1.1. REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR

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2 SUMÁRIO 1. VETORES REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR OPERAÇÕES COM VETORES 6 2. LEITURA OPCIONAL CINEMÁTICA VETORIAL DESLOCAMENTO DESLOCAMENTO ESCALAR DESLOCAMENTO VETORIAL VELOCIDADE MÉDIA VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA ACELERAÇÃO ACELERAÇÃO ESCALAR ACELERAÇÃO VETORIAL 18 EXERCÍCIOS DE COMBATE 19 GABARITO 33 2

3 CINEMÁTICA VETORIAL Nesse módulo estudaremos as grandezas deslocamento, velocidade e aceleração, dando a elas o tratamento vetorial e diferenciando do tratamento escalar. Para isso temos que, inicialmente, estudar vetores e as suas operações básicas. 1. VETORES Os vetores são entes matemáticos compostos de módulo, direção e sentido. Módulo é o seu tamanho (medida de comprimento do vetor), direção pode ser horizontal, vertical, e sentido, direita, esquerda, norte, sul. Com essas três informações, temos um vetor. As grandezas físicas podem ser vetoriais ou escalares. As vetoriais precisam de todas essas informações, como: velocidade, aceleração, força, torque, entre outras. Já as escalares, só precisam de um número, como: energia, temperatura, calor, trabalho e etc REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR Além do módulo do vetor, que é o seu tamanho, temos que colocar a sua direção e o seu sentido. Para isso, vamos usar os vetor unitário, cujo módulo é 1, e indicará a sua direção. É representado pelo sinal circunflexo. O sentido virá pelo sinal. Vetor unitário na direção x Vetor unitário na direção y Vetor unitário na direção z î : horizontal para direita ĵ : vertical para cima ˆk : saindo do papel î : horizontal para direita ˆ j: vertical para baixo k : entrando do papel VETOR UNITÁRIO Onde v é o módulo de vetor v. u v v v v v v x y z 3

4 Outra maneira de se representar um vetor, bastante usada na física, é a representação cartesiana. Por exemplo: v 2i ˆ 5kˆ É equivalente a: v 2, 0, 5 Além dessas duas representações, podemos usar os próprios eixos cartesianos, por exemplo, e representá-lo graficamente. z x y 4

5 EXEMPLOS: 1) Na figura abaixo temos um lançamento oblíquo. a) Qual é o vetor velocidade do projétil no instante inicial? b) Qual é o vetor velocidade do projétil em um instante de tempo t qualquer, sendo t menor que o tempo total do movimento? c) Qual é o vetor aceleração que o projétil está submetido? RESOLUÇÃO: ˆv (v cosα)i ˆ (v senα)j ˆ a) 0 0 ˆv (v cosα)i ˆ (v senα gt)j ˆ b) 0 0 c) a gj ˆ 2) Qual é o vetor unitário na direção do vetor v = (1, 2, 4)? RESOLUÇÃO: v (1, 2,4) û,, v

6 1.2. OPERAÇÕES COM VETORES a) SOMA No exemplo do lançamento oblíquo temos que os vetores v 0x (v cosα)i ˆ e v 0y (v senα)j ˆ são as projeções 0 0 ou decomposições do vetor na direções horizontal e vertical. Como a soma das decomposições é o próprio vetor, temos que:. v0x v0y v0 Usando Pitágoras, poderemos achar o módulo do vetor soma: v0 v0 y 0 0 nα) v0 x (v cosα) (v se Abaixo temos a representação geométrica do vetor soma a b. Transladando o vetor b após o a e transladando o a após o b, esses vetores arrastados se encontrarão em um ponto. Da origem dos vetores até esse ponto, teremos o vetor soma. Essa é a regra do paralelogramo. Usando a Lei dos Cossenos: 2 2 ab a b 2 a b cos Onde é o ângulo entre os vetores a e b. 6

7 EXEMPLO: Qual a soma dos vetores abaixo, ou seja, qual o vetor resultante? RESOLUÇÃO: Veja que: a 0, 6 ; b 4, 2 ; c 10,0 ; d 0,3 ; e 6,9 Fazendo s a b c d e Teremos: s , (8,4) 7

8 A soma é um vetor que parte da origem e ocupa 8 quadrados na horizontal e 4 na vertical, como a figura abaixo: Note que a b c d e s 0 Conhecida como regra do polígono. a) SUBTRAÇÃO Na figura abaixo temos a representação geométrica do vetor diferença a b. Para facilitar a visualização, vamos chamar o vetor a de A O e o vetor b de B O. Então: ab A O B O A B 8

9 Ou seja, o vetor diferença começa em B e termina em A. Se fosse b a seria B A, ou seja, apontaria para o sentido oposto ao a b. Logo: ab b a EXEMPLO 1: A posição inicial de uma partícula é (0,0,2) m e a posição final é (2,0,0) m. Qual é o vetor deslocamento e qual o valor de seu módulo? RESOLUÇÃO: ˆ ˆ S 2,0,0 0,0,2 2,0, 2 m ou (2i 2k)m e: S ( 2) 2 2m EXEMPLO 2: Mais para frente usaremos subtração vetorial para resolvermos exercícios que envolvem a grandeza vetorial momento linear ou quantidade de movimento p : p mv Onde m é a massa do móvel e v o seu vetor velocidade. v 108,0 km /h Vamos supor que uma bolinha de tênis, de 50 g, bate em uma parede com uma velocidade 0 e retorna com a mesma velocidade, em módulo. Qual é o módulo do vetor variação da quantidade de movimento p? 9

10 RESOLUÇÃO: Se retorna com a mesma velocidade, em módulo, podemos inferir que o vetor velocidade final vale: 108,0 Km 30,0 m v v v v0 30,0 30,0 60,0 m / s h s Então: p mv 0,05 60,0 ( 3,0)Kgm / s p 3Kgm / s Note que, quando temos vetores em sentidos opostos, o módulo do vetor subtração será a soma de seus módulos. O vetor 2i ˆ 2k ˆ pode ser escrito da seguinte forma: 2ˆi k ˆ. Quando multiplicamos um vetor por um escalar (número), todas as componentes são multiplicadas pelo escalar: v αuv (αu, αu, αu ) x y z EXEMPLO: Sabendo-se que o vetor força elétrica F E é o produto entre a carga (q) de uma partícula e o campo elétrico E que ela está submetida, qual é o vetor força elétrica que uma partícula de carga 2 μc sofre quando está em uma região cujo campo elétrico vale (10 3, 0, 0) N/C? RESOLUÇÃO: 3 3 E F q. E 2 10,0, ,0,0 N Ou seja, seu módulo vale , atua na direção horizontal e aponta para a direita. A unidade da grandeza força é N (Newton). 10

11 μ (micro) significa Ex.: 1 μm = 10 6 m. 2. LEITURA OPCIONAL A partir daqui o estudante irá ter contato com produto entre vetores. A leitura pode ser útil para entender com maior clareza conteúdos posteriores, como, por exemplo, as grandezas trabalho e torque. a) PRODUTO VETORIAL Várias grandezas físicas vetoriais são produtos vetoriais de outras grandezas vetoriais, por exemplo, força magnética F : M FM q v x B Onde q é a carga da partícula, v é o vetor velocidade da partícula que sofre a força magnética e B é o vetor campo magnético na região onde a partícula está se movimentando. OBS 1.: O produto de dois vetores dará um terceiro vetor, perpendicular aos outros dois. EXEMPLO 1: 6 Uma partícula de carga q = 5 μc e velocidade v 2. 10,0,0 m/s penetra em uma região de campo magnético B 0, 1,0 T. Qual é o vetor força magnética que a partícula está submetido? 11

12 RESOLUÇÃO: M 6 F q v x B ,0,0 x 0, 1,0 Para resolvermos esse produto vetorial v x B, vamos colocar os vetores sob forma de matriz: ˆi ˆj kˆ O produto vetorial é o determinante da matriz: ˆi ˆj kˆ kˆ Então: 6 FM 5μ kN ˆk ˆ Significa que a magnitude da força magnética é 10 N e aponta para dentro da folha do exercício. Veja que esse vetor é perpendicular ao vetor velocidade, que é horizontal, e ao vetor campo, que é vertical. Mais para frente, na Física 2, no capítulo de força magnética, vamos aprender um método mais simples para descobrirmos desse produto vetorial, conhecido como regra da mão direita / esquerda. OBS 2.: O produto vetorial é zero quando os dois vetores atuam na mesma direção, ou seja, são colineares e é máximo quando os vetores são ortogonais. EXEMPLO 2: Qual o produto vetorial entre os vetores u a, b, c e v d, e, f? 12

13 RESOLUÇÃO: ˆi ˆj kˆ u x v a b c bfi ˆ cdj ˆ aekˆ bdkˆ cei ˆ afj ˆ (bf ce, cd af, ae bd) d e f Note que, no produto vetorial, na direção î, não aparecem a e d, na direção ĵ, não aparecem b e e, e na direção ˆk não aprecem c e f, devido ao fato de o produto ser ortogonal aos vetores da operação. OBS 3.: O produto u x v v x u. ˆi ˆj kˆ v x u d e f ceˆi afˆj bdkˆ aekˆ bfˆi cdˆj ce bf,af cd,bd ae ux v a b c OBS 4.: O módulo do produto vetorial pode ser escrito como u x v u v sen, onde é o ângulo entre os vetores. Vamos voltar ao exemplo da força magnética: 2 6 FM q v x B 5μ sen 10N ESCALAR Várias grandezas físicas são escalares, oriundas de produto escalar entre duas grandezas vetoriais. Por exemplo, trabalho : F. S Onde F é a força aplicada no corpo e S, como já sabemos, é o vetor deslocamento do corpo. 13

14 OBS 1.: O produto escalar entre dois vetores colineares é o produto de seus módulos. Sendo assim: ˆi. ˆi ˆj. ˆj k ˆ. kˆ 1 OBS 2.: O produto escalar entre dois vetores ortogonais é zero. Sendo assim: ˆi. ˆj ˆi. kˆˆ j. kˆ 0 Generalizando: (a, b). (c, d) = ac + bd OBS 3.: Perceba que o produto escalar é comutativo: (c, d). (a, b) = ca + db = (a, b). (c, d) Logo: u. v v. u EXEMPLO: Uma caixa está apoiada em um piso horizontal e liso, em repouso. Ao sofre a atuação da força sofrendo um deslocamento F 10, 10, 0 N, trabalho realizado por essa força? S 20,0,0 m, após um intervalo de tempo qualquer. Qual é o RESOLUÇÃO: F. S 10, 10, 0. 20, 0, , 200J Mais tarde iremos estudar essa grandeza com mais detalhes. Podemos adiantar um pouco, e perceber que só há trabalho a força e o deslocamento estão na mesma direção. A componente na direção ĵ não realiza trabalho (não fez nenhuma diferença no nosso exercício, pois não houve deslocamento nessa direção). 14

15 OBS 4.: O produto escalar pode ser escrito como u. v u v cos, onde é o ângulo entre os vetores. No exemplo anterior: F. S cosα cos / J 2 Na figura acima temos a representação gráfica do vetor força. Veja que o ângulo entre o vetor e a horizontal, que é a direção do vetor deslocamento, vale /4 rad. Após essa primeira etapa, podemos estudar cinemática vetorial. 3. CINEMÁTICA VETORIAL 3.1. DESLOCAMENTO Veja a figura abaixo: Quando um móvel realiza uma curva de A para B, o seu deslocamento escalar (ΔS) é o tamanho da curva. Já o 15

16 deslocamento vetorial S é o módulo do vetor deslocamento. Nesse caso: 3.2. DESLOCAMENTO ESCALAR R S DESLOCAMENTO VETORIAL Podemos achar o módulo do vetor de duas maneiras: 1ª: ANALITICAMENTE: Vetor posição inicial S : S 0, R 0 0 Vetor posição final S : S R, 0 0 S S S R, 0 0, R R, R S R 2 2ª: GEOMETRICAMENTE: Como o vetor posição inicia-se em A e termina em B, podemos perceber que é a hipotenusa de um triângulo isósceles cujos lados iguais valem R, ou seja, seu módulo é R 2 O deslocamento vetorial é menor ou igual ao escalar for unidirecional, como comentado no 1º módulo. S S. Será igual se o movimento 16

17 4. VELOCIDADE MÉDIA A velocidade escalar média v m, é o deslocamento escalar realizado pelo móvel em um intervalo de tempo. Já a velocidade vetorial média v m é o deslocamento vetorial em um intervalo de tempo. Continuando com o exemplo acima: 4.1. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA v m S R t 2t 4.2. VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA v m S R 2 t t 5. ACELERAÇÃO Analogamente aos anteriores, a aceleração escalar (a) é a velocidade escalar média do móvel em um intervalo de tempo. Já a aceleração vetorial a é o vetor variação de velocidade em um intervalo de tempo. Temos, no nosso exemplo: 5.1. ACELERAÇÃO ESCALAR Nesse exemplo, temos que lembrar que, em uma curva, o móvel pode sofrer aceleração centrípeta e tangencial. Como a velocidade escalar é constante, não há aceleração escalar (tangencial). O fato de ser uma curva garante que o vetor velocidade (direção e sentido) muda, logo, há aceleração, a centrípeta (v 2 /R). atg 0 17

18 5.2. ACELERAÇÃO VETORIAL No ponto A o vetor velocidade aponta para a direita: A v v, 0 Já em B, é aponta para baixo: vb 0, v Logo: v v 2 v vb va 0, v v,0 v, v v v 2 a v t Onde v é a velocidade escalar do móvel. 18

19 1. (G1 - IFCE 2014) Se cada quadrado, na figura abaixo, tem lado 1, é correto afirmar-se que o vetor resultante mede a) 20. b) c) 5 2. d) e) (G1 - IFCE 2014) Suponha dois vetores que representam forças cujos módulos são de 12 N e 16 N e que o ângulo entre eles é de 60. O módulo do vetor resultante do produto vetorial entre estes dois vetores é, aproximadamente, (Considere sen(60 ) = 0,87 e cos(60 ) = 0,50) a) 20 N. b) 28 N. c) 96 N. d) 167 N. e) 192 N. 19

20 3. (AFA 2013) Sejam três vetores A, B e C. Os módulos dos vetores A e B são, respectivamente, 6u e 8u. O módulo do vetor S A B vale 10u, já o módulo do vetor D A C é nulo. Sendo o vetor R B C, tem-se que o módulo de F S R é igual a a) 16u b) 10u c) 8u d) 6u 4. (AFA 2012) Os vetores A e B, na figura abaixo, representam, respectivamente, a velocidade do vento e a velocidade de um avião em pleno voo, ambas medidas em relação ao solo. Sabendo-se que o movimento resultante do avião acontece em uma direção perpendicular à direção da velocidade do vento, tem-se que o cosseno do ângulo entre os vetores velocidades A e B vale a) b) B A A B c) A B d) A B 20

21 5. (G1 - IFPE 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A 4. i 3. j e B 1.i 1. j, em que i e j são vetores unitários? a) b) c) d) e) (EPCAR (AFA) 2011) Considere que dois vetores A e B fazem entre si um ângulo de 60, quando têm suas origens sobre um ponto em comum. Além disso, considere também, que o módulo de B é duas vezes maior que o de A, ou seja, B 2A. Sendo o vetor soma S A B e o vetor diferença D A B, a razão entre os módulos S D vale a) b) c) 7 d) 3 21

22 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um objeto é lançado da superfície da Terra verticalmente para cima e atinge a altura de 7,2m. (Considere o módulo da aceleração da gravidade igual a 2 10 m/ s e despreze a resistência do ar.) 7. (UFRGS 2011) Sobre o movimento do objeto, são feitas as seguintes afirmações. I. Durante a subida, os vetores velocidade e aceleração têm sentidos opostos. II. No ponto mais alto da trajetória, os vetores velocidade e aceleração são nulos. III. Durante a descida, os vetores velocidade e aceleração têm mesmo sentido. Quais estão corretas? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II. d) Apenas Ie III. e) Apenas II e III. 8. (G1 - CFTMG 2010) Considere os vetores A e B desenhados abaixo. A operação vetorial A - B está melhor representada pelo segmento orientado de reta em a) b) c) d) 22

23 9. (UEG 2009) Na figura a seguir, estão representados dois vetores ( a e b ) e dois vetores unitários (ˆ ˆ i e j ). Vetores unitários são vetores de módulo unitário e podem ser obtidos dividindo o próprio vetor pelo seu módulo. Assim, um vetor unitário na direção do vetor a é calculado como â = a a. Considerando as informações contidas no gráfico, responda ao que se pede: a) Escreva os vetores a e b em termos dos vetores unitários ˆ ˆ i e j. b) Obtenha o vetor soma ( s = a + b )em termos dos vetores unitários ˆ ˆ i e j. c) Represente o vetor s no plano xy indicado na figura. d) Graficamente, o vetor s obedece à regra do paralelogramo? Justifique. 10. (UEG 2008) Considerando que os vetores A, B e C satisfazem à equação vetorial A + B = C e seus módulos estão relacionados pela equação escalar A + B = C, responda ao que se pede. a) Como está orientado o vetor A em relação ao vetor B? Justifique o seu raciocínio. b) Considere agora que a relação entre os seus módulos seja dada por A 2 + B 2 = C 2. Qual seria a nova orientação do vetor B em relação ao vetor A? Justifique seu raciocínio. 23

24 11. (UFMG 2007) Dois barcos - I e II - movem-se, em um lago, com velocidade constante, de mesmo módulo, como representado na figura: Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas tracejadas indicam o sentido do deslocamento dos barcos. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do barco II, medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem representada pelo vetor a) P. b) Q. c) R. d) S. 12. (UFPB 2007) Dois corpos, A e B, de massas m A = 3 kg e m B = 2 kg, respectivamente, deslocam-se sem atrito sobre um plano horizontal. Inicialmente, seus vetores velocidade são v A = 3i + 2j e v B = -2i + 3j, onde i e j são, respectivamente, os vetores unitários, nas direções x e y, de um sistema cartesiano sobre o plano. Os valores das componentes são dados em m/s. Em um dado instante, os corpos colidem e o corpo A tem sua velocidade alterada para v' A = i + 3j. Nessas circunstâncias, o novo vetor velocidade do corpo B é: a) v' B = 1,5i + 2j b) v' B = i + 2j c) v' B = 2i + 1,5j d) v' B = i + 1,5j e) v' B = 1,5i - 2j 24

25 13. (G1 - cftce 2007) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e a) zero b) 20 c) 1 d) 2 e) (Ufpb 2007) Considere os vetores A, B e F, nos diagramas numerados de I a IV. Os diagramas que, corretamente, representam a relação vetorial F = A - B são apenas: a) I e III b) II e IV c) II e III d) III e IV e) I e IV 25

26 15. (Ufc 2006) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. a) CB + CD + DE = BA + EA b) BA + EA + CB = DE + CD c) EA - DE + CB = BA + CD d) EA - CB + DE = BA - CD e) BA - DE - CB = EA + CD 16. (Unesp 2003) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores deslocamentos d 1 e d 2 ilustrados na figura. Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra do ponto de partida é a) 4 km. b) 8 km. c) 2 19 km. d) 8 3 km. e) 16 km. 26

27 17. (UNIFESP 2002) Na figura, são dados os vetores a, e v. Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor g = a - + v tem módulo a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita. d) ( 2 )u, e sua orientação forma 45 com a horizontal, no sentido horário. e) ( 2 )u, e sua orientação forma 45 com a horizontal, no sentido anti-horário. 18. (UFRGS 2014) Um móvel percorre uma trajetória fechada, representada na figura abaixo, no sentido antihorário. Ao passar pela posição P, o móvel está freando. Assinale a alternativa que melhor indica, nessa posição, a orientação do vetor aceleração total do móvel. a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 27

28 19. (MACKENZIE 2012) Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste (NE), desloca-se 160 km para sudeste (SE). Sendo um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da velocidade vetorial média do avião, nesse tempo, foi de a) 320 km/h b) 480 km/h c) 540 km/h d) 640 km/h e) 800 km/h 20. (UESC 2011) Considere um móvel que percorre a metade de uma pista circular de raio igual a 10,0m em 10,0s. Adotando-se 2 como sendo 1,4 e igual a 3, é correto afirmar: a) O espaço percorrido pelo móvel é igual a 60,0m. b) O deslocamento vetorial do móvel tem módulo igual a 10,0m. c) A velocidade vetorial média do móvel tem módulo igual a 2,0m/s. d) O módulo da velocidade escalar média do móvel é igual a 1,5m/s. e) A velocidade vetorial média e a velocidade escalar média do móvel têm a mesma intensidade. 21. (UEPG 2011) Um projétil quando é lançado obliquamente, no vácuo, ele descreve uma trajetória parabólica. Essa trajetória é resultante de uma composição de dois movimentos independentes. Analisando a figura abaixo, que representa o movimento de um projétil lançado obliquamente, assinale o que for correto. 01) As componentes da velocidade do projétil, em qualquer instante nas direções x e y, são respectivamente dadas por V x = V 0.cos e V y = V 0. sen gt 02) As componentes do vetor posição do projétil, em qualquer instante, são dadas por, x = V 0. cos t e y = V 0. sen 1 2 gt2 04) O alcance do projétil na direção horizontal depende da velocidade e do ângulo de lançamento. V 0.sen 08) O tempo que o projétil permanece no ar é t 2 g 28

29 16) O projétil executa simultaneamente um movimento variado na direção vertical e um movimento uniforme na direção horizontal. 22. (ITA 2009) Na figura, um ciclista percorre o trecho AB com velocidade escalar média de 22,5 km/h e, em seguida, o trecho BC de 3,00 km de extensão. No retorno, ao passar em B, verifica ser de 20,0 km/h sua velocidade escalar média no percurso então percorrido, ABCB. Finalmente, ele chega em A perfazendo todo o percurso de ida e volta em 1,00 h, com velocidade escalar média de 24,0 km/h. Assinale o módulo v do vetor velocidade média referente ao percurso ABCB. a) v = 12,0 km/h b) v = 12,00 km/h c) v = 20,0 km/h d) v = 20, 00 km/h e) v = 36, 0 km/h 23. (ITA 2007) A figura mostra uma pista de corrida A B C D E F, com seus trechos retilíneos e circulares percorridos por um atleta desde o ponto A, de onde parte do repouso, até a chegada em F, onde para. Os trechos BC, CD e DE são percorridos com a mesma velocidade de módulo constante. Considere as seguintes afirmações: 29

30 I. O movimento do atleta é acelerado nos trechos AB, BC, DE e EF. II. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é o mesmo nos trechos AB e EF. III. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é para sudeste no trecho BC, e, para sudoeste, no DE. Então, está(ão) correta(s) a) apenas a I. b) apenas a I e ll. c) apenas a I e III. d) apenas a ll e III. e) todas. 24. (UNIFESP 2007) A trajetória de uma partícula, representada na figura, é um arco de circunferência de raio r = 2,0 m, percorrido com velocidade de módulo constante, v = 3,0 m/s. O módulo da aceleração vetorial dessa partícula nesse trecho, em m/s 2, é a) zero. b) 1,5. c) 3,0. d) 4,5. e) impossível de ser calculado. 25. (PUCPR 2004) Um ônibus percorre em 30 minutos as ruas de um bairro, de A até B, como mostra a figura: Considerando a distância entre duas ruas paralelas consecutivas igual a 100 m, analise as afirmações: 30

31 I. A velocidade vetorial média nesse percurso tem módulo 1 km/h. II. O ônibus percorre 1500 m entre os pontos A e B. III. O módulo do vetor deslocamento é 500 m. IV. A velocidade vetorial média do ônibus entre A e B tem módulo 3 km/h. Estão corretas: a) I e III. b) I e IV. c) III e IV. d) I e II. e) II e III. 26. (G1 - cftce 2004) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média é: 1 a) 3 2 b) 3 c) 1 3 d) 2 e) 2 31

32 27. (UERJ 2003) A velocidade vetorial média de um carro de Fórmula 1, em uma volta completa do circuito, corresponde a: a) 0 b) 24 c) 191 d) (FATEC 2003) Num certo instante, estão representadas a aceleração e a velocidade vetoriais de uma partícula. Os módulos dessas grandezas estão também indicados na figura. Dados: sen 60 = 0,87 cos 60 = 0,50 No instante considerado, o módulo da aceleração escalar, em m/s 2, e o raio de curvatura, em metros, são, respectivamente, a) 3,5 e 25 b) 2,0 e 2,8 c) 4,0 e 36 d) 2,0 e 29 e) 4,0 e 58 32

33 1. RESPOSTA: C 2. RESPOSTA: D 3. RESPOSTA: A 4. RESPOSTA: B RESPOSTA: A 7. RESPOSTA: D 8. RESPOSTA: D 9. a) O vetor a é quatro unidades para a direita (+ i ) e três unidades para cima ( j ). O vetor b é três unidades para esquerda (- i ) e duas unidades para cima ( j ). Assim: b) Fazendo a soma: ( a 4i ˆ 3j ˆ) cm e (b 3i 2 j ) cm. 33

34 a 4 i 3 j b 3i 2 j s a b (4i ˆ 3j) ˆ ( 3i ˆ 2j) ˆ (s ˆi 5 j) cm. c) d) Sim. Basta observarmos a figura para constarmos que o vetor S é uma unidade para a direita e cinco unidades para cima, ou seja: s i 4 j Portanto, o vetor s obedece à regra do paralelogramo. 10. a) O vetor A está orientado na mesma direção e sentido do vetor B, ou seja, os vetores A e B são paralelos. Quando os vetores se encontram na mesma direção e sentido, o módulo do vetor resultante (C) é obtido somando-se os seus módulos, ou seja, C = A + B. b) O vetor B está orientado em uma direção perpendicular ao vetor A. Quando os vetores são perpendiculares, a soma dos quadrados dos seus módulos é igual ao quadrado do módulo do vetor resultante, ou seja, C 2 = A 2 + B RESPOSTA: C 12. RESPOSTA: D 13. RESPOSTA: E 14. RESPOSTA: B 15. RESPOSTA: D 16. RESPOSTA: C 34

35 17. RESPOSTA: B 18. RESPOSTA: D 19. RESPOSTA: E 20. RESPOSTA: C RESPOSTA: A 23. RESPOSTA: E 24. RESPOSTA: D 25. RESPOSTA: A 26. RESPOSTA: D 27. RESPOSTA: A 28. RESPOSTA: D 35