mesmo sentido. Proposição Sejam [A, B],[C, D] e [E, F] segmentos orientados. Vale as seguintes propriedades: 1. [A,B] [A,B]. 2. Se [A,B] [C,D] então [C,D] [A,B]. 3. Se [A,B] [C,D] e [C,D] [E,F], então [A,B] [E,F]. Seja[A, B] um segmento orientado. O conjunto formado por todos os segmentos orientados que são equipolentes a [A,B] é chamado de classe de equipolencia de [A,B]. Neste caso, dizemos que o seguimento [A,B] é um representante da classe. Observação Se C AB é a classe de equipolencia do segmento [A,B], segue do item 1 da proposição que o segmento[a,b] pertence ac AB. 2. Sejam C AB é a classe de equipolencia do segmento [A,B] e C CD é a classe de equipolencia do segmento [C,D]. Se [A,B] [C,D], ou seja, se [C,D] C AB, então, pelo item 2 da proposição 1.1.1, temos que [A,B] C CD. Além disso, se [E,F] C AB, pelo item 3 da proposição 1.1.1, temos que [E,F] C CD e se [E,F] C CD, então [E,F] C AB. Portanto, temos que, se [A,B] [C,D] então a classe de equipolencia de AB é igual a classe de equipolencia de [C,D]. Isso sgnifica que, qualquer elemento de C AB é um representante da classe de equipolencia de [A,B] Uma classe de equipolencia de um segmento orientado [A,B], o seja, o conjunto C AB, será chamado de um VETOR. Usaremos a notação AB para indicar o vetor cujo representante é o segmento orientado [A,B]. Quando não quisermos nos referir a um dos representantes, representaremos um vetor, usando letras latinas minúscula com uma seta, como por exemplo, v, u, etc. O conjunto de todos os vetores no espaço será denotado porv 3. Com consequência da observação 1.1.1, temos o seguinte resultado:

6 Vetores no Espaço 5 Proposição Dados um vetor qualquer v e um ponto A arbitariamente, existe um único segmento orientado [A,B] que representa o vetor v, isto é, se [A,C] é outro representante de v, entãoc = B. Ë Ç ½º¾ ýð Ö Î ØÓÖ Chamaremos de vetor nulo, e representaremos por 0, a classe de equivalencia do segmento nulo. Se[A,B] é um representante de um vetor v, chamaremos de vetor oposto de v ao vetor cujo representante é o segmento[b,a]. O oposto do vetor v será indicado por v, ou seja AB = BA. Sejam v e u dois vetores. 1. Dizemos que v e u são paralelos se um representante de v é paralelo a um (e portanto a todos) represetante de u. 2. Se v e u são não nulos e paralelos, dizemos que eles têm o mesmo sentido se um representante de v tem o mesmo sentido de um representante de u. Dizemos que v e u tem sentidos contrários se um representante de v e um representante de u tem sentidos contrários. Por convenção, iremos dizer que o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. Dado um vetor v, a norma (módulo ou comprimento) de v é o comprimento de um dos seus representantes, e será indicada por v. Se v =1, dizemos que v é um vetor unitário. Como consequência das definições anteriores, temos que v = u se, e somente se, v e u possuem a mesma direção, mesmo sentido e mesma norma. ½º¾º½ ËÓÑ Î ØÓÖ Em V 3, definimos uma operação, chamada de adição, que a cada par de vetores v e u associa um outro vetor, denotado por v + u, chamado soma de v com v da seguinte maneira:

7 Vetores no Espaço 6 Escolha um representante qualquer de v, digamos [A,B] ( v = AB) Escolha um representante de u que tenha origem no pontob, digamos[b,c] ( u = BC) O vetor v + u será o que tem [A,C] com representante, ou seja, AB + BC = AC. u = BC = DC v = AB = DC v u v B u v C v + u = u + v = AC A u D Observe que a soma u + v independe da escolha do representante [A,B] do vetor u. De fato, se escolhermos um outro representante de u, digamos [ Ã, B] e portanto, outro representante de v, [ B, C], teriamos [A,B] [Ã, B] e [B,C] [ B, C] e portanto, [A,C] [Ã, C]. A soma de u com o oposto de v é chamada de diferença entre u e v e é indicada por u v, isto é, u v = u +( v ). Proposição Se u, v e w são vetores quaisquer, então valem as seguintes propriedades: 1. ( u + v )+ w = u +( v + w). 2. u + v = v + u. 3. u + 0 = 0 + u = u. 4. u +( u) = 0. Além disso, o oposto de u é o único vetor que satisfaz essa relação. Demonstração. Sejam u = AB, v = BC e w = CD. Então, 1. Então, ( u + v )+ w =( AB + BC)+ CD = AC + CD = AD e u +( v + w) = AB+( BC + CD) = AB+ BD = AD, o que prova que ( u + v )+ w = u +( v + w).

8 Vetores no Espaço 7 2. Temos que u + v = AB+ BC = AC. Por outro lado, podemos escolher [A,E] [B,C] e [E,C] [A,B]. Logo v = AE e de u = EC e portanto, v + u = AE+ EC = AC. 3. Note que 0 = BB. Assim u + 0 = AB + BB = AB = u. De maneira análoga, prova-se que 0 + u = u. 4. Como u = AB, então u = BA. Assim sendo temos u +( u)= AB + BA= AA= 0. Suponha agora que v é tal u + v = 0. Então, u + v = u +( u). Portanto, somando u e usando o item 1, teremos: ( u + u)+ v = ( u + u)+( u) (1.2.1) Agora, usando o fato de u + u = 0 e que 0 + u = u, segue de (1.2.1) que v = u, o que prova a unicidade do oposto. ½º¾º¾ ÈÖÓ ÙØÓ Æ Ñ ÖÓ Ê Ð ÔÓÖ Î ØÓÖ Iremos definir agora uma operação, chamada de multiplicação de número real por vetores que, para cada número real α e cada vetor u, associa um vetor, denotado por α u, chamado produto de α por u, da seguinte maneira: Se α = 0 ou u = 0, entãoα u = 0. Se α 0 ou u 0, então: 1. α u é paralelo a u 2. Se α > 0, α u tem o mesmo sentido de u e se α < 0, α u tem sentido contrário ao de u.

9 Vetores no Espaço 8 3. α u = α u, onde α indica o valor absoluto deα. v u 2 u 2 u 3 v 5 v É comum chamar os números reais de escalar. Assim sendo, a multiplicação de número real por vetores também é chamada de multiplicação de escalar por vetores. As seguintes propriedades são verdadeiras: Proposição Sejam u e v vetores. Dadosαeβ números reais, valem as seguintes iguadades: 1. α( u + v ) = α u +α u. 2. (α+β) u = α u +β u u = u. 4. α(β u) = (αβ) u =β(β u). Proposição Sejam u e v vetores não nulos. Suponha que existe um número realαtal que u = α v. Então α = u v. Proposição Sejam u e v vetores não nulos. Então u e v são paralelos se, e somente se, existe um número real α tal que u = α v. Demonstração. Por definição, se u = α v para algum α, então u e v são paralelos. Suponha agora que u e v são paralelos. Inialmente vamos considerar que os vetores u e v têm o mesmo sentido. Seja α = u v. Vamos mostrar que u = α v. Como α > 0, α v e v são paralelos e têm o mesmo sentido. Como, por hipótese, u e v, são paralelos e mesmo sentido, segue que u eα v são paralelos e têm o mesmo sentido. Por outro lado α v = α v = u v v = u,

10 Vetores no Espaço 9 ou seja, u e α v são paralelos, têm o mesmo sentido e mesmo comprimento, isto é, u = α v. No caso em que u e v são paralelos e sentido contrários, tomamos α = u v. Os detalhes da prova, para esse caso, fica como exercício. ½º¾º ËÓÑ ÈÓÒØÓ ÓÑ Î ØÓÖ Dado um ponto A e um vetor u, definimos a soma de A com u, e denotamos por A+ u, como sendo o ponto B, tal que AB = u. Assim, A+ u = B se, e somente se, [A,B] é um representante de u com origem no ponto A. Como no caso de soma de vetores, usaremos a notação A u para indicar a soma de A com o oposto de u, isto é, A u = A+( u). Proposição Sejam u, v vetores e P 1,P 2 pontos. Então, 1. (P 1 + u)+ v = P 1 +( u + v ). 2. Se P 1 = u = P 1 + v, então u = v. 3. Se P 1 + u = P 2 + u, então P 1 = P (P 1 u)+ u = P 1. Demonstração. 1. Sejam A=P 1 + u eb =A+ v. Então, por definição, u = P 1 A e v = AB. Logo, (P 1 + u)+ v =A+ AB = B e P 1 +( u + v ) = P 1 + P 1 B = B. 2. Seja A = P 1 + u. Então, por hipótese, A = P 1 + u = P 1 + v. Logo, por definição, u = P1 A= v. 3. Se P 1 + u = P 2 + u então, pelo item 1. temos que (P 1 + u) v = (P 2 + u) v P 1 +( u v ) = P 2 +( u v ) P = P P 1 = P 2

11 Vetores no Espaço 10 A prova desse item é deixada como exercício. ½º¾º Ü Ö Ó 1. Prove a proposição Prove a proposição Prove o itém 3 da proposição Prove que as diagonais de um paralelograma têm o mesmo ponto médio. 5. Seja α um número real não nulo. Se u e v são vetores tais que u =α v, prove que v = 1 α u. 6. Seja α um número real e u um vetor. Prove que vale as seguintes regras de sinais: (a) ( α) u = (α u). (b) α( u)= (α u). (c) ( α)( u) = α u 7. Sejam P um ponto, u e v vetores. Prove que(p u)+ v = P ( u v ). 8. No triângulo ABC sejam P 1, P 2 e P 3 os pontos médios dos lados AB, BC e CA respectivamente (ver figura abaixo). Escreva BP 3, AP 2 e CP 1 em função dos vetores CA e CB. C A P 3 P 1 P 2 B

12 Ê Ö Ò Ð Ó Ö [1] Camargo, I. de. e Boulos, P., Geometria Analítica: um tratamento vetorial, São Paulo, Prentice Hall, [2] Lima, E.L., Coordenadas no Plano, Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, SBM, [3] Lima, E.L., Coordenadas no Espaço, Rio de Janeiro, SBM, [4] Reis, G.L. dos. e outros, Geometria Analítica, 2.ed.,Rio de Janeiro, LTC, [5] Santos, N.M. dos., Vetores e matrizes, Rio de Janeiro, LTC,1979.