FAP151-Fundamentos de Mecânica. Maio de 2009
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- Amanda das Neves Veiga
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1 FP11-Fundamentos de Mecânica. Maio de 9 7ª Lista de Exercícios. Movimento em duas e três dimensões. Lançamento de Projétil. Nos problemas que envolvem movimentos próximos à superfície da Terra e o valor da aceleração da gravidade, g, não for dado, use g =1 m/s se são fornecidos valores redondos para os demais dados e g = 9,8 m/s se os dados têm algarismos significativos. Entregar as soluções dos exercícios 17 e 7, apresentando todas as etapas necessárias para resolvêlos; não é suficiente fornecer as respostas. Movimento em duas dimensões 1) Um foguete está se movimentando no espaço com o motor desligado, indo da posição até a posição B. O foguete não sente efeito de nenhum planeta nem de qualquer outra causa de força externa. Na posição B o motor é ligado por s, enquanto o foguete vai da posição B até a posição C. a) Desenhe na figura ao lado a trajetória do foguete entre B e C. b) Em C o motor é desligado. Desenhe na figura a trajetória do foguete depois disso. Justifique suas respostas. B C ) (RHK E.4.3) Um objeto de 8, kg passa pela origem com velocidade igual a 4 m/s paralela ao eixo x. Ele experimenta uma força constante de 19 N na direção positiva do eixo y. Transcorridos 1 s, calcule: a) a velocidade e b) a posição do objeto. Cinemática vetorial 3) (RHK E.4.) Um barco veleja sobre a superfície de um lago congelado com aceleração constante produzida pelo vento. Em certo instante sua velocidade é 6,3i 8,43j, em m/s. Três segundos mais tarde o barco está momentaneamente com velocidade nula. Qual sua aceleração durante esse intervalo de tempo? 4) (RHK E.4.3) Uma partícula se move de maneira tal que a sua posição como uma função do tempo é: r(t) = i + B t j + C t k, onde = 1, m, B = 4, m/s, C = 1, m/s e i, j e k, são os versores nas direções dos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente. Determine: a) a velocidade da partícula em função do tempo. b) a aceleração da partícula em função do tempo. c) a forma da trajetória da partícula. ) Um corpo realiza um movimento no plano x y, com uma trajetória descrita pela figura ao lado. Ele move-se inicialmente de baixo para cima e depois da direita para a esquerda. o longo de toda a trajetória, o módulo da velocidade é constante e igual a 4 m/s. a) Escreva o vetor posição do corpo (r, r B, r C, r D, r E ) quando ele se encontra respectivamente nos pontos, B, C, D e E da trajetória. b) Determine os instantes t, t B, t C, t D, t E em que ele se encontra nesses pontos. c) Escreva o vetor posição r(t) que descreve o movimento do corpo ao longo de toda a trajetória. d) Faça os gráficos das projeções x(t) e y(t) em função do -3 tempo y (m) E D C B x (m) t= 1
2 y(m) 6) Um corpo realiza um movimento no plano x y em uma trajetória descrita pela figura ao lado. Ele move-se t = s 6 inicialmente da esquerda para a direita e depois de cima B C para baixo. o longo de toda a trajetória, o módulo da velocidade é constante e igual a m/s. a) Faça o gráfico da posição y como função do tempo t. b) Faça o gráfico da posição x como função do tempo t. c) Escreva o vetor posição do corpo (r, r B, r C, r D, r E ) quando ele se encontra, respectivamente, nos pontos,b,c e D da trajetória. D d) Determine os instantes (t, t B, t C, e t D ) em que ele se O encontra nesses pontos; e) Escreva o vetor posição r(t) que descreve o movimento do corpo ao longo de toda a trajetória; Obs.: quebra da trajetória em C não é totalmente razoável do ponto de vista físico porque a aceleração é infinita, mas foi imposta para facilitar seus cálculos; reflita se isso é didático e se é possível seguir uma trajetória semelhante na realidade. x(m) Lançamento de Projétil. Condições iniciais conhecidas 7) (RHK P.4.7) Uma pedra é projetada com velocidade 37m/s escalar inicial de 37 m/s, formando 6 o com a horizontal, para um penhasco de altura h, conforme a figura ao lado. pedra atinge o altiplano no ponto, s após o lançamento. Encontre: a) a altura do penhasco; b) a velocidade escalar da pedra logo antes do impacto em e c) a altura máxima H alcançada acima do chão. 6 o H h 8) (RHK P.4.4 modificado) Uma bola de beisebol deixa a mão do arremessador à velocidade de 148 km/h na direção horizontal. distância até o rebatedor é 18, m. a) Quanto tempo leva a bola para percorrer os primeiros 9,1 m (medidos horizontalmente)? E os próximos 9,1 m? b) Quanto ela cai verticalmente, sob a ação da gravidade, durante os primeiros 9,1 m? c) E durante os 9,1 m seguintes? d) Porque os valores determinados em b) e c) não são iguais? 9) (RHK E.4.1) Em um tubo de raios catódicos, um feixe de elétrons é projetado horizontalmente com velocidade igual a 9,6 1 8 cm/s na região entre um par de placas horizontais com,3 cm de comprimento. Um campo elétrico entre as placas causa nos elétrons uma aceleração constante para baixo de 9, cm/s. che: a) o tempo necessário para os elétrons percorrerem o comprimento das placas; b) o deslocamento vertical do feixe ao passar entre as placas e c) as componentes vertical e horizontal da velocidade dos elétrons do feixe ao emergirem das placas. 1) Uma bola é chutada de uma pequena elevação acima do solo a uma velocidade de 1, m/s que forma um ângulo de 1,º acima da horizontal. bola atinge o solo,8 s após o chute. Despreze a resistência do ar. Dados: g = 9,78 m/s ; sen 1º =,777; cos 1º =,69. a) Escreva as equações horárias dos movimentos horizontal e vertical da bola, especificando o sistema de referência usado. Quais são as componentes da aceleração da bola durante o vôo? b) Quais são as componentes da velocidade da bola no início e no final de sua trajetória? c) Qual é a altura da elevação da qual foi chutada?
3 d) Qual a distância horizontal percorrida pela bola? v sen θ e) Por que a expressão do alcance máximo R = não pode ser usado na pergunta d)? g 11) (RHK P.4.) Você atira uma bola com velocidade escalar de,3 m/s num ângulo de 6 o acima da horizontal e diretamente para uma parede, como mostra a figura abaixo. parede está a 1,8 m do ponto de onde a bola foi lançada. a) Quanto tempo a bola fica no ar antes de atingir a parede? b) que altura acima do ponto de onde foi atirada a bola atinge a parede? c) Quais as componentes horizontal e vertical de sua velocidade, quando 6 o atinge a parede? d) Ela passou pela altura máxima da sua 1,8 m trajetória antes de atingir a parede? 1) figura abaixo representa as posições em instantes sucessivos, a cada 4 segundos, de um avião que se desloca paralelamente ao solo e a m de altura, com velocidade constante e igual a 1 m/s. Em cada uma das posições, o avião larga uma bomba. Dê as respostas aos itens abaixo, justificando-as. a) Complete o desenho localizando as posições das bombas em cada um dos instantes assinalados. b) Represente as velocidades em cada instante. c) Represente as acelerações em cada instante. d) Faça b) e c) para o avião. e) Quais os aspectos fundamentais da lei da Inércia que estão envolvidos na questão?
4 13) (RHK P.4.8) a) Na obra de Galileu Duas Novas Ciências o autor afirma que para elevações (ângulos de lançamento) que estejam acima ou abaixo de 4 o por valores iguais, os alcances são iguais. Prove esta afirmação; veja a figura 4 da página 99 do Halliday. b) Para uma velocidade escalar inicial de 3 m/s e um alcance de m, encontre os dois ângulos possíveis de lançamento. Lançamento de Projétil. Determinar condições iniciais. 14) Em um conto policial, um corpo é encontrado 4, m afastado da base de um edifício e abaixo de uma janela aberta m acima. Você suspeitaria que a morte não tivesse sido acidental Por quê? 1) Um bombardeiro mergulha num ângulo de 6, o com a vertical e solta uma bomba de uma altura igual a 73 m. bomba atinge o solo,1 s mais tarde, errando o alvo. a) Qual a velocidade escalar do bombardeiro? b) Que distância a bomba percorreu horizontalmente durante o vôo? c) Quais eram as componentes vertical e horizontal de sua velocidade logo antes de atingir o solo? d) Com que velocidade escalar e em que ângulo a bomba atingiu o solo? 16) Um rifle tem velocidade de disparo de 46 m/s e atira uma bala num alvo situado a 46 m. que altura acima do alvo o rifle deve apontar para que a bala acerte nele? 17) Uma criança chuta uma bola colocada na marca de pênalti em direção ao gol. Desprezando a resistência do ar e o tamanho da bola: a) calcule a velocidade inicial da bola, lançada a 4º com a horizontal, para que ela alcance o gol, a 1,3 m do ponto onde foi chutada, batendo na linha de demarcação (altura = m); b) calcule a velocidade inicial da bola, lançada a 4º com a horizontal, para que ela passe exatamente acima do gol, a 1,3 m de distância horizontal e com, m de altura, e c) determine a faixa de velocidade inicial da bola que permite fazer o gol, se chutada a 4º. 18) (RHK E.4.19) Uma esfera é arremessada do solo para o ar. Um pouco depois do arremesso, quando está a 9,1 m de altura, a velocidade é v = (7,6 m/s) i + (6,1 m/s) j, onde i é o versor na direção horizontal e j é o versor na direção vertical, orientado para cima. a) Qual a altura máxima que a esfera alcança em relação ao ponto de lançamento? b) Qual é a distância horizontal total percorrida pela esfera? c) Qual é a velocidade da esfera (intensidade e direção) um instante antes de ela atingir o solo? 19) Uma criança chuta uma bola num campo de futebol. Desprezando a resistência do ar e descrevendo a bola por um ponto material, mostre que a componente vertical da velocidade da bola no ponto de impacto no solo é oposta à componente vertical da velocidade inicial. celeração constante diferente da gravidade ) (RHK E.4.4) Uma partícula deixa a origem O em t = s com velocidade inicial v = 3,6 i em m/s, onde i é o versor na direção do eixo Ox, horizontal. É submetida a uma aceleração constante a = 1, i 1,4 j, em m/s, onde j é o versor na direção vertical, orientado para cima. a) Em que instante a partícula alcança sua coordenada x máxima? b) Qual a velocidade da partícula nesse instante? c) Onde está a partícula nesse instante? 4
5 1) (RHK P.4.) Uma bola é abandonada (v = m/s) de uma altura igual a 39 m. O vento está soprando horizontalmente e imprime à bola uma aceleração horizontal constante de 1, m/s no sentido do vento. a) Mostre que a trajetória da bola é uma linha reta e encontre os valores de R e θ na figura ao lado. b) Quanto tempo a bola leva para atingir o solo? c) Com que velocidade a bola atinge o chão? y d B θ v a x 39 m vento R Duas partículas em um plano ) (RHK P.4.1) Uma partícula se move ao longo da linha y = d ( d = 3 m ) com velocidade constante v r ( v = 3, m/s ) paralela ao eixo x conforme figura ao lado. Outra partícula, B, parte da origem com velocidade nula e aceleração constante a r ( a =,4 m/s ) no mesmo instante em que a partícula passa pelo eixo y. Para que ângulo θ entre a r e o eixo positivo Oy haverá colisão entre essas duas partículas? Cinemática vetorial no lançamento de projéteis com atrito com o ar. 3 a 7) Enunciado para o conjunto desses exercícios. s figuras, B e C da próxima página representam as trajetórias de uma bola de futebol, com 43 g e 11 cm de diâmetro, chutada de forma que o módulo da velocidade inicial é m/s em um campo de futebol ao nível do mar (densidade do ar 1, g/l), em ângulos de 6 o (), 3 o (B) e 4 o (C), com g = 9,8 m/s. Essas trajetórias realistas foram calculadas usando uma força de atrito com o ar de módulo F = k v na direção da velocidade, mas em sentido oposto; k é uma constante calculada a partir dos dados acima e a equação foi resolvida numericamente. 3) Usando os pontos do gráfico da figura C, determine aproximadamente: a) a velocidade média entre cada par de pontos consecutivos e represente os vetores obtidos em um sistema de eixos em que a abscissa representa a velocidade horizontal e a ordenada a velocidade vertical, em uma escala em que cm correspondam a m/s. b) a partir do gráfico de velocidades do item anterior, a aceleração média entre instantes consecutivos e represente os vetores obtidos em um sistema de eixos em que a abscissa representa a aceleração horizontal e a ordenada, a aceleração vertical, em uma escala em que 1 cm corresponda a m/s. 4) Usando a trajetória da figura, determine aproximadamente a velocidade no instante 1, s a partir das posições nos instantes,7 s e 1, s, bem como as velocidades em, s e 3, s de maneira análoga. Represente os vetores obtidos em um sistema de eixo escolhido adequadamente, como no exercício 3. ) Usando a trajetória da figura B e o procedimento adotado no problema anterior, determine aproximadamente: a) a velocidade para os instantes de, a 1,8 s a cada, s e represente os vetores obtidos em um sistema de eixos escolhido adequadamente. b) a velocidade em t =,43 s a partir da velocidade média entre,3 e,43 s, e compare com a velocidade de lançamento qual componente da velocidade, a vertical ou a horizontal, é mais afetada pelo atrito com o ar? 6) partir do resultado do exercício anterior, determine a aceleração em função do tempo para a bola lançada a 3 o. Represente os vetores obtidos em um sistema de eixos escolhido adequadamente. 7) Usando a trajetória da figura, determine as grandezas discriminadas nos itens a seguir e compareas com os valores obtidos quando se despreza o atrito com o ar. a) posição de altura máxima. b) O alcance. c) O vetor velocidade da bola imediatamente antes do impacto d) O vetor aceleração da bola nos instantes 1,;, e 3, s. θ
6 y (m) 1 6º 1 x(m) B 3º 1 y(m) x(m) C 1 1 y(m) 1 s s 4º s 3 s 3,13 s 3,38 s x(m) 4 Nos diagramas acima, que estão em escala, os pontos representam as posições horizontal, x, e vertical, y, da bola a partir de t = s, escolhido como o instante em que a bola é lançada da origem do sistema de referencia com velocidade de módulo m/s. lguns dos pontos estão identificados pelo instante a que se referem, medidos em segundos a partir do lançamento. separação no tempo entre pontos consecutivos é t =, s nos diagramas e C e t =, s no diagrama B, à exceção dos pontos próximos ao ponto de queda, que estão marcados junto a eles pelas etiquetas de tempo. 6
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