Introdução ao Cálculo Vetorial

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1 Introdução ao Cálculo Vetorial Segmento Orientado É o segmento de reta com um sentido de orientação. Por exemplo AB onde: A : origem e B : extremidade. Pode-se ter ainda o segmento BA onde: B : origem e A : extremidade. Módulo de um segmento orientado é a quantidade de unidades de comprimento que ele tem. Por exemplo, considere a Figura abaixo onde cada quadrado tem uma unidade de comprimento qualquer. Calcule os módulos dos segmentos orientados. Eixo Orientado É uma reta em que orientamos um sentido. Ponto O é a origem, OX e OX são os semi-eixos. Direção e Sentido Esses conceitos são muito importantes. A seguir exemplifica-se esses conceitos. Considere no mapa do Brasil os pontos correspondentes às cidades de Juiz de Fora e Rio de janeiro. Chama-se de direção à reta determinada por estes dois pontos. Nessa mesma direção pode-se caminhar de dois sentidos. O primeiro é o sentido Juiz de Fora para o Rio e, o segundo, Rio para Juiz de Fora. Por exemplo Considere o eixo x x e os segmentos orientados AB, CD, EF, GH e IJ AB CD tem mesma direção e mesmo sentido do eixo x x. tem direção perpendicular ao eixo x x e, sentido de cima para baixo. Continue em relação aos outros segmentos.

2 Soma de Vetores ( Resultante ) Forma Geométrica A soma de vários vetores resulta um outro vetor. Existem várias maneiras de se chegar ao vetor resultante. Primeiramente vamos utilizar a forma geométrica. Representação do vetor resultante pela forma geométrica. Para somarmos dois vetores, isto é, calcular o vetor resultante, temos que colocar os vetores na forma consecutiva procedendo da seguinte forma: OBSERVAÇÃO Este procedimento pode ser feito para vários vetores. OBSERVAÇÃO O módulo do vetor soma AC é menor ou igual à soma dos módulos. Pode-se observar na figura anterior que : AC AB BC OBSERVAÇÃO 3. Estipular um ponto qualquer como origem.. Somar à origem o primeiro vetor, determinando a extremidade do primeiro 3. Considerar a extremidade do primeiro como a origem do segundo e somar o segundo vetor. 4. O vetor soma, neste caso, terá origem do primeiro e, extremidade do segundo. No caso dos vetores terem mesma direção e mesmo sentido o módulo do vetor soma é igual à soma dos módulos. Pode-se observar na figura anterior que : S a b c

3 Atividades. Calcular o vetor soma pelo método geométrico considerando os vetores. Calcule também o módulo do vetor soma. a) S = a + b + c Produto de um número positivo por um Vetor O produto de um número k (k > 0) por um vetor a, é um outro vetor b, de mesma direção, mesmo sentido e módulo igual a k vezes o módulo do vetor a. Por exemplo : Logo, se b k. a, k 0, então, podese afirmar que : O vetor b tem mesma direção e mesmo sentido do vetor a. O módulo do vetor b é igual a k vezes o módulo do vetor a. b) S = a + b + c + d OBSERVAÇÃO 4 O quociente de um vetor por um número é o produto do inverso do número pelo vetor. Por exemplo: a é o mesmo que a 4 4

4 OBSERVAÇÃO 5 Se dividirmos um vetor pelo seu módulo obteremos um outro vetor de tamanho (unidade) de mesma direção e mesmo sentido, denominado de vetor unitário ( versor ). u a a Por exemplo: Se o módulo de um vetor a é igual a 4 unidade, então o vetor unitário do vetor a, vamos chamar de u, pode ser obtido a da seguinte forma: u 4 Atividades. Calcular o vetor soma S = a + 3 b, Simétrico de um Vetor. Na representação dos números Reais, os números 3 e 3, podem ser representados no eixo real da seguinte forma: Pode-se observar, na figura anterior, que os números 3 e 3, tem mesmo módulo ( distância à origem) mesma direção e marcados no eixo dos reais em sentidos contrários. Nós dizemos que 3 e 3 são simétricos. Por definição o simétrico do vetor v, é o vetor v, obtido quando multiplicarmos o vetor um por. Nesse caso o vetor simétrico tem mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário ao vetor v. pelo método geométrico considerando os vetores. Calcule também o módulo do vetor soma. A grande aplicação de vetor simétrico na Física é o vetor Equilibrante. O vetor Equilibrante E é o vetor simétrico do vetor Resultante R.

5 Produto de um número negativo por um Vetor O produto de um número k ( k < 0 ) por um vetor a, é um outro vetor b, de mesma direção, sentido contrário e módulo igual ao módulo de k vezes o módulo do vetor a. Por exemplo : Diferença de dois Vetores. O vetor diferença dos vetores a e b, nesta ordem, é o vetor D, calculado somando o vetor a com o simétrico do vetor b. Calcular o vetor diferença pelo método geométrico considerando os vetores. D = a - b ou D = a + (- b ) Logo, se b k. a, k 0, então, podese afirmar que : O vetor b tem mesma direção e sentido contrário do vetor a. O módulo do vetor b é igual a k ( módulo de k ) vezes o módulo do vetor a.

6 Atividades 3. Calcular o módulo do vetor resultante da operação. a) X = a - b + c b) X = a - b - 3 c + d

7 O Vetor no Plano Expressão Cartesiana de um Vetor Seja i o vetor unitário do eixo x, isto é, é um vetor de módulo igual a, direção e sentido do eixo. i ATIVIDADES. Exprimir os vetores a, b e c em função do unitário i, vetor unitário do eixo x. Um vetor de mesma direção do eixo sempre pode ser expresso em função do unitário do eixo. Por exemplo, considere a figura abaixo onde a, b e c são três vetores de módulos iguais a, 3 e 4 respectivamente. Considere os módulos dos vetores iguais a, e 3 respectivamente. Escrevendo os vetores a, b e c em função do unitário do eixo, temos : a i ; b 3i ;e c 4i Pode-se observar que o o valor algébrico do vetor c é -4, pois o vetor tem mesma direção e sentido contrário do eixo.. Calcule o vetor resultante da questão anterior. Observe que o vetor resultante é o vetor soma S a b c. Desenhe em escala o vetor resultante.

8 Expressão Cartesiana de um Vetor no Plano Sejam i o vetor unitário do eixo x e j o vetor unitário do eixo y e, os pontos A de coordenadas A(x A,y A ) e B de coordenadas B (x B,y B ). ATIVIDADES 3. Determine os vetores e seus módulos conhecendo a origem e a extremidade. Calcule também a distância entre estes pontos. a) Origem A(,3 ) extremidade B(5, 4) Da Figura anterior : AB AP PB ( x x ) i ( y y B A B A ) j Onde : ( x B x A ) : componente horizontal ( y B y A ) : componente vertical Outra Notação : AB x x, y y ) ( B A B A Módulo do Vetor Módulo de um vetor é o tamanho do vetor. Na figura anterior, no triângulo retângulo ABP temos: AB = AP + PB AB = ( x B x A ) + ( y B y A ) b) Origem C( 0,3 ) extremidade D(4, 0) AB ( xb xa) ( yb y A ) OBSERVAÇÃO A distância entre dois pontos é o módulo do vetor definido por estes pontos.

9 4. Exprimir os vetores a b e em função dos unitários dos eixos. Vetor Posição O vetor posição do ponto P ( x, y ) é o vetor que tem como origem a origem dos eixos e extremidade o ponto considerado. Da figura anterior pode-se concluir que : 5. Calcule o vetor resultante S a b no caso anterior. Faça pelo método gráfico e algebricamente. AP x P i y P j

10 ATIVIDADE 6. Determine os vetores posições determinados pelos pontos, e o módulo destes vetores. a) A(,3 ) b) B( 0,3 ) c) C(-3,-4) Coeficiente Angular da Direção Determinada por dois pontos ( Declividade) Por definição o coeficiente angular da direção de um vetor em relação ao eixo x é a tangente do ângulo que o vetor faz com o eixo x marcado no sentido trigonométrico. Seja a é o coeficiente angular, então: y a tg x B B y x A A Condições de Paralelismo de Dois Vetores A condição para que os vetores a xi yj e b x i y j sejam paralelos, é que suas componentes sejam proporcionais, então: a / / b se x x y y

11 Demonstração: Se os dois vetores são paralelos, então fazem o mesmo ângulo com o eixo x, logo, terão o mesmo coeficiente angular, então: y y trocando os meios => x x x x y y OBSERVAÇÃO Vetores paralelos são também chamados de vetores linearmente dependentes, ou vetores colineares, ou vetores de mesma direção, ou vetores de mesmo coeficiente angular, ou ainda vetores de mesma declividade. ATIVIDADES 7. Calcule m para que os vetores a 3i m j e b 6i j sejam paralelos. 8. Calcule o valor de m para que a direção determinada pelos pontos A( -, 4 ) e B( m -, ) faça 30 o com o eixo x.

12 SÉRIE A Tarefas. Exprimir os vetores a b e em função dos unitários dos eixos. Calcular o vetor e o módulo da resultante.. Determine os vetores e seus módulos conhecendo a origem e a extremidade. Calcule também a distância entre estes pontos. a) Origem A(-,-3) extremidade B(5,-4) b) Origem C(-, 5) extremidade D( 3, ) 3. Determine os vetores posições determinados pelos pontos, e o módulo destes vetores. a) A( -,4 ) b) B( -3,-3 ) c) C( 3,4)

13 4. Calcule os coeficientes angulares das direções determinadas pelos pontos : a) A (, ) e B ( 3, 4 ) b) C (-3, 4 ) e D( 5, ) c) E( 0, - ) e F( 5, 9 ) 5. Determine o valor de m para que : a) a direção determinada pelos pontos A (, ) e B ( 3, m ) faça 60 o com o eixo x. b) a direção determinada pelos pontos C( -, 0 ) e D ( 3, m ) faça 45 o com o eixo x. Decomposição de um vetor Considere um vetor AB x i y j e a inclinação do vetor o o 0 80 e o 90. GABARITO., 37, 37 a) 4i 3 j, 5, 5 a 5i ; b i 4 j R 7i 6 j ; R 85 u OA i 4 j, 7 ; OB 3i 3j, 3 u ; OC 3i 4 j, 5u. a) 6i j. j 3. u ; 4. a) 3 b) -3/8 c) 5. a) m = 3 + b) m = 4 Pode-se observar que: AB AP PB Da trigonometria, temos: Seja um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c. sen => PB m.sen cateto oposto PB hipotenusa m cateto adjacente PA hipotenusa m cos => PA m.cos Logo: AP m. cos i Então: e PB m. sen j AB m. cos i m.sen j,

14 Atividades 9. Exprimir os vetores a b e em função dos unitários dos eixos, sendo a 4 e b 3 0. Calcule o vetor resultante S a b no caso anterior. Faça pelo método gráfico e algebricamente.

15 Definição Por definição o produto escalar de vetores é um número igual ao produto dos módulos desses vetores pelo cosseno do ângulo entre os vetores. Se a a a b b Onde : a b. = a. b. cos o o > 0 < 90º. = 0 = 90º (vetores perpendiculares). b < 0 90º < 80º A grande aplicação do Produto Escalar na Física está na Grandeza Escalar Trabalho. A Figura que se segue mostra um móvel de massa m, inicialmente em repouso, apoiado sobre uma superfície horizontal. Uma Força F, aplicada sobre ele, provoca um deslocamento d, segundo a direção Ox. PRODUTO ESCALAR Ao fazer-se a decomposição da força F segundo a horizontal e vertical, pode-se observar que o deslocamento d foi produzido pela componente F x pois a componente F é perpendicular à direção y determinada pelo deslocamento. Chama-se Trabalho de uma força F ao produto escalar da Força F deslocamento d. F. d pelo Mas a única componente que produz o deslocamento, é o componente F x, então:. d F x

16 Aplicando a definição do produto escalar, têm-se: o F. d F. d.cos0 x x Considerando a situação estudada, a força aplicada é decomposta em: F x F.cos e cos 0 o Então : Compare a formula da física com a definição do produto escalar! Atividades. Calcule o produto escalar de dois vetores de módulos iguais a 6 sabendo-se que o ângulo entre os vetores é 0º. Considerando i e j como vetores unitários dos eixos, calcule: a) i. i F.d. cos Expressão Cartesiana do Produto Escalar Se a x i y j e b x i y j Demonstração: então: a. b ( x i y j ).( x i y j ) a. b x. x i. i x. y i. j y. x j. i y. y j. j mas i. i j. j e i. j j. i 0 então : a. b x. x y. y Condição de Perpendicularismo Sejam os vetores a xi yj e b xi y j se a b então. =0 (cos 90º = 0) logo: Atividade a. b x. x.. x y y. x y y a b 3. Calcular m para que os vetores a mi j e b 3 i - 4j sejam: a) paralelos b) perpendiculares 0 b) c) d) i. j j. i j. j TAREFAS. Calcule o produto escalar de dois vetores de módulos 4 e 5 que formam um ângulo de 60º.. Calcule o produto escalar dos vetores 3i j e 4i 5j

17 3. Os vetores a e b têm módulos iguais a 3 e 4 respectivamente e fazem um ângulo de 0º. Calcule: a) a.b b) a.a c) b.b d) b.a e) ( a b).( a b) f) ( a b).( a b), i 5j e 4. Sendo dados a 3i 4j b, calcule ( a.b).c e a. ( b. c ) c i - j 5. Qual a condição para que os vetores a x i y j e b x i y j sejam: a) paralelos b) perpendiculares 6. Determine m de modo que os vetores mi 4j e 5i j sejam perpendiculares. GABARITO a) -6 b) 9 c) 6 d) -6 e) 3 f) (a.b) c = 5 i - 6 j e a (b.c) 3i 4j 5. a) x x y y b) x x + y y = 0 6. m = 8/5