ROTEIRO: 1. Cap. 2 Plano Cartesiano; 2. Vetores.
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- Denílson Rios Gameiro
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1 ROTEIRO: 1. Cap. 2 Plano Cartesiano; 2. Vetores. Capítulo 2 Plano Cartesiano / Vetores: Plano Cartesiano Foi criado pelo matemático René Descartes, associando a geometria à álgebra. Desse modo, ele pôde representar graficamente suas expressões algébricas. A sua utilização mais simples é a de representarmos graficamente a localização de pontos em um determinado plano. Através dele também podemos representar um segmento de reta ou um triângulo, por exemplo. O plano cartesiano é composto de duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizontal e outra vertical. Damos no nome de eixo x ou eixo das abscissas à reta horizontal. À vertical denominamos de eixo y ou eixo das ordenadas. Representação de pontos no plano cartesiano: A representação de pontos nesse plano é feita com pares ordenados, onde o primeiro número se refere à abcissa (eixo x), e o segundo à ordenada (eixo y). Por exemplo o ponto (3,2) tem abcissa 3, e ordenada 2, e o símbolo (3,2) é um par ordenada. OBS: Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são diferentes, apenas se a = c, e b = d. Na figura abaixo, temos a representação do ponto P(-6,5). O ponto que representa o cruzamento dos eixos é chamado de origem do sistema de coordenadas cartesianas, sendo ele o ponto O(0,0). Quadrantes do plano cartesiano: Podemos ver na figura acima que os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes, dendo eles: o primeiro quadrante, o segundo quadrante, o terceiro quadrante e o quarto quadrante. todos os pontos no primeiro quadrante possuem x e y (ordenadas e abcissas) positivos. Ex.: (2,4); todos os pontos do segundo quadrante possuem x negativo e y positivo. Ex.: (-3,10); 1
2 todos os pontos no terceiro quadrante possuem ordenadas e abcissas negativas. Ex.: (-5,-7); todos os pontos do quarto quadrante possuem x positivo e y negativo. Ex.: (23,-9). Exercícios: 1) Represente os seguintes pontos no plano cartesiano: a) P(-6,5) b) Origem do sistema c) P(3, 1,5) d) P(5,-7) e) P(-5,5-3,3) 2) Responda em quais quadrantes encontram-se os seguintes pontos: a) P(3,3) primeiro quadrante b) P(-3,-3) terceiro c) P(-3,3) segundo d) P(3,-3) quarto e) P(0,0) origem f) P(-1,0) sobre o eixo x g) (0,-2) sobre o eixo y OBS: Observe que os três últimos pontos não pertencem a nenhum dos quatro quadrantes. Vetores: Uma grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. Grandezas físicas são aquelas que podem ser medidas. Elas podem ser escalares ou vetoriais. grandezas escalares são totalmente expressas por um valor e uma unidade. Ex.: temperatura, pressão, massa, calor, tempo, etc; grandezas vetoriais não são totalmente determinadas por um valor e uma unidade, havendo a necessidade de um módulo (número com unidade de medida), direção e sentido. Ex.: velolcidade, força, aceleração. Portanto, vetores são entes matemáticos, definidos por um valor real (módulo ou intensidade), associado a uma direção e um sentido. Representação gráfica de um vetor: Representamos um vetor por um segmento de reta orientado. O módulo do vetor representa o comprimento da seta. Representamos o vetor acima como V ou AB. módulo: comprimento da seta. Representado como A ; direção: reta que contém o vetor; sentido: orientação da seta. 2
3 Vetor oposto: É aquele que possui o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentido diferente. Soma de vetores: A soma de vetores gera um vetor chamado de resultante, e pode ser feita pelo modo gráfico ou pelo modo analítico. Método gráfico: 1) Regra do polígono: Ligam-se os vetores origem com a extremidade. O vetor soma / resultante, R, é o que tem origem na origem do primeiro vetor e extremidade na extremidade do último vetor. 2) Regra do paralelogramo: Os dois vetores a serem somandos devem estar unidos pela origem. 3
4 Método analítico: Podemos encontrar o módulo da resultante de dois vetores sabendo-se apenas o módulo dos dois vetores, e o ângulo entre eles. Sejam dois vetores A e B, que formam um ângulo θ entre si. 1) Se θ=0, os vetores são paralelos, e têm mesma direção e sentido. O módulo do resultante entre A e B será a soma dos módulos de A e de B. R = A + B. 2) Se θ=180, os vetores são paralelos, e têm mesma direção e sentidos opostos. O módulo da resultante entre A e B será o módulo da diferença entre eles. R= A B. 4
5 3) Se θ=90, os vetores são perpendiculares. O módulo da resultante pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras. R²= A² +B². 4) Se tiverem um ângulo qualquer: O vetor resultante será: R²= A² + B² +2. A. B. cos(θ). OBS: Subtração de dois vetotes V1 e V2. A subtração de V1 e V2 é o mesmo que a soma de V1 com (- V2). Decomposição vetorial: Dado um vetor A, podemos decompor, ou projeta-lo nos eixos x e y do plano cartesiano, onde: A x = A. cos(α) ; A y = A.sen(α). 5
6 Multiplicação de um vetor por um escalar: Se o escalar for positivo, multiplica-se o módulo do vetor pelo escalar, e mantém-se o sentido; se o escalar for negativo, multiplica-se o módulo do vetor pelo escalar, e muda-se o sentido. 6
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