Curso Física 1. Aula - 4. Vetores

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1 Curso Física 1 Aula - 4 Vetores

2 Escalares e Vetores Uma quantidade escalar é completamente especificada por um único valor com uma unidade apropriada e não tem nenhuma direção especifica. Exemplos: - Distância percorrida (10 m, 22 km, 1.2 cm, etc) - Velocidade escalar média (0.3 m/s, 17.3 km/h, etc) - massa, carga elétrica, temperatura, etc - constantes (número pi, e, etc) Alguns escalares são sempre positivos (por exemplo massa) Outros podem ser positivos ou negativos (por exemplo carga elétrica) Regras da aritimética usual são usadas para manipular quantidades escalares.

3 Escalares e Vetores Uma quantidade vetorial é completamente descrita não só por um número (com as unidades apropriadas), mas é necessário também especificar uma direção e sentido. Exemplos: - Deslocamento (10 m, na direção Norte Sul, no sentido de Norte para Sul) - Velocidade (0.3 m/s, direção Leste-Oeste, sentido de Leste para Oeste)

4 Escalares e Vetores Uma quantidade vetorial é completamente descrita não só por um número (com as unidades apropriadas), mas é necessário também especificar uma direção e sentido. Exemplos: - Deslocamento (10 m, na direção Norte Sul, no sentido de Norte para Sul) - Velocidade (0.3 m/s, direção Leste-Oeste, sentido de Leste para Oeste) Vetores são usualmente representado por um segmento de reta orientado:

5 Exemplo de um vetor: Uma partícula se move do ponto A ao ponto B através do caminho mostrado pela linha pontilhada. O comprimento da linha pontilhada é a distância percorrida e é um escalar. O deslocamento é a linha sólida de A para B. O deslocamento é independente do caminho tomado entre os dois pontos. O deslocamento é um vetor.

6 Vetor: Sentido (para onde aponta a seta) Comprimento = magnitude (ou módulo) Direção (sobre a reta)

7 Vetor: Sentido (para onde aponta a seta) Comprimento = magnitude (ou módulo) Direção (sobre a reta) Notação: A, A, a, a, etc (letra com uma seta em cima, ou em negrito) Magnitude, ou módulo: A = A, A = A, etc. Note que a magnitude de um vetor é sempre um número positivo.

8 Propriedades dos Vetores (ou algebra dos deslocamentos) 1- Igualdade: dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo módulo, direção e sentido: b a a = b, a = b, os vetores a e b são vetores idênticos. Vetor a é diferente do vetor c, pois as magnitudes são diferentes (mesmo embora possuam a mesma direção e sentido). c d Vetor a é diferente do vetor d, tanto em módulo, direção e sentido.

9 2- Soma: Dados dois vetores a e b, a soma produz um terceiro vetor c a b

10 2- Soma: Dados dois vetores a e b, a soma produz um terceiro vetor c a b Para realizar a soma, mova um dos vetores sem mudar módulo, direção e sentido (== transporte paralelo) até que o início de um dos vetores encoste no final do outro. O vetor resultante é o vetor indo do início do primeiro vetor até o final do último vetor.

11 2- Soma: Dados dois vetores a e b, a soma produz um terceiro vetor c a b c a+b=c c é o vetor (ou deslocamento) resultante.

12 Quando está somando vários vetores, simplesmente repita o processo até que todos estejam incluídos. O vetor resultante ainda é desenhado como indo do inicio do primeiro vetor até o final do último vetor.

13 A soma é comutativa: Desenhe B e adicione A Quando dois vetores são adicionadas, a soma é independente da ordem de adição. Esta é a Lei da comutatividade da Adição. Desenhe A e adicione B

14 Quando adicionado três ou mais vetores, a soma deles é independente de como os vetores são agrupados. Esta é a chamada Lei da Associatividade.

15 3- O negativo de um vetor: Multiplicação de um vetor por -1 : A magnitude (módulo) e a direção permanecem as mesmas, mas a direção inverte. Vetor nulo:

16 4- Subtração de vetores: Subtrair um vetor é o mesmo que somar com o vetor inverso:

17 5- Multiplicação de um Vetor por um escalar: Multiplicar ou dividir um vetor por um escalar: O resultado de multiplicar ou dividir um vetor por um escalar é um vetor. A magnitude do vetor é multiplicada ou dividida pelo escalar. Se o escalar é positivo, o sentido do vetor resultante é o mesmo que o do vetor original. Se o escalar é negativo, o sentido do vetor resultante é oposto ao do vetor original.

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19 As Componentes de um Vetor: A componente é uma projeção de um vetor ao longo de um eixo. Qualquer vetor pode ser completamente descrito pelas suas componentes. É util usar componentes retangulares (ou cartesianas): e Estas são as projeções ao longo dos eixos x e y no caso de um vetor no espaço bidimensional (2D).

20 As Componentes de um Vetor: A componente é uma projeção de um vetor ao longo de um eixo. Qualquer vetor pode ser completamente descrito pelas suas componentes. É util usar componentes retangulares (ou cartesianas): e Estas são as projeções ao longo dos eixos x e y no caso de um vetor no espaço bidimensional (2D). Coordenadas polares:

21 Soma de vetores pelo método das componentes: A = (Ax, Ay) e B = (Bx, By) A + B = (Ax+Bx, Ay+By) = R Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By Ao somar vetores, somam-se as componentes cartesianas de cada um.

22 Vetores Unitários: Um vetor unitário é um vetor adimensional com magnitude exatamente igual a 1. Vetores unitários são usados para especificar uma direção e tem nenhum outro uso físico. Notação: â = a/ a, Â = A/ A, etc â = 1, Â = 1, etc

23 Vetores Unitários: Um vetor unitário é um vetor adimensional com magnitude extamente igual a 1 Vetores unitários são usados para especificar uma direção e tem nenhum outro uso físico. Notação: â = a/ a, Â = A/ A, etc â = 1, Â = 1, etc Vetores unitários cartesianos: y Em 2d: Em 3d: x

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25 O vetor posição:

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27 Se queremos somar vetores que estão na forma ai + bj, nós podemos simplesmente somar as componentes î e então as componentes ĵ : v 2i 5 j w 3i 4 j v w 2i 5 j 3i 4 j i j geometricamente: 3i w 5j v 2i i 4j j v w

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29 Extensão para 3D: r R Ax ˆi Ay ˆj Azkˆ Bx ˆi By ˆj Bzkˆ r R Ax Bx ˆi Ay By ˆj Az Bz kˆ r R Rx ˆi Ry ˆj Rzkˆ Rx= Ax+Bx, Ry= Ay+By, e Rz = Az+Bz

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36 Exemplo de Produto Escalar em Física: Considere a situação: uma força F é aplicada em um objeto para move-lo sobre uma superfície horizontal sem atrito, realizando um deslocamento d. Como F é aplicado no objeto, essa força vai fazer com que a velocidade do objeto aumente! Mas qual parte de F realmente causa o aumento de velocidade do objeto? É F cos θ, porque esta é a componente da força paralela ao deslocamento d. De fato, se você aplicar o produto escalar (ou produto ponto), você obtem ( F cos θ ) d, o que definimos como o "Trabalho". A B = A B cosθ W = F d = F d cosθ Trabalho é um tipo de energia e energia NÃO tem uma direção e sentido, esta é a razão pela qual Trabalho é um escalar (e então definido por meio do produto escalar, ou produto ponto).

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39 Cx Cy Cz

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41 Alguns Exemplos de Produto Vetorial em Física: Força sobre uma partícula carregada (carga elétrica q) que possui uma velocidade v e na presença de uma campo magnético uniforme B (força de Lorentz): Torque exercido sobre um objeto: = d1 X F1 Etc, etc, vários outros exemplos.

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45 =( = )+( )=

46 =( = )-( )=

47 =( = ).( )=

48 =( )X( )=

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