Velocidade Aceleração Força Tempo Comprimento Massa Energia Temperatura Corrente elétrica Quantidade de calor Carga elétrica Campo elétrico

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1 ELE FOI NAQUELA DIREÇÃO! OU SERIA, NAQUELE SENTIDO? CONTEÚDOS Grandezas escalares Grandezas vetoriais Força resultante Vetor AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Grandezas escalares e grandezas vetoriais Vimos anteriormente que grandeza física é alguma coisa que pode ser medida. Medir uma grandeza é atribuir a ela um valor numérico acompanhado de uma unidade. Observe alguns exemplos de grandezas físicas: Velocidade Aceleração Força Tempo Comprimento Massa Energia Temperatura Corrente elétrica Quantidade de calor Carga elétrica Campo elétrico Entretanto as grandezas físicas são divididas em grandezas escalares e grandezas vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que para sua perfeita identificação é necessário somente que seja determinado o seu valor e sua unidade de medida. Observe agora as informações abaixo: A viagem está marcada para as 3 horas! valor unidade de medida GRANDEZA ESCALAR Valor Unidade de medida

2 Repare que nessa situação, para a informação ser totalmente compreendida necessitamos somente desses dados, não sendo necessário identificar direção e sentido, que serão imprescindíveis ao falarmos das grandezas vetoriais. Além do tempo, são exemplos de grandezas escalares, o comprimento, a área, o volume, a massa, a energia e a carga elétrica, dentre outros. Por outro lado observe a situação, na qual temos uma caixa sobre uma mesa. Figura 1 Caixa em uma mesa Aplicando nessa caixa de 5 kg uma força de 50 N, ela se desloca para a direita ou para a esquerda? A melhor resposta, no momento, para essa pergunta é: Depende! Repare que, nesse caso, informar somente o valor (50) e a unidade de medida (N) não responde à pergunta, porque estamos tratando de um exemplo de grandeza vetorial. A grandeza vetorial, para estar completamente identificada, necessita de um valor, de uma direção e de um sentido. Grandeza Vetorial Valor Direção Sentido Observe a informação e a ilustração abaixo: 60 km/h Oeste Norte Leste Figura 2 Veículo se movimentado para a direita O carro possui velocidade de 60 km/h e se movimenta de oeste para leste. Nessa situação a velocidade é uma grandeza vetorial, pois será totalmente identificada com as seguintes informações: Valor Direção Sentido 60 leste/oeste para leste Sul

3 Você observou que uma direção contém dois sentidos. Observe a ilustração. Figura 3 Direção e sentido Fonte: Mix3r/Shutterstock.com Mesmo estando na mesma direção, os dois veículos da figura 3 estão em sentidos opostos. Na direção horizontal (ou norte-sul) um dos veículos se movimentava no sentido para a direita e o outro veículo no sentido para a esquerda. Na figura 4, uma pessoa deseja se deslocar por 500 m. Para onde ela irá? Para definirmos seu deslocamos necessitamos explicitar além do valor 500 m, a direção e o sentido no qual ela deve se movimentar. Além da velocidade e do deslocamento são exemplos de grandezas vetoriais a aceleração, a força, a quantidade de movimento e o campo elétrico. Figura 4 Para onde ir? Fonte: Freerangestock O vetor resultante Vimos que para a representação das grandezas escalares basta a indicação de sua intensidade e sua unidade de medida. 5 kg (massa) 10 min (tempo) 2 A (correte elétrica) 20 o C (temperatura)

4 Para a representação das grandezas vetoriais torna-se necessário o valor, a direção e o sentido da grandeza. Esta indicação é feita usando-se um vetor. Na Física utiliza-se um segmento de reta orientado para representar um vetor. Observe: Figura 5 Representação de um vetor Veja a ilustração onde foram representados alguns vetores. Vetor 1 Vetor 3 Vetor 2 Os vetores 1, 2 e 3 estão na mesma direção e mesmo sentido. Eles podem ser representados por um único vetor resultante, cujo valor é a soma dos valores de cada um deles. Figura 6 Representação de vetores Figura 7 Vetor resultante Observe agora, na próxima ilustração, como os vetores foram dispostos Vetor A Vetor B Vetor C Figura 8 Vetores Os vetores A, B e C estão na mesma direção. Entretanto somente A e B estão no mesmo sentido pois o vetor C está no sentido contrário. Para a representação do vetor resultante, somamos os valores dos vetores A e B e subtraímos deste resultado o valor do vetor C. Vetor A Vetor B Vetor C Figura 9 Vetores

5 O vetor resultante deve ser representado na direção e sentido do vetor de maior valor. Figura 10 Vetor resultante Perceba então que a expressão vetor resultante se refere ao resultado da soma de todos os vetores que atuam num corpo. Além dos comentários feitos aqui, sugerimos que você pesquise sobre o significado de soma de vetores. Destacamos agora, outras situações envolvendo a soma de vetores a qual é muito recorrente na Física. 1ª situação Observe a situação ao lado, na qual temos duas forças e, perpendiculares entre si, aplicadas em uma caixa por dois funcionários de uma empresa que precisam puxá-la. Admitindo que os dois apliquem a mesma força na caixa, em que direção e sentido ela se movimentara. Vamos refletir sobre o percurso feito pela caixa. Para determinarmos o percurso da caixa, precisamos determinar a força resultante. Ela se movimentará no sentido da força resultante conforme a sequência (1, 2 e 3), na ilustração a seguir: F2 F1 Figura 11 Forças perpendiculares F resultante F resultante (1) (2) (3) Figura 12 Determinação do vetor resultante Então, respondendo à pergunta sobre o percurso da caixa, podemos afirmar que ela vai se deslocar na diagonal do quadrilátero formado a partir das forças e.

6 E com o auxílio da Matemática podemos determinar o valor da força resultante. Observe o quadrilátero a seguir. diagonal b a Figura 13 Quadrilátero Conhecidos os valores dos lados a e b como determina-se o valor da diagonal utilizando-se do Teorema de Pitágoras: (diagonal) 2 = a 2 + b 2 Voltando a nossa atenção para as forças atuantes na caixa, podemos realizar um procedimento geometrico e graficamente deslocar o vetor para a extremidade direita do vetor. F r F r Figura 14 Determinação do vetor resultante Observe a figura e compare-a com o quadrilátero obtido anteriormente. diagonal b F r a Figura 15 Comparação entre o quadrilátero e a disposição dos vetores Ao comparar as duas figuras, você percebeu que os lados a e b do quadrilátero correspondem às forças e. E além disso, a diagonal corresponde à força resultante F r. Dessa maneira, podemos então fazer uso do Teorema de Pitágoras na

7 determinação da força resultante e até dos valores das forças e. Sendo assim, o Teorema de Pitágoras, em termos de vetores, pode ser escrito da seguinte forma: (hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2 (diagonal) 2 = a 2 + b 2 (Fresultante) 2 = (F1) 2 + (F2) 2 2ª situação Considerando agora, que as duas forças e não sejam perpendiculares (ângulo entre elas é diferente de 90 o ) e que sejam aplicadas na caixa de acordo com a situação mostrada ao lado: Observe que o mesmo raciocínio feito anteriormente é válido para determinarmos a direção e o sentido da força resultante: Figura 16 Forças em uma caixa F resultante F resultante Figura 17 Determinação da força resultante utilizando os vetores Novamente utilizando a Matemática, faremos uso do Teorema dos Cossenos na determinação da força resultante. Teremos: F resultante (F resultante ) 2 = ( ) 2 + ( ) cos Onde é o ângulo formado entre e. Figura 18 Vetor resultante em uma caixa

8 ATIVIDADES 1. Observe as grandezas abaixo: Força, Massa, Volume, Aceleração, Tempo, Velocidade, Temperatura, Deslocamento, Densidade, Frequência, Calor, Energia, Quantidade de movimento e Impulso Preencha o quadro indicando quais delas são as grandezas escalares as grandezas vetoriais. Grandezas escalares Grandezas vetoriais 2. Sobre uma caixa de 20 kg atuam as forças indicadas na ilustração. As forças possuem os seguintes valores: = 2 N, = 2,5 N, F 3 = 1,5 N, F 4 = 2 N, F 5 = 1 N, F 6 = 3 N. F 3 F4 F 5 F 6 Determine o valor da força resultante, indicando ainda sua direção e sentido.

9 3. (Fatec-SP 1996) Dados os vetores A, B e C, apresentados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 B A C 4. Um remador precisa atravessar um rio conforme mostrado na ilustração. Em relação à margem, desenhe o caminho que será descrito por ele. Seguindo em linha reta ele chegará ao ponto A no outro lado do rio? Utilize o Teorema de Pitágoras e calcule o valor do vetor velocidade resultante. v rio = 3 km/h A v remador = 4 km/h

10 5. Quatro automóveis se encontram em quatro pontos distintos de um cruzamento de ruas, conforme indicado a seguir Sobre suas direções e sentidos, é correto afirmar que a) os carros 1 e 2 estão na mesma direção e mesmo sentido. b) os carros 3 e 4 estão na mesma direção e mesmo sentido. c) os carros 1 e 2 estão no mesmo sentido e direção contraria. d) os carros 3 e 4 estão no mesmo sentido e direção contrária. e) os carros 1 e 4 estão na mesma direção e mesmo sentido. 6. Duas pessoas puxam uma caixa de acordo com a ilustração abaixo. Qual será o valor da força resultante sobre a caixa? (Adote cos 30º = 0,86.) 7N 30º 5N

11 7. Admitindo que as duas pessoas do exercício anterior aplicassem as forças de acordo com a ilustração abaixo, desenhe o vetor força resultante e determine seu valor. (Adote: cos 120º = 0,5.) 7 N 120 o 5 N INDICAÇÕES Seria interessante que você aprofundasse as reflexões sobre grandezas escalares e grandezas vetoriais realizando as leituras e consultando os materiais indicados nos links a seguir: Grandezas vetoriais, grandezas escalares e vetores Disponível no endereço Vetores Disponível no endereço Podcast Grandezas escalares e grandezas vetoriais. Disponível no endereço st/dispform.aspx?id=42&source=http%3a%2f%2fwww%2eeja%2eeducacao%2eor g%2ebr%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza%2fpodcasts%2fpaginas%2fpodca stem%2easpx. Sequência didática do podcast Grandezas escalares e grandezas vetoriais. Disponível no endereço st/dispform.aspx?id=42&source=http%3a%2f%2fwww%2eeja%2eeducacao%2eor g%2ebr%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza%2fpodcasts%2fpaginas%2fpodca stem%2easpx.

12 Coletânea de Atividades Interdisciplinares Relações físico-matemáticas. Disponível no endereço %20Aluno/Coletânea%20de%20Atividades%20Interdisciplinares%20(Atividades%20e m%20área)%20em/relacoes_fisico_matematicas.pdf. REFERÊNCIAS ALVARENGA, B. Curso de Física (volume 1). São Paulo: Scipione, FREERANGESTOCK. Para onde ir? Disponível em: < Acesso em: 25 fev h20 min. GASPAR, A. Física: Mecânica. São Paulo: Ática, HAMBURGER, E. Telecurso: Física: ensino médio. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, HEWITT. P. Fundamentos da Física conceitual. Porto Alegre: Bookman, LUCIANO, P., ÁLVARO, T. Física - Mecânica. São Paulo: Editora Nova Geração, MIX3R/SHUTTERSTOCK.COM. Direção e sentido. Disponível em: < Acesso em 25 fev h22min. PIETROCOLA. M. Física em contextos: movimento, força, astronomia: volume 1. São Paulo: FTD, GABARITO 1. Grandezas escalares Grandezas vetoriais Massa Força Volume Velocidade Tempo Quantidade de movimento Densidade Deslocamento Temperatura Impulso Energia Aceleração Calor Frequência

13 2. As forças = 2 N e = 2,5 N estão na mesma direção e mesmo sentido. A força resultante sobre elas será a soma dos dois vetores, que fornece como resultado uma força de 4,5 N para a esquerda. As forças F 3 = 1,5 N, F 4 = 2 N, F 5 = 1 N e F 6 = 3 N também estão na mesma direção e mesmo sentido. A força resultante também será a soma dos dois vetores, que fornece como resultado uma força de 7,5 N para a direita. Temos então a nova configuração de forças conforme mostrado a seguir: F = 4,5 N F = 7,5 N Ficamos assim com duas forças na mesma direção mas com sentidos contrários. Novamente realizando uma subtração, determinamos o valor da força resultante final. F resultante = 7,5 4,5 F resultante = 3 N, na direção horizontal e sentido para a direita F = 3N 3. Alternativa A Podemos desmembrar os vetores B e C em seus componentes B 1 e B 2 e C 1 e C 2, conforme mostrado na figura. A B2 C2 C B1 B C1 Observe agora que os vetores C 1 e B 2 estão na mesma direção e mesmo sentido. Sua soma fornece como resultado = 3 unidades. Além disso, o vetor resultante desta soma está na mesma direção e sentido contrário ao vetor A que também possui valor de 3 unidades. O resultado final, na horizontal, será então 3 3 = 0.

14 A B2 C2 B1 C1 Desta forma temos os dois vetores C 2 e B 1, na direção vertical e sentido contrário. C2 B1 A subtração de C 2 (2 unidades) e B 1 (1 unidade) fornece como resultado um vetor de 2 1 = 1 unidade. vetor resultante

15 4. O caminho descrito pelo remador está associado ao vetor resultante. v barco vetor resultante v rio = 3 km/h A v rio v remador = 4 km/h Portanto seguindo em linha reta ele não chegará ao ponto A. Utilizando o Teorema de Pitágoras e com os dois vetores representando catetos conforme a ilustração, teremos: v remador = 4 km/h 4 v rio = 3 km/h v resultante 3 vetor resultante (v resultante ) 2 = (v rio ) 2 + (v remador ) 2 (v resultante ) 2 = (3) 2 + (4) 2 (v resultante ) 2 = (v resultante ) 2 = 25 V resultante = 5 km/h 5. Alternativa B Os carros 1 e 2 estão na mesma direção e sentidos contrários. Os carros 3 e 4 estão na mesma direção e mesmo sentido Os carros 1 e 2 e os carros 3 e 4 estão em direções perpendiculares.

16 6. A força resultante corresponderá à diagonal do paralelogramo conforme mostrado na ilustração abaixo: Na determinação do seu valor utilizamos a expressão: (F resultante ) 2 = ( ) 2 + ( ) cos (F resultante ) 2 = (7) 2 + (5) cos 30º (F resultante ) 2 = ,86 30º F resultante (F resultante ) 2 = ,2 (F resultante ) 2 = 134,2 Extraindo a raiz quadrada do número acima, encontramos que a força resultante das forças que atuam na caixa vale aproximadamente 11,58 N. 7. A força resultante terá a configuração mostrada abaixo: (F resultante ) 2 = ( ) 2 + ( ) cos (F resultante ) 2 = (7) 2 + (5) cos 120º (F resultante ) 2 = ( 0,5) (F resultante ) 2 = ( 0,5) F resultante (F resultante ) 2 = (F resultante ) 2 = 39 Extraindo a raiz quadrada do número acima, encontramos que a força resultante das forças que atuam na caixa vale aproximadamente 6,2 N.