( ) Velocidade e Aceleração Vetorial. Gabarito: Página 1 A A B B. = Q= m v = 85 22= 1870 N s.

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1 Gabarito: Velocidade e Aceleração Vetorial Resposta da questão 1: Todo movimento circular contém uma componente centrípeta voltada para o centro da circunferência de módulo não nulo. Resposta da questão 2: Pelo teorema do impulso: O impulso da força resultante I Fr é igual à variação da quantidade de movimento ( ) ( Q ). Considerando o movimento retilíneo, podemos expressar o teorema na forma modular: I Fr = Q= m v = 85 22= 1870 N s. Comentário: Certamente, houve um engano da banca examinadora ao dar a unidade da velocidade (deveria ser km/h) atingida pelo atleta, pois nenhum atleta (humano) consegue atingir essa velocidade e nem esse impulso. O recordista mundial de velocidades, Usain Bolt, percorreu 0 m em 9,58 s, atingindo velocidade média de,44 m/s. A velocidade de 22 m/s corresponde a 79,2 km/h! Onde o vetor V representa o movimento resultante do avião. Como θ e β são ângulos suplementares, teremos: β= 180 θ. A A cosβ= cos(180 θ) =. B B Como cos(180 θ) = cos θ, teremos: A A A A cos(180 θ) = cosθ= cosθ= cosθ= B B B B Alternativa: Resposta da questão 4: [E] Dados: d 1 = 120 km; d 2 = 160 km; =1/4 h. A figura ilustra os dois deslocamentos e o deslocamento resultante. Resposta da questão 3: Questão anulada no gabarito oficial. O movimento resultante de um avião é sempre representado por sua velocidade em relação ao solo, assim sendo, de acordo com o enunciado, se o vetor B for a velocidade do avião em relação ao solo, este é o movimento resultante do avião, ou seja, θ= 90 e consequentemente cosθ= 0. A questão poderia ter uma solução se o vetor B representasse a velocidade do avião em relação ao vento, e não em relação ao solo como informado no enunciado. Assim sendo, teremos a seguinte resolução: A+ B= V : Aplicando Pitágoras: d = d + d d = = = d= 200 km. O módulo da velocidade vetorial média é: d 200 v m = = 200( 4 ) 1 4 vm = 800 km/h. Resposta da questão 5: 1ª Solução: Página 1

2 ( ) ( )( ) R = A + B + 2 A Bcos θ 5 = cos θ = 2+ 2cos θ cos θ= = cos θ=. Resposta da questão 6: Na figura acima: A x = 4; A y = 3; B x = -1; B y = ( ) 2 2 A = Ax + Ay = A = B= Bx + By = B= 25 B= 5. Ay 1 2 senα = cos α = = senα = cos α =. A 2 2 B B x 4 y 3 sen β= = ; cos β= =. B 5 B 5 O ângulo entre os vetores A e B é θ. Mas: θ= α+ β cosθ= cos( α+ β) = cosα cosβ senα sen β= 5 == cos θ=. 2ª Solução: Aplicando a regra do Paralelogramo: Na figura acima: A x = 4; A y = 3; B x = -1; B y = 1; R x = 3; R y = ( ) 2 2 A = Ax + Ay = A = B = Bx + By = B = 25 B = R= Rx + Ry = B= 25 R= 5. Da lei dos cossenos: Dados: R = L =,0 m; v = 2,00 m/s. Como a velocidade vetorial instantânea de cada objeto tem módulo constante e está sempre apontando a posição do objeto vizinho, como mostrado na figura dada, esses objetos descreverão trajetórias que vão se fechando, de modo que eles ocupem sempre os vértices de hexágonos de lado cada vez menor (Fig 1), até que ocorra o colapso (encontros) no centro da circunferência circunscrita a cada um desses hexágonos. A Fig 3 mostra um detalhe de um desses objetos no instante inicial. A velocidade do objeto está v. decomposta nas direções tangencial ( v ) e radial ( ) Como os objetos estão sempre nos vértices de um hexágono, essas componentes têm módulos constantes, sendo: 1 v r = v cos 60 = 2,00 2 v r = 1,00 m/s. 3 v t = v sen 60 = 2,00 2 v t = 1,00 3 m/s. Se o encontro ocorre no centro da circunferência circunscrita, cada objeto percorrerá radialmente a distância igual ao raio da circunscrita (R) no instante inicial, com a v e se encontrarão após um intervalo velocidade radial ( ) de tempo. Assim: r R,0 v r = 1,00 t,0 = = s. Se cada objeto tem velocidade constante, em módulo, a distância percorrida por cada um dos seis objetos será: D = v = 2,00 (,0) D = 20,0 m. Resposta da questão 7: A figura mostra os deslocamentos escalar e vetorial em meia volta. t r Página 2

3 Δ S = 0= m PL Δ S = 200 = 2m LJ Δ SPLP = 0 0= 0 D= = 420m S 30 S = πr= 30m V m = = = 3,0m/ s r 20 r = 2R = 20m V m = = = 2,0m/ s Resposta da questão 8: A figura mostra as velocidades do barco em relação ao rio, do rio em relação à margem e a resultante das duas. (V) A posição do jeep em relação ao posto é 200 m. (V) O deslocamento do motorista entre o posto e a loja de conveniência foi de m. (V) O deslocamento do motorista entre a loja de conveniência e o jeep foi de 2 m. (F) O deslocamento do motorista, no trajeto posto de combustível - loja de conveniência - posto de combustível, foi de 20 m. (V) A distância total percorrida pelo motorista para comprar gasolina e água e retornar para o jeep foi de 420 m. Resposta da questão 11: Como se pode observar na figura a seguir, se a aceleração é inclinada de 45, as suas componentes vertical e horizontal têm mesma intensidade. ΔS 800 VResultante = = = 8,0m/s Δt 0 Aplicando Pitágoras ao triângulo sombreado, vem: VB = = 0 VB = m/ s Resposta da questão 9: = 19 Justificando as incorretas: 04) Dois vetores são iguais somente se seus módulos, suas direções e seus sentidos forem iguais. 08) O módulo de um vetor não depende de sua direção, mas sim, da intensidade da grandeza física que ele representa. Portanto: a y = a x = 6 m/s 2. ay ay Ou ainda: tg 45 = 1= a 6 a y = 6 m/s 2. Resposta da questão 12: x Dados: v aut = 80 km/h; sen θ = 0,8 e cos θ = 0,6. A figura mostra o automóvel e as velocidades do automóvel v e da chuva ( v ), para a pessoa parada na beira da ( ) aut estrada. O diagrama vetorial mostra a composição dessas velocidades para o estudante. Resposta da questão : V V V F V Observe a figura abaixo. SJ = 200m ; SP = 0 ; SL =+. Δ S = 0 ( 200) = 200m JP tg θ = v aut v senθ = cosθ v aut v 0,8 80 = v = 60 km/h. 0,6 v Página 3

4 Resposta da questão 13: Dados: v B = 11 km/h; v A = 0,83 m/s = (0,83 3,6) = 3 km/h. Na descida: v = v B + v A = = 14 km/ h. Na subida: v = v B v A = 11 3 = 8 km/ h. ( ) ( ) ( ) ( ) = x 0 = 0; x( t) = 3t x 4 = 3 4 = 12 cm. 3 y 0 0; y( t) = t 12t 3 y( 4) = ( 4) 12( 4) = 64 48= 16 cm. O sistema cartesiano abaixo representa esses pares e o vetor deslocamento entre esses instantes. Resposta da questão 14: A componente centrípeta da aceleração ou aceleração centrípeta surge quando há variação no módulo do vetor velocidade e a componente centrípeta surge quando há variação na direção do vetor velocidade. Resposta da questão 15: Como todos os movimentos são realizados com velocidade constante tem-se v = S/ Identificando a velocidade do barco em relação à água como v e a velocidade das águas do rio como u temos: Na subida com o motor ligado v u = S/.v.u = S Na descida com o motor ligado v + u = S/4 4.v + 4.u = S Em função de S temos: 40.v 40.u = 4. S 40.v + 40.u =. S Somadas as expressões 80.v = 14. S v = 14. S S 14. S 4.v + 4.u = S u = S u = S 4.u = S 14. S 6. S 6. S = u = Na descida com o motor desligado: u = S/T T = S/u = Resposta da questão 16: S 6. S = = 13h20 min Calculemos os pares ordenados para esses dois instantes: Da figura: D = = = 400 D= 20 cm. Resposta da questão 17: Resposta da questão 18: Resposta da questão 19: Decompondo a velocidade de B em componentes temos: Paralelamente à estrada A o carro B está movendo-se com uma velocidade de: 0 VB cos60 = 82 0,5 = 41km/h Como a velocidade de A em relação à estrada é 0km/h concluímos que a velocidade de A em relação a B na direção da estrada vale: VA/B = 0 41= 59km/h. Outra solução: Se considerarmos o referencial em B, teremos: Página 4

5 V = V V A/B A B 1/6 + 1/ = 1/t ==> (5 + 3)/30 = 1/t t = 30/8 = 3,75 s Resposta da questão 27: 6L Vm Vm 3 = T = V 4L 2 m V T m 0 (V A/B) estradaa = VA VB cos60 = ,5 = 59km/h Resposta da questão 28: a) Varr = 2,7 m/s b) Vres = 3,6 m/s Resposta da questão 20: Como a ação do rio sobre o barco do pescador depende da velocidade do rio, esta ação será maior no centro do rio e pequena nas postas, obrigando o barco do pescador realizar uma trajetória que, próxima das margens, é perpendicular a elas e mais paralela às margens no centro. Temos esta situação apenas na alternativa B. O tempo de travessia é dado por v = S/ u = L/ = L/u. Resposta da questão 21: Resposta da questão 22: Resposta da questão 23: Resposta da questão 24: Resposta da questão 25: Resposta da questão 26: Levando-se em conta que a velocidade relativa constante é igual a a razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempo correspondente, ou seja, v = d/t, teremos: Descendo com a velocidade da escada: u = d/ Subindo contra a escada: v - u = d/15 Usando a primeira expressão na segunda: v - d/ = d/15 ==> v = d/ + d/15 = d/6 Na descida com a escada: v + u = d/t ==> d/6 + d/ = d/t Resposta da questão 29: A figura mostra o deslocamento vetorial do caminhão. Uma forma imediata de solucionar a questão é utilizar a Lei dos Cossenos r = cos60= = 76 r = 2 19km Resposta da questão 30: Resposta da questão 31: Resposta da questão 32: Resposta da questão 33: Resposta da questão 34: Resposta da questão 35: Resposta da questão 36: = 13 Página 5

6 Resposta da questão 37: Resposta da questão 38: Resposta da questão 39: F F V V Página 6