Bacharelado Engenharia Civil. Disciplina:Física Geral e Experimental I 1 período Prof.a: Msd. Érica Muniz

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1 Bacharelado Engenharia Civil Disciplina:Física Geral e Experimental I 1 período Prof.a: Msd. Érica Muniz

2 Cálculo Vetorial

3 Grandeza Vetorial Algumas vezes necessitamos mais que um número e uma unidade para representar uma grandeza física. Sendo assim, surgiu uma representação matemática que expressa outras característica de uma grandeza... O VETOR

4 Considerações Grandezas Escalares: são completamente definidas pelo módulo acompanhada da unidade de medida. Exemplo: temperatura, massa, tempo. Grandezas Vetoriais: para ser caracterizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, v ). Exemplos: Força, velocidade, aceleração.

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6 Exemplo A palavra grandeza representa, em Física, tudo o que pode ser medido e a medida de uma grandeza física pode ser feita direta ou indiretamente. Entre as várias grandezas físicas, há as escalares e as vetoriais. A alternativa que apresenta apenas grandezas escalares é:

7 a) temperatura, tempo, velocidade e massa. b) tempo, energia, aceleração e volume. c) área, massa, energia, temperatura e velocidade. d) velocidade, aceleração, força, tempo e pressão. e) massa, área, volume, energia e temperatura.

8 O que é um Vetor? É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas. Possui módulo. (Que é o comprimento da reta) Tem uma direção. E um sentido. (Que é pra onde a flecha está apontando). Sentido Módulo Direção da Reta Suporte

9 Segmento orientado Segmento de reta ao qual se associa um sentido. Notação: a Representação geométrica: A a referência reta suporte B Elementos A origem B extremidade - direção AB - módulo ou intensidade Sentido de A para B r reta suporte s - referência

10 Comparação entre vetores Vetores Iguais a b Mesmo Módulo Mesma Direção Mesmo Sentido a = b r s O vetor a é igual ao vetor b.

11 Comparação entre vetores Vetores Opostos a b r s c Sobre os vetores b e c podemos afirmar: Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos opostos. a = b = - c O vetor c é oposto aos vetores a e b. t

12 Direção e Sentido Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes: Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 12

13 Na Figura 2.1 temos 4 segmentos orientados, com origem em pontos diferentes, que representam o mesmo vetor. São considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma direção mesmo sentido Figura 2.1: Segmentos orientados representando o mesmo vetor mesmo comprimento 13

14 Vetores Colineares Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: são colineares se tiverem representantes pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. 14

15 Vetores Coplanares Se vetores não nulos (não importa o número de vetores) possuem representantes pertencentes a um mesmo plano p, diz-se que eles são coplanares. 15

16 Soma de Vetores O vetor que liga a origem do primeiro à extremidade do segundo é o vetor soma (Regra do Polígono). Para subtrair invertemos o sentido do vetor que compor o sinal de menos.

17 Exemplo 1- No plano quadriculado a seguir, temos três vetores.qual é o módulo do vetor resultante da soma desses vetores?

18 Casos Particulares de Vetores: Se α=0 S=a+b Se α=90 S 2 =a 2 +b 2 Se α=120 e a=b Se α=180 S=a=b S=a-b Se α for um ângulo qualquer ( Lei dos Cossenos) S 2 =a 2 +b 2 +2.a.b.cosα

19 Exemplo Em um plano α, temos dois vetores de mesma origem formando um ângulo θ. Se os módulos de a e b são respectivamente iguais a 3u e 4 u determine o módulo do vetor em cada um dos seguintes casos abaixo. Além do calculo faça o desenho dos vetores de cada caso para elaborar sua resposta. a)θ =0 b) θ =60 c) θ =90 d)θ =180

20 Rosas dos Ventos

21 Exemplos 1- Uma esquiadora percorre 1,0 km do sul para norte e depois 2,0 km de oeste para leste em um campo horizontal coberto de neve. A que distância ela está do ponto de partida e em que direção.

22 2- Um escoteiro, ao fazer um exercício de marcha com seu pelotão, parte de um ponto P e sofre a seguinte sequência de deslocamentos listados abaixo para chegar a Q: I. 800 m para o Norte; II. 300 m para o Oeste; III. 400 m para o Sul.

23 Escolha uma escala conveniente e represente os deslocamentos, determine o deslocamento resultante.

24 Componentes de Vetor As componentes a x e a y de um vetor bidimensional em relação aos eixos de um sistema de coordenadas XY são obtidas traçando retas perpendiculares aos eixos a partir da origem e da extremidade de a. a x =a.cosθ a y =a.senθ

25 Exemplos 1- Determine as projeções do vetor nos eixos x e y calculando seus módulos logo em seguida. Dados: vetor a = 8 cm, cos 60º = 0,5 e sen 60 = 0,87. a

26 2-Uma partícula está sob a ação das forças coplanares conforme o esquema abaixo. A resultante delas é uma força, de intensidade, em N, igual a:

27 Vetores Unitários

28 Vetores Unitários Exemplo: Considere os vetores:

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30 Produto de um número real por um vetor

31 Produtos de Vetores Produto escalar de dois vetores A e B é designado por A.B=ABcosφ Produto vetorial de dois vetores a e b, c= absenφ, onde φ é o menor dos ângulos entre as direções de dois vetores.

32 Exemplo 03 Qual é o ângulo φ entre: