CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Vetores. Claudenise Alves de Lima - Engenharia Civil

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Luiz Eduardo de Andrade de Mendonça
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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Vetores Claudenise Alves de Lima - Engenharia Civil

2 Definição O que é um vetor? Um vetor é um segmento de reta orientado, que representa uma grandeza vetorial e contém três informações : Módulo, direção e sentido. Módulo: Valor numérico mais unidade de medida, representada pelo comprimento do segmento; Direção: Dada pela inclinação da reta do segmento em referência a uma reta vertical ou horizontal. Sentido: É a orientação, numa mesma direção podemos ter dois sentidos possíveis. Por exemplo, numa direção horizontal temos os sentidos: da esquerda para a direita e da direita para a esquerda. 2

3 Grandezas Grandeza Escalar: É aquela que para sua perfeita determinação necessitamos de um número e de uma unidade de medida. Ex: Área, Tempo, Massa, Temperatura, etc... Grandeza Vetorial: É aquela que só fica completamente determinada por um número, uma unidade de medida, uma direção e um sentido. Ex: Força, Velocidade, Deslocamento, etc... 3

4 Situação Problema Considere a seguinte situação: o piloto de um barco a motor atravessa um rio com correnteza mantendo a proa do barco na direção vertical no sentido de baixo para cima. Saindo do ponto P ele atinge o ponto X na margem oposta, por que isso acontece? 4

5 Operações Vetoriais Para descrever esse tipo de movimento, necessita-se de operações vetoriais, que serão desenvolvidas com base na definição matemática de um vetor. Operações Vetoriais : Adição de vetores; Subtração de vetores; Decomposição de vetores; Multiplicação de um vetor por um escalar. 5

6 Adição Vetorial Regra do polígono Consiste em transportamos a e b de modo que a origem de um coincide com a extremidade do outro, sem modificar seus módulos, direção e sentidos. Ligamos a origem de a com a extremidade de b. O vetor a + b assim obtido é o vetor soma de a + b. 6

7 Adição Vetorial Regra do Paralelogramo Nesse método transportamos a e b de modo que suas origens coincidem, sem modificar seus módulos, direções e sentidos. Pela extremidade de cada vetor traça-se uma reta paralela ao outro, obtendo-se um paralelogramo. O vetor soma S corresponde à diagonal desse paralelogramo, com origem na origem comum de a e b. 7

8 Adição Vetorial Nessa regra, sendo α o ângulo formado entre as direções de a e b, o módulo do vetor soma S é dado por: റS = റa 2 + b റa b cos α 8

9 Subtração Vetorial Para efetuar a diferença entre dois vetores a e b, pode-se usar qualquer uma das regras descristas anteriormente, levando-se em conta que: S = a b = a + (-b) Ou seja, a diferença entre dois vetores é operada coma a soma do primeiro com o vetor oposto do segundo. Obs: -b é o oposto de b (vetor com o mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto ao de b ). 9

10 Multiplicação de um vetor por um escalar Consideramos um número real K 0 e um vetor a 0. O produto de K por a é um vetor w cujas características são : I m I = I K I x I a I A direção de w é a mesma de a. Se K > 0, w tem o mesmo sentido de a ; se K < 0, w tem sentido oposto ao de a. Observações: Se K = 0 ou a = 0, o produto deles é o vetor nulo. Se K = -1, o produto deles será o oposto de a. 10

11 Vamos praticar... Na figura, representamos dois vetores a e b de mesma origem e módulo 14 u e 16u respectivamente. Qual é o modulo do vetor soma de a com b? റS = റa 2 + b റa b cos 60 റS = cos 60 റS = 26 u 11

12 Decomposição Vetorial A decomposição vetorial é o processo inverso da adição de dois vetores ortogonais, ou seja, perpendiculares entre si. Na adição de dois vetores ortogonais, temos: b S a 12

13 Decomposição Vetorial Vamos efetuar o processo inverso dessa adição, ou seja, do vetor soma encontraremos os vetores ortogonais: y y Sy S S α α x Aplicando as relações trigonométricas do triangulo retângulo: Cos α = Sx/S Sx = Cos α. S Sen α = Sy/S Sy = Sen α. S Sx x 13

14 Vamos praticar... Decomponha a força P : 14

15 Vetor Velocidade Vetor velocidade média (Vm) Considere, nas trajetórias a seguir, o ponto de partida (P1) e o de chegada (P2) de um móvel. 15

16 Vetor Velocidade Nos esquemas anteriores : s representa o deslocamento escalar, medido com base na trajetória do móvel desde o espaço de partida até o de chegada. Assim, a velocidade escalar média é dada por: Vm = s/ t d representa o deslocamento vetorial, medido pelo vetor que une o ponto de partida ao ponto de chegada. Dessa maneira: Velocidade vetorial média Intensidade : Vm = IdI/ t Direção : a mesma de d Sentido : o mesmo de d 16

17 Vetor Velocidade Vetor velocidade instantânea (v) Em relação à velocidade vetorial instantânea (v) considere um móvel descrevendo uma trajetória curva. Em cada ponto da trajetória a velocidade vetorial é representada por um vetor, conforme mostra o esquema a seguir: Em cada ponto, o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória e obedece as seguintes condições: v Intensidade: A mesma da velocidade escalar instantânea Direção : tangente a trajetória Sentido : o mesmo do movimento 17

18 Vetor Aceleração A aceleração vetorial instantânea (a), que é a aceleração vetorial em cada ponto da trajetória, é representada por um vetor que pode formar um ângulo qualquer entre 0º e 180º com o vetor velocidade. α a 18

19 Vetor Aceleração O vetor aceleração vetorial pode ser decomposto em dois componentes, são eles: Vetor aceleração tangencial (at) Vetor aceleração centrípeta (ac) 19

20 Vetor Aceleração Aceleração Tangencial : A existência dessa aceleração significa que o módulo do vetor velocidade é variável. Portanto, a aceleração só existe nos movimentos variados, mas não nos movimentos uniformes. O vetor aceleração tangencial obedece as seguintes condições: at Intensidade : coincide com o módulo da velocidade escalar Direção : a mesma do vetor velocidade Sentido : o mesmo de v nos movimentos acelerados e contrário ao de v nos movimentos retardados 20

21 Vetor Aceleração Aceleração Centrípeta : A existência dessa aceleração significa que a direção do vetor velocidade é variável. Portanto a aceleração centrípeta existe nos movimentos curvilíneos, mas não existe nos movimentos retilíneos. O vetor aceleração centrípeta obedece as seguintes condições : ac Intensidade : ac = v²/r (em que r é o raio da trajetória curvilínea) Direção : radial (coincide com o raio da trajetória) Sentido : dirigida para o centro da curva 21

22 Características dos Movimentos Movimento retilíneo e uniforme v a = 0 at = 0 ac = 0 v Módulo : constante Direção : constante 22

23 Características dos Movimentos Movimento retilíneo uniformemente acelerado v at a = at at 0 ac = 0 v Módulo : aumenta Direção : constante 23

24 Características dos Movimentos Movimento retilíneo uniformemente retardado at v a = at at 0 ac = 0 v Módulo : diminui Direção : constante 24

25 Características dos Movimentos Movimento circular e uniforme v ac a = ac ac 0 at = 0 v Módulo : constante Direção : varia 25

26 Características dos Movimentos Movimento circular uniformemente acelerado v at ac a ac 0 a² = ac² + at² v at 0 Módulo : aumenta Direção : varia 26

27 Características dos Movimentos Movimento circular uniformemente retardado at v a ac ac 0 a² = ac² + at² v at 0 Módulo : diminui Direção : varia 27

28 Vamos praticar... HALLIDAY, vol 1, 8ed. Cap. 2 PR.3 Durante um espirro, os olhos podem se fechar por até 0,5 s. Se você está dirigindo um carro a 90 km/h e espirra, de quanto o carro pode se deslocar até você abrir novamente os olhos? V = S t S = V t S = ,5 = 12,5 m 28

29 Vamos praticar V B x V B = 82 km/h = 82 cos 60 = 41 km /h 29

30 Obrigado pela atenção!

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