MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES

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Elias Oliveira Monsanto
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1 CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: MECÂNICA E TERMODINÂMICA MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES Prof. Bruno Farias

2 Introdução Neste módulo continuaremos o estudo do movimento só que agora em duas ou três dimensões. Para isso usaremos explicitamente o conceito de vetores para descrever as grandezas: deslocamento, velocidade e aceleração.

3 Posição e Deslocamento r O vetor posição de uma partícula é um vetor desenhado a partir da origem de um sistema de coordenadas até a localização da partícula. Na notação dos vetores unitários: Por exemplo: r xiˆ yj ˆ zkˆ r 3 miˆ 2 mˆj 5 mkˆ

4 r r 2 A variação da posição da partícula, digamos de 1 para, é o vetor deslocamento: r r r 2 1 Na notação de vetores unitários: r ˆ ˆ x x i y y j z z k xi yj zk ˆ ˆ ˆ ˆ

5 Exemplo

6 Velocidade Média Se uma partícula sofre um deslocamento em um intervalo de tempo Δt, seu vetor velocidade média é dado por: v méd r t O vetor velocidade média e o vetor deslocamento têm a mesma direção. Na notação de vetores unitários, temos: r v med xiˆ yj ˆ t ykˆ x t iˆ y t ˆj z t kˆ

7 Exemplo

8 Velocidade Instantânea Definimos o vetor velocidade instantânea como o limite do vetor velocidade média quando Δt tendo a zero: v r dr lim t t dt A direção do vetor velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula e seu sentido é o do movimento da partícula..

9 v d dt r xiˆ E ainda podemos ter que: yj ˆ zkˆ, Lembrando que podemos escrever na forma: dx dt dy dt dz dt xiˆ yj ˆ zkˆ iˆ ˆj kˆ. v v dx dt iˆ dy dt ˆj dz dt kˆ v x iˆ v y ˆj v z kˆ. onde v x = dx/dt, v y = dy/dt e v z = dz/dt são as componentes x, y e z da velocidade:

11 Exemplo

12 Aceleração Média e Aceleração Instantânea Quando a velocidade de uma partícula varia de 1 para em um intervalo de tempo Δt, sua aceleração média durante Δt é dada por: v v t 2 1 a méd v t O vetor aceleração instantânea é o limite da razão acima quando Δt tende a zero, em outras palavras, é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo: a v dv lim t t dt. v v 2

13 Para escrevermos a aceleração instantânea em termos dos vetores unitários fazemos: a d dt ˆ ˆ ˆ x ˆ y ˆ z v i v j v k i j kˆ. x y z dv dt dv dt dv dt Logo: a dv dt x iˆ dv dt y ˆj dv dt z kˆ a x iˆ a y ˆj a z kˆ. onde a x = dv x /dt, a y = dv y /dt e a z = dv z /dt são as componentes x, y e z da velocidade:

15 Exemplo

16 Movimento de Projéteis Um projétil é qualquer corpo que se move em um plano vertical com uma velocidade inicial v e que segue uma trajetória determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade g. O movimento de projéteis também é conhecido como movimento balístico. g

17 Podemos considerar o movimento de um projétil como a combinação de um movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração constante.

18 Na análise do movimento de projéteis vamos desprezar a resistência do ar e usar os conhecimentos vetoriais para o movimento bidimensional. g A velocidade inicial com a qual o projétil é lançado pode ser escrita na forma: v v xi ˆ Se conhecermos o ângulo de lançamento θ podemos calcular as componentes v x e v y da seguinte forma: cos v y v x v v y vsen ˆj

19 Movimento Horizontal Como na direção horizontal a aceleração é nula a componente x da velocidade é constante e assim: v vx v x. Da equação acima temos que o deslocamento horizontal do projétil em um instante de tempo t é dado por: x x v t x. Lembrando que v x = v cosθ, temos: x. x v cos t

20 Movimento Vertical Como o movimento na direção vertical é realizado com a aceleração constante da gravidade, usaremos as equações já estudadas para a queda livre: vy v y gt 1 y 2 y v y t gt v v 2g y y y Lembrando que v y = v senθ, podemos escrever: y 2 v y v y y y v sen gt v sen t 2 1 gt 2 2g y y 2 v sen

21 Equação da Trajetória A trajetória de uma partícula em movimento balístico é parabólica e é dada pela equação: y 2 tan gx x 2 2 v cos, onde consideramos que x e y sendo nulos. O alcance horizontal R da partícula, que é a distância horizontal do ponto de lançamento ao ponto em que a partícula retorna à altura do ponto de lançamento, é dado por: R 2 v g sen2.

22 Efeito do Ar

23 Exemplo

24 Exemplo

25 Exemplo

26 Exercício

27 Movimento Circular Uniforme O movimento circular uniforme ocorre quando uma partícula percorre uma trajetória circular e sua velocidade escalar é constante. Apesar do módulo da velocidade ser constante, existe aceleração porque a direção do vetor velocidade varia com o tempo. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro, por isso é chamada de aceleração centrípeta.

28 A aceleração tem o módulo constante que é dada pela expressão: a v r 2 onde r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula.

29 O tempo gasto T para a partícula percorrer uma circunferência completa é chamado de período de revolução (ou simplesmente período) e é calculado através da equação: T 2r v onde 2πr é o comprimento da circunferência completa.

30 Exemplo

31 Exercício

32 Exercício

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