Vetores. 2. (G1 - ifpe 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A 4. i 3. j e

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1 Vetores 1. (Uece 2014) Duas únicas forças, uma de 3 N e outra de 4 N, atuam sobre uma massa puntiforme. Sobre o módulo da aceleração dessa massa, é correto afirmar-se que a) é o menor possível se os dois vetores força forem perpendiculares entre si. b) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido. c) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e sentidos contrários. d) é o menor possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido. 2. (G1 - ifpe 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A 4. i 3. j e B 1.i 1. j, em que i e j são vetores unitários? a) b) c) d) e) (Mackenzie 2012) Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste (NE), desloca-se 160 km para sudeste (SE). Sendo um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da velocidade vetorial média do avião, nesse tempo, foi de a) 320 km/h b) 480 km/h c) 540 km/h d) 640 km/h e) 800 km/h Página 1 de 13

2 4. (Ufpb 2007) Considere os vetores A, B e F, nos diagramas numerados de I a IV. Os diagramas que, corretamente, representam a relação vetorial F = A - B são apenas: a) I e III b) II e IV c) II e III d) III e IV e) I e IV 5. (Ufmg 2007) Dois barcos - I e II - movem-se, em um lago, com velocidade constante, de mesmo módulo, como representado na figura: Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas tracejadas indicam o sentido do deslocamento dos barcos. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do barco II, medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem representada pelo vetor a) P. b) Q. c) R. d) S. Página 2 de 13

3 6. (G1 - cftce 2007) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e a) zero b) 20 c) 1 d) 2 e) (Pucmg 2006) ASSINALE A OPÇÃO CORRETA. a) Um escalar pode ser negativo. b) A componente de um vetor não pode ser negativa. c) O módulo de um vetor pode ser negativo. d) A componente de um vetor é sempre diferente de zero. 8. (Ufc 2006) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. a) CB + CD + DE = BA + EA b) BA + EA + CB = DE + CD c) EA - DE + CB = BA + CD d) EA - CB + DE = BA - CD e) BA - DE - CB = EA + CD 9. (Ufpb 2006) Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a informação de que o endereço procurado estaria situado a 2km ao norte. Após chegar ao referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar 4km para o leste. Não encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a festa acontecendo a 5km ao sul daquele ponto. Seguindo essa dica, ele finalmente chega ao evento. Na situação descrita, o módulo do vetor deslocamento do cidadão, da praça até o destino final, é: a) 11km b) 7km c) 5km d) 4km e) 3km Página 3 de 13

4 10. (Pucpr 2004) Um ônibus percorre em 30 minutos as ruas de um bairro, de A até B, como mostra a figura: Considerando a distância entre duas ruas paralelas consecutivas igual a 100 m, analise as afirmações: I. A velocidade vetorial média nesse percurso tem módulo 1 km/h. II. O ônibus percorre 1500 m entre os pontos A e B. III. O módulo do vetor deslocamento é 500 m. IV. A velocidade vetorial média do ônibus entre A e B tem módulo 3 km/h. Estão corretas: a) I e III. b) I e IV. c) III e IV. d) I e II. e) II e III. 11. (G1 - cftce 2004) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média é: a) 1 3 b) 2 3 c) 1 d) 3 2 e) 2 Página 4 de 13

5 12. (Unesp 2003) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores deslocamentos d 1 e d 2 ilustrados na figura. Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra do ponto de partida é a) 4 km. b) 8 km. c) 2 19 km. d) 8 3 km. e) 16 km. 13. (Unifesp 2002) Na figura, são dados os vetores a, ω e v. Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor g = a - ω + v tem módulo a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita. d) ( 2 )u, e sua orientação forma 45 com a horizontal, no sentido horário. e) ( 2 )u, e sua orientação forma 45 com a horizontal, no sentido anti-horário. 14. (Ufc 1999) Na figura a seguir, onde o reticulado forma quadrados de lados l=0,5cm, estão desenhados 10 vetores contidos no plano xy. O módulo da soma de todos esses vetores é, em centímetros: a) 0,0. b) 0,5. c) 1,0. d) 1,5. e) 2,0. Página 5 de 13

6 15. (Mackenzie 1998) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 16. (Puccamp 1998) Num bairro, onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas distam 100 m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada no esquema a seguir. O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, em metros, igual a a) 300 b) 350 c) 400 d) 500 e) (Fatec 1996) Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 Página 6 de 13

7 18. (G1 1996) Defina vetor. 19. (Uel 1994) Considere as seguintes grandezas físicas mecânicas: TEMPO, MASSA, FORÇA, VELOCIDADE e TRABALHO. Dentre elas, têm caráter vetorial apenas a) força e velocidade. b) massa e força. c) tempo e massa. d) velocidade e trabalho. e) tempo e trabalho. 20. (Upe 2013) Os vetores u e v, representados na figura a seguir, têm módulos, respectivamente, iguais a 8 e 4, e o ângulo θ mede 120. O módulo do vetor u v, é: a) 3 3 b) 4 3 c) 5 3 d) 3 5 e) (Ufpr 2011) Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo ponto, caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Após esse percurso, a que distância a pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto? 22. (Unirio 2000) Considere os vetores a, g e anteriormente representados. O vetor v tal que v = 1 2 a + g é: a) 7 6, 4 b) (-2, 3) c) 7, 6 4 d) 7, 6 4 e) 6, Página 7 de 13

8 23. (Uff 1999) Considere o retângulo ABCD de dimensões BC = 3 m e CD = 4 m. Calcule AB BD DC 24. (Cesgranrio 1994) ABCD é um quadrado. O vetor que indica a operação AB -BC é igual a: a) DB b) CA c) BD d) BD e) AC Página 8 de 13

9 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] A resultante de duas forças tem módulo máximo quando elas têm mesmo sentido; e módulo mínimo quando elas têm sentidos opostos. Para esse caso. Rmáx 3 4 Rmáx 7 N. Rmín 4 3 Rmín 1 N. De acordo com o Princípio Fundamental da Dinâmica: R R m a a. m A aceleração tem módulo máximo quando a resultante tem intensidade máxima, portanto, quando as forças têm mesma direção e mesmo sentido. Comentário: massa é uma grandeza física e não um objeto, como sugere o enunciado. Existe um corpo puntiforme, um objeto puntiforme ou uma partícula. A massa é uma grandeza física associada à quantidade de matéria existente no corpo, no objeto ou na partícula. Resposta da questão 2: [A] 1ª Solução: Na figura acima: A x = 4; A y = 3; B x = -1; B y = A Ax Ay 1 1 A B Bx By 4 3 B 25 B 5. Ay 1 2 senα cos α senα cos α. A 2 2 B B x 4 y 3 sen β ; cos β. B 5 B 5 O ângulo entre os vetores A e B é θ. Mas: θ α β Página 9 de 13

10 cosθ cosα β cosα cosβ senα sen β cos θ. 10 2ª Solução: Aplicando a regra do Paralelogramo: Na figura acima: A x = 4; A y = 3; B x = -1; B y = 1; R x = 3; R y = A Ax Ay 1 1 A B Bx By 4 3 B 25 B R Rx Ry 3 4 B 25 R 5. Da lei dos cossenos: R A B 2 A Bcos θ cos θ cos θ cos θ cos θ. 10 Resposta da questão 3: [E] Dados: d 1 = 120 km; d 2 = 160 km; t =1/4 h. A figura ilustra os dois deslocamentos e o deslocamento resultante. Aplicando Pitágoras: Página 10 de 13

11 d d d d d d 200 km. O módulo da velocidade vetorial média é: v m d 200 t vm 800 km / h. Resposta da questão 4: [B] I - B A F 0 F A B II - F B A 0 F A B III igual ao I IV - A F B 0 F A B Resposta da questão 5: [C] Resposta da questão 6: [E] Resposta da questão 7: [A] Resposta da questão 8: [D] Resposta da questão 9: [C] Página 11 de 13

12 Resposta da questão 10: [A] Resposta da questão 11: [B] 6L Vm Vm 3 T V 4L 2 m V T m Resposta da questão 12: [C] A figura mostra o deslocamento vetorial do caminhão. Uma forma imediata de solucionar a questão é utilizar a Lei dos Cossenos r cos r 2 19km Resposta da questão 13: [B] Resposta da questão 14: [E] Resposta da questão 15: [B] Resposta da questão 16: [D] Resposta da questão 17: [A] Resposta da questão 18: Ente matemático que possui como elementos a direção, um sentido e um valor ou intensidade. Resposta da questão 19: [A] Resposta da questão 20: [B] Página 12 de 13

13 Resposta da questão 21: 1ª Solução: Adotando convenientemente como ponto de partida a origem do plano cartesiano, segue que a distância pedida é o módulo do vetor cuja extremidade é o ponto P( 6, 4), ou seja, 2 2 OP ( 6) km. 2ª Solução: Considerando arbitrariamente o ponto de partida como sendo a origem O do plano cartesiano, queremos calcular a distância entre O e P ( 6, 4). Portanto, OP 2 2 d ( 6) km. 3ª Solução: Supondo que o ponto onde a pessoa iniciou o trajeto seja a origem do plano de Argand-Gauss, segue que a distância pedida é o módulo do número complexo cujo afixo é o ponto ( 6, 4), isto é, 2 2 ( 6) km. Resposta da questão 22: [C] Resposta da questão 23: AC = 5 m Resposta da questão 24: [A] Página 13 de 13