Geometria Analítica. Geometria Analítica Geometria É importante compreender a geometria, para dar resposta a questões como: 15/08/2012

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1 Prof. Luiz Antonio do Nascimento Geometria A Geometria é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades do espaço. Palavra vem do grego: geo- "terra", -metria "medida". Geometria É importante compreender a geometria, para dar resposta a questões como: Que forma tem? De que tamanho é? Caberá? Principais estudiosos: Arquimedes π Pitágoras Teorema de Pitágoras Euclides Os elementos René Descartes 1

2 Geometria A geometria surgiu em várias culturas antigas como um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume. A matemática e a geometria surgiram de necessidades econômicas de contabilizar diversos tipos de objetos e de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais. Em relação à dimensão (2D ou 3D) Plana Figuras planas (quadrado, circulo e triangulo,...), cálculo perímetros e áreas Espacial Figuras sólidas (cubo, esfera e pirâmide,...), cálculo de volume Em relação a abrangência Euclidiana Geometria clássica. Duas retas paralelas são retas que se estendidas nunca se cruzam no infinito e não estão sobrepostas Não Euclidiana Retas que se estendidas podem se cruzar no infinito ou espaço em que não existem retas paralelas (geometria hiperbólica, elíptica e fractal). Em relação a abordagem Descritiva Representação de figuras espaciais (3D) no plano (2D). Analítica Cálculos geométricos utilizando a álgebra (ramo da matemática com cálculo de expressões que utilizam letras para representar incógnitas. A outra abordagem é a aritmética que é o estudo das regras de cálculo apenas com números) Solução de problemas com a Problema 1 2

3 Solução de problemas com a Problema da Quadratura de um Circulo: Dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Da para resolver apenas com Desenho Geométrico (régua e compasso)? Solução de problemas com a Problema da Quadratura de um Circulo: Dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Da para resolver apenas com Desenho Geométrico (régua e compasso)? Não. Resolve-se facilmente com operações algébricas. A área de um circulo é π.r 2. A área de um quadrado de lado x é x 2. Assim, tem-se que, x² = π. R², logo x=r π Solução de problemas com a Problema 2 3

4 Solução de problemas com a Problema da duplicação de um cubo ou problema de Delliano: Em 439 a.c um oráculo de Apollo em Atenas profetizou que a peste da população na época só poderia ser eliminada se duplicassem o altar de Apollo que tinha 1m 3. Os atenienses dobraram as medidas das arestas do cubo. A peste aumentou. A solução estava correta? Solução de problemas com a Problema da duplicação de um cubo ou problema de Delliano: A solução estava correta? Não, pois: m 3 m 3 a 3 = a = 2 1,26 A volume de um cubo com aresta a é a³. Assim, tem-se que, duplicar o volume de lado 3 x é a³=2.x³, logo a=x 2 Euclidiana (geometria clássica) Em torno de 306 a.c Euclides de Alexandria reuniu na obra Elementos todos os conhecimentos de geometria (texto matemático de maior sucesso de todos os tempos). Em Os Elementos Ponto, Reta e Plano são noções primitivas (descrições sem definições). Os objetos geométricos são relacionados por meio definições e axiomas (verdades que não se precisa demonstrar). 4

5 Euclidiana (geometria clássica) Algumas descrições geométricas de Os Elementos: Ponto o que não tem partes. Linha comprimento sem espessura. Reta linha que descansa por igual em todos os seus pontos. Retas paralelas complanas (mesmo plano) e que não se intersectam. Solução de problemas com a Geometria Não Euclidiana Problema 3 Exemplo de Geometria Não Euclidiana Deslocamento de um urso. Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10 Km para Sul, 10 Km para Leste e 10 Km para Norte, voltando assim ao ponto de partida. Aí encontrou um Urso. Qual a Cor do Urso? 5

6 Exemplo de Geometria Não Euclidiana Resolução do deslocamento de um urso. À primeira vista, podemos pensar que o problema não tem solução e, portanto, o caçador não voltaria ao ponto de partida, como mostra o seguinte esquema: Exemplo de Geometria Não Euclidiana Resolução do deslocamento de um urso. No entanto, não nos podemos esquecer de que a Terra não é uma superfície plana, mas curva. Exemplo de Geometria Não Euclidiana Resolução do deslocamento de um urso. Assim a solução está à vista: Andando 10 Km segundo aquelas 3 direções perpendiculares, o caçador só voltará ao ponto de partida se iniciar a sua caminhada no Polo Norte. 6

7 Exemplo de Geometria Não Euclidiana Resolução do deslocamento de um urso. No Polo Norte, só pode ser um Urso Polar Branco. A dificuldade em solucionar este problema passa pelo fato de pensarmos na Geometria sobre um plano (Geometria Euclidiana). Desde o século passado, com o aparecimento da Geometria Não Euclidiana, surge uma nova solução para este problema pois a Terra possui círculos concêntricos com dois polos (sul e norte). Não existem ursos no Polo Sul. Elementos que não precisam de definição para serem aceitos (ponto, reta e plano). Ponto Localização de algo no espaço. O ponto não tem dimensão. A B C Toda figura geométrica é formada por um conjunto de pontos. O ponto geométrico é representado pela interseção de duas pequenas linhas ou um ponto. Indicado por letra maiúscula latina. Reta A reta é formada por um conjunto de pontos que se sucedem uns aos outros em sequência infinita. A reta não tem inicio e nem fim. As setas nas extremidades da representação da reta indicam que a reta continua indefinidamente nos dois sentidos. Indicado por letra minúscula latina. 7

8 Reta Podem ser: Reta Elementos derivados de uma reta: Semi-reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e é ilimitada em apenas um sentido. Segmento de reta: é a parte de uma reta que possui um ponto de origem e um de fim que são as suas extremidades. Representada por seus pontos. Reta Posições de duas ou mais retas: Retas Paralelas: duas ou mais retas que mantêm entre si uma distância constante. Retas Perpendiculares: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo de Retas Oblíquas: duas ou mais retas que fazem entre si um ângulo inferior a

9 Reta - Posições de duas ou mais retas: Retas Coplanares - As retas a, b e c pertencem ao mesmo plano (face do paralelepípedo). Retas Concorrentes - As retas a e b têm um ponto comum A. Retas Enviesadas - As retas d e c não se encontram e têm direções diferentes. Reta Posições de dois ou mais segmentos: Segmentos Consecutivos: dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro. Segmentos Colineares: dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta. Reta Posições de dois ou mais segmentos: Segmentos Congruentes: segmentos que têm as mesmas medidas. "~" é o símbolo de congruência. Segmentos Adjacentes: dois segmentos (consecutivos e colineares) são adjacentes, se possuem em comum uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum. 9

10 Reta Posições de pontos em uma reta: Pontos Colineares: pontos que pertencem a uma mesma reta. Plano Qualquer superfície plana. Plano é a superfície sobre a qual um objeto pode ser completamente representado. Pode ser identificado por letras gregas do alfabeto como por exemplo α (alfa), β (beta) e γ (gama). DEFINIÇÃO Agrupamento de números com características semelhantes. Números Naturais (N) É o conjunto dos números usados para contar N = {0,1,2,3,...}. Subconjunto dos Números Naturais Não Nulos N* = {1,2,3,...}. Números Inteiros (Z) É o conjunto dos Números Naturais mais os seus representantes negativos Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Subconjunto dos Números Inteiros Não Nulos Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}. Subconjuntos dos Números Inteiros Não Negativos Z + = {0,1,2,3,...}. Subconjuntos dos Números Inteiros Não Positivos Z - = {...,-3,-2,-1,0}. Subconjuntos dos Números Inteiros Não nulos Não Negativos Z* + = {1,2,...}. Subconjuntos dos Números Inteiros Não Nulos Não Positivos Z* - = {...,-2,-1}. 10

11 Números Racionais (Q) O conjunto dos números fracionários, que têm o numerador e denominador pertencente aos Números Inteiros Não Nulos. Exemplos de Q = -2, 1 2, 2, 2 8 Um número racional pode ter sua representação decimal como por exemplo 1 2 =0,5 e -5 4 = 1,25 Um número racional pode ter sua representação decimal como dizima infinita periódica como por exemplo 1 3 =0, e -6 7 = 0, Toda dízima exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. Números Irracionais (I) Os números irracionais são dízimas infinitas não periódicas (números que não podem ser escrito na forma de fração). Exemplos de I = 2 = 1,41421 e π = 3,14159 Números Reais (R) É o conjunto dos Números Racionais mais os Números Irracionais. Exemplos de R = 1 2, 2 e π. 11

12 Resolva a equação do 2º grau: x² -4x + 5 = 0 Resolva a equação do 2º grau: x² -4x + 5 = 0 Usar Bhaskara a = 1, b = 4, c = 5 x = b± 2a = b 2 4ac = Δ = = -4 Nenhuma raiz no Conjunto dos Números Reais. Números Imaginários (i) Conjunto de todas as raízes de números negativos. Uma unidade imaginária representa a raiz quadrada de um número negativo. 1 = i assim i 2 = 1. Assim tornou possível representar qualquer raiz quadrada de um número negativo. Exemplo: 81 = 81. ( 1) = = 9i Números Complexos (C) É o conjunto dos Números Reais mais os Números Imaginários. Assim tornou possível somar um Número Real com um Número Imaginário. Exemplo de C = 2 + 3i. 12

13 C Complexos I Imaginário Resolva a equação do 2º grau: x² -4x + 5 = 0 x = b± 2a = = 4 Nenhuma raiz no Conjunto dos Números Reais. -4 é 4.-1, e -1 = i, logo, = 4. i = 2i x = b± 2a x = 4+2i 2 x = 4 2i 2 V = {2+ i ; 2- i } = = ( 4)±2i = 4 + 2i = i = 4 2 2i = 2 i 2 2 = 4±2i 2 Exercícios 1) Assinale com um X os conjuntos que os números pertencem: Número Natural Inteiro Racional Irracional Real Imaginário Complexo 33, i 4i 2 13

14 Exercícios 1) Assinale com um X os conjuntos que os números pertencem: Número Natural Inteiro Racional Irracional Real Imaginário Complexo 33,5 x x X 725 x x x x x 5 x x x 81 x x x x x 4 x x 4i x X 4i 2 X Exercícios 2) Resolva as equações utilizando números complexos: a) x 2 + x + 10 = 0 b) x 2 + 4x 29 = 0 14