GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS OPERAÇÕES ELEMENTARES

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2 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS OPERAÇÕES ELEMENTARES Diariamente nos deparamos com muitas grandezas físicas. Algumas dessas grandezas ficam perfeitamente definidas com um valor numérico e sua unidade de medida. É o caso, por exemplo, da temperatura. Quando dizemos que a temperatura ambiente é de 23º C, não precisamos de mais nenhuma informação para explicar esse fenômeno. No entanto, existem grandezas que, além do valor numérico e da unidade de medida, necessitam de uma direção e um sentido para que fiquem perfeitamente definidas. Por exemplo, a distância entre Goiânia (GO) e Brasília (DF) é de aproximadamente 170 km. Para chegarmos a Brasília, partindo de Goiânia, devemos percorrer cerca de 170 km, na direção nordeste e sentido Goiânia-Brasília. As grandezas que são definidas apenas pelo seu valor numérico e sua unidade de medida são chamadas de grandezas escalares. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) São grandezas escalares: Tempo, Temperatura, Volume, Massa, Trabalho de uma Força, etc. Aquelas que necessitam de uma direção e um sentido, além do valor numérico e da unidade de medida, são chamadas de grandezas vetoriais. As grandezas vetoriais são representadas por vetores. Vetor é um ente matemático caracterizado por possuir um sentido, uma direção e um módulo (intensidade). Graficamente, vetor é representado por uma reta orientada, indicado por uma letra sobre a qual colocamos uma seta. vetor força vetor aceleração vetor velocidade São grandezas vetoriais: Velocidade, Aceleração, Força, Deslocamento, Empuxo, Campo elétrico, Campo magnético, Força peso, etc. pág. 2

3 Operações com vetores A força utilizada para empurrar o carro na figura é uma grandeza vetorial e precisa ser descrita por módulo, direção e sentido Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo! Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. Existem outros tipos de grandezas que não precisam de toda essa descrição, por exemplo, se alguém pergunta as horas, basta você dizer que horas são e a informação já foi completamente passada. Essas são as grandezas escalares. Como as grandezas vetoriais e as escalares são diferentes, as operações com elas também são feitas de formas distintas. As grandezas vetoriais devem ser representadas por vetores, que são segmentos de reta com uma seta na ponta que demonstram o módulo, a direção e o sentido da grandeza. Veja a figura a seguir: Representação de um vetor O tamanho da reta representa o módulo (valor numérico) do vetor, a reta representa a direção da grandeza e a seta indica o sentido. As operações com vetores dependem da direção e do sentido entre eles. Para cada caso, utilizamos uma equação diferente. Veja a seguir as principais operações que podem ser realizadas com vetores: pág. 3

4 Vetores na mesma direção Para realizar operações com vetores na mesma direção, devemos inicialmente estabelecer um sentido como positivo e outro como negativo. Normalmente utilizamos como positivo o vetor que aponta para a direita, já o negativo é o vetor que aponta para a esquerda. Após convencionar os sinais, somamos algebricamente os seus módulos: Vetores na mesma direção e sentidos diferentes Os vetores a, b e c têm a mesma direção, porém o vetor c possui sentido contrário. Utilizando a convenção de sinais, temos a e b com sinais positivos e c com sinal negativo. Sendo assim, o módulo do vetor resultante d será dado pela equação: d = a + b - c Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) O sinal de d indica o sentido do vetor resultante: se d for positivo, seu sentido será para a direita; mas se for negativo, seu sentido será para a esquerda. Esse é apenas um exemplo de como resolver operações com vetores na mesma direção, mas a regra de sinais é válida sempre que houver vetores nessas condições. pág. 4

5 Vetores perpendiculares entre si Dois vetores são perpendiculares quando fazem um ângulo de 90º entre si. Suponha que um móvel saia do ponto A e vá na direção oeste, deslocando-se a uma distância d1 e chegando ao ponto B. Em seguida, ele sai do ponto B e vai até um ponto C, deslocando-se a uma distância d2agora na direção norte, conforme mostra a figura: Representação de vetores perpendiculares entre si O descolamento resultante do ponto A até o ponto C é representado pelo vetor d. Observe que a figura formada corresponde a um triângulo retângulo, em que os vetores d1 e d2 são os catetos e d é a hipotenusa. Sendo assim, podemos calcular o módulo de d através do Teorema de Pitágoras: d 2 = d1 2 + d2 2 Vetores em direções quaisquer Quando dois vetores fazem entre si um ângulo α, diferente de 90º, não é possível utilizar o Teorema de Pitágoras, mas as operações podem ser feitas através da regra do paralelogramo. A figura a seguir mostra o deslocamento resultante d de um móvel que saiu do ponto A e deslocou-se a uma distância d1, chegando ao ponto B; em seguida, ele deslocou-se a uma distância d2 até chegar ao ponto C: O deslocamento resultante d descreve um paralelogramo com d 1 e d 2 Como o deslocamento resultante d forma um paralelogramo com d1 e d2, ele deve ser calculado com a equação: pág. 5

6 d 2 = d1 2 + d d1d2 cosα (Regra do paralelogramo) EXERCÍCIOS 1. A soma de dois vetores de módulos 12N e 18N tem certamente módulo compreendido entre: a) 6 N e 18 N b) 6 N e 30 N c) 12 N e 18 N d) 12 N e 30 N e) 29 N e 31 N 2. Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza: a) escalar. b) algébrica. c) linear. d) vetorial. e) Nenhuma das anteriores 3. Duas forças, cujos módulos (intensidades) são diferentes de zero, atuam juntas sobre um ponto material. O módulo da resultante dessas forças será máximo quando o ângulo entre elas for: a) 0o b) 45o c) 60o d) 90o e) 180º 4. Quais das grandezas físicas, abaixo, são vetoriais? a) velocidade, deslocamento, massa, força, trabalho. b) pressão, velocidade, força, aceleração, deslocamento. c) energia, força, aceleração, quantidade de movimento. d) força, quantidade de movimento, aceleração, pressão e deslocamento. e) quantidade de movimento, força, aceleração, deslocamento e velocidade. pág. 6

7 5. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a : a) 4 b) um valor compreendido entre 12 e 16 c) 20 d) 28 e) um valor maior que Em uma partícula atuam duas forças de 50 N e 120 N, perpendiculares entre si. O valor da força resultante é : a) 130 N b) 170 N c) 70 N d) N e) 140N 7. Um avião movimenta-se para leste com velocidade constante de 600 km/h em relação à terra, enquanto um outro movimenta-se para norte, também com velocidade constante, em relação à terra, mas de módulo igual a 800 km/h. Qual o módulo da velocidade relativa entre os aviões? a) 1400 km/h b) 20 km/h c) km/h d) 1000 km/h e) 2800 km/h 8. Uma força de módulo 10 N e outra de módulo 12 N são aplicadas simultaneamente a um corpo. Qual das opções abaixo apresenta uma possível intensidade resultante dessas forças? a) 0 b) 1 N c) 15 N d) 24 N e) 120 N pág. 7

8 9. Um avião voa horizontalmente, passando sobre um observador no solo. Exatamente nesse instante, para o obser- FÍSICA 2º ANO IFSul Campus Visconde da Graça 4 vador, o som parece vir de um ponto atrás do avião, de uma direção que forma um ângulo de 30 com a vertical. A velocidade do avião é a) 0,866 vezes a velocidade do som. b) a metade da velocidade do som. c) a velocidade do som. d) duas vezes a velocidade do som. e) um terço da velocidade do som. 10. Sobre as grandezas fundamentais da mecânica, comprimento, massa e tempo, é correto afirmar que a) o comprimento é uma grandeza escalar e o tempo, uma grandeza vetorial. b) a massa é uma grandeza vetorial e o comprimento, uma grandeza escalar. c) o comprimento é uma grandeza vetorial e o tempo, uma grandeza escalar. d) o comprimento, a massa e o tempo são grandezas vetoriais. e) a massa, o tempo e o comprimento são grandezas escalares. 11. Assinale a alternativa que contém apenas grandezas vetoriais. a) Aceleração, velocidade, força, impulso, empuxo e trabalho. b) Trabalho, aceleração, campo magnético, força centrípeta e temperatura. c) Momento linear, campo magnético, campo elétrico e força. d) Quantidade de movimento, campo magnético, energia e tempo e) Energia, massa, peso, empuxo, campo elétrico e velocidade. 12. Cotidianamente as grandezas massa e peso são confundidas como se fossem exatamente iguais. Assinale a alternativa que indica corretamente a diferença entre massa e peso. a) A massa é a quantidade de matéria de um corpo, por isso, é uma grandeza vetorial. O peso é a força com a qual o corpo é atraído pela Terra, por isso, é uma grandeza escalar. b) O peso de um corpo é a força com a qual ele é atraído pela Terra, sendo, por essa razão, uma grandeza vetorial. A massa é a quantidade de matéria que compõe o corpo e é uma grandeza escalar. c) Massa e peso são grandezas vetoriais. A diferença é que a definição de peso leva em consideração a aceleração da gravidade. pág. 8

9 d) O peso é fruto do produto da massa pela gravidade, e a massa é fruto do produto do peso pela gravidade. e) Todas as alternativas estão incorretas. 13. Ao perguntar a diferença entre grandezas escalares e vetoriais, um professor de Física obteve as seguintes respostas: João: As grandezas escalares possuem apenas valores numéricos. Já as vetoriais possuem, além de valor numérico, direção e sentido. Força e aceleração são exemplos de grandezas vetoriais. Massa e empuxo são exemplos de grandezas escalares. Pedro: As vetoriais têm duas características: módulo e direção. As escalares possuem apenas valor numérico. Força e velocidade são vetoriais. Massa e tempo são escalares. A partir das respostas dos alunos, marque a alternativa correta: a) Pedro e João estão corretos. b) Somente João está correto. c) Somente Pedro está correto. d) João errou as definições e acertou os exemplos, e Pedro errou os exemplos e acertou as definições. e) João acertou as definições e errou ao dar os exemplos. Pedro acertou os exemplos e errou ao dar as definições. 14. A imagem a seguir mostra o deslocamento de uma partícula. Marque a alternativa correta sabendo que o caminho AB possui 3 mm, BC possui 4 mm e que as retas AB e BC são perpendiculares. a) O deslocamento vetorial da partícula é 7 mm. pág. 9

10 b) A distância total percorrida pela partícula é 7 mm, e o deslocamento é 5 mm. c) Tanto a distância total percorrida quanto o deslocamento da partícula são iguais a 7 mm. d) A determinação do deslocamento vetorial é dada pela soma das distâncias AB e BC. e) Mesmo que o ângulo entre as retas AB e BC fosse diferente, o deslocamento vetorial seria igual a 5 mm. 1. B 2. D 3. A 4. E 5. C 6. A 7. D 8. C 9. B 10. E 11. C 12. B 13. E 14. B pág.