VETORES. Física. primeiro à extremidade do último vetor traçado. magnético.

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1 Prof. Paulino Mourão VETORES Física MARÇO/009 ursos C 1. GRANDEZAS FÍSICAS 3. SOMA DE VETORES º E.M. Master 11/03/ Grandezas Escalares São totalmente definidas somente por um valor numérico associado a uma unidade de medida. Exemplos: Tempo, massa, comprimento, temperatura, energia, carga elétrica, potencial elétrico, corrente elétrica, resistência elétrica, potência, calor específico, coeficiente de dilatação térmica. 1.. Grandezas Vetoriais São totalmente definidas por um valor numérico acompanhado de uma unidade de medida, direção e sentidos. A soma de vetores pode ser feita através de três métodos: a regra do polígono, a do paralelogramo e a dos componentes vetoriais Regra do Polígono A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer número de vetores, para a sua aplicação, devemos colocar os vetores de modo que: A origem do segundo vetor coincida com a extremidade do primeiro; A origem do terceiro vetor coincida com a extremidade do segundo e, assim, sucessivamente.? Exemplos: Deslocamento, força, torque, aceleração, O vetor soma é determinado ligando-se a origem do quantidade de movimento, impulso, campo elétrico, campo primeiro à extremidade do último vetor traçado. magnético. Atenção! Observe a figura: Não confunda direção com sentido. Uma reta define uma direção e a essa direção podemos associar dois sentidos.. VETORES Um vetor é representado por um segmento de reta orientado, onde possui: uma origem ( A ) e extremidade ( B ). Figura 1 Observações: Figura s a b c d e Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores A figura 1 ilustra o vetor AB que tem direção horizontal, parcelas não altera a soma. sentido da esquerda para a direita e módulo dado pelo a b c d e a c d e b comprimento AB. O vetor AB também pode ser designado por uma única letra minúscula d Se o polígono formado pelos vetores for fechado, ou seja, a extremidade do último coincidir com a origem do primeiro, Observações: então o vetor soma é nulo Dois vetores a e b são iguais se, e somente se, apresentarem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido: a b Figura 3 Se dois vetores a e b, possuem o mesmo módulo, a s a b c 0 mesma direção, mas sentidos contrários, eles representam A regra do período também pode ser usada no caso de vetores opostos: a b adição e subtração simultâneas de vetores. s=a + b c ou s= a + b + ( c) 01

2 Quando o ângulo entre dois vetores for 0, 90 ou 180 existem expressões simplificadas para a determinação do vetor soma. Adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido ( ): 0 Figura Regra do Paralelogramo A regra do paralelogramo é aplicada somente à adição de dois vetores. Essa regra permite determinar o módulo do vetor soma para qualquer que seja o ângulo entre os vetores somados. Dados dois vetores, a e b, o vetor s (soma) é obtido do seguinte modo: Sem alterar o módulo, a direção e o sentido de ca da vetor, desenhamos os dois vetores com suas origens coincidentes a partir da extremidade do vetor a, traçamos um segmento de reta paralelo ao vetor b. Em seguida, a partir da extremidade do vetor b, traçamos um outro, paralelo ao vetor a. Figura 7 s a b Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos contrários ( ): 180 Figura 8 s a b Adição de dois vetores perpendiculares entre si ( ): 90 Figura 5 O vetor soma ( s ) é obtido ligando-se o ponto origem comum dos vetores ao ponto de cruzamento dos segmentos de reta traçados: Figura 9 s a b Figura 6 Sendo o ângulo entre os vetores a e b, o módulo do vetor soma é dado por: s a b a b cos Mas 180 então cos, portanto, Observação: s a b a b cos O ângulo entre dois vetores é definido como o menor ângulo determinado por eles quando dispostos origem com origem, portanto o ângulo entre a e b é e não. Casos Particulares: Observações: O valor máximo para o módulo do vetor soma se obtém para a soma de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido: s a b O valor mínimo para o módulo do vetor soma se obtém para a soma de dois vetores de mesma direção e sentidos contrários: s a b O módulo do vetor soma pode assumir todos os valores compreendidos entre o valor máximo e valor mínimo. o 0

3 Exercício Resolvido: Figura 10 a b s a b Se um avião que se desloca de oeste para leste com velocidade v 800km /h for atingido por um vento de velocidade v 1 70km/h, a velocidade resultante v do avião será obtida efetuando- se a adição dos vetores v 1 e v, conforme o sentido do vento. v v v 1 v v v 803km/h 3.3. Regra dos Componentes Vetoriais Todo vetor pode ser representado por dois outros vetores, perpendiculares entre si. A estes vetores denominamos componentes ortogonais do vetor dado. a) Se o vento sopra de oeste para leste: Figura 11 v v v 1 v v 870km/h b) Se o vento sopra de leste para oeste: A lei dos senos, pode ser muito útil no estudo dos vetores. Figura 1 v v v 1 v v 730km/h c) Se o vento sopra de norte para sul: A lei dos senos estabelece que: Observação: a b c sen sen sen 180 sen sen 03

4 4. SUBTRAÇÃO DE VETORES O vetor diferença entre a e b ( d a b ) pode ser obtido pela soma do vetor a com o oposto de b : d a b d a b. O oposto do vetor b, ou seja, o vetor b, tem o mesmo módulo e mesma direção de b, porém sentido contrário. Figura 14 a b ax bx ay by a b a cos bcos a sen bsen Figura 13 O módulo de d também fica determinado pela lei dos cossenos. d a b a b cos 5. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR O produto de um número real vetor A é um vetor B tal que: Módulo: B n A Direção: A mesma de A n, não nulo, por um Sentido: O mesmo de A se n for positivo e oposto ao de A se n for negativo. Observações: Observe que F m a, assim podemos observar que como a massa m de um corpo é sempre positiva concluímos que a força e a aceleração estarão sempre na mesma direção e sentidos. Observe que FE q E, assim podemos observar que se q 0, F E e E terão a mesma direção e sentidos, mas se q 0, F E e E terão a mesma sentidos opostos. Tópico Avançado direção e a b a b cos cos sen sen cos a b a b cos a b a b cos é uma grandeza escalar. A grandeza trabalho (W) é obtida do produto escalar da força pelo deslocamento. Por essa razão, o trabalho é escalar. W F d W F d cos 6.1. Propriedades do produto escalar a) comutativa: a b b a b) associativa em relação a um escalar: c) distributividade: d) quadrado de um vetor: c a b c a b a c b a b c a b ac a a a e) ortogonalidade de vetores: Se a e b 0 e a b 0 a b 6. PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES É a operação entre dois vetores que resulta um número escalar. É indicado por ab e definido por: 6.. Produto vetorial de dois vetores É a operação de produto entre vetores de grandezas diferentes que resulta num vetor de uma grandeza física diferente das originais. 04

5 Figura 15 O vetor a b aparece na direção perpendicular ao plano determinado por a e b ; seu módulo é dado por: a b a b sen O sentido do vetor produto a b pode ser obtido pela regra da mão direita : mantém- se a mão direita de forma que os dedos se curvem seguindo a rotação de a para b, o polegar dará o sentido de a b. APLICAÇÕES O produto vetorial ocorre na definição de torque e momento angular. O produto vetorial também pode ser utilizado para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica e do desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação, dentre outros Propriedades do produto vetorial a) anticomutativa: a b b a a 1 i 7 j b 4 i 0 j c 0 i 3 j d i 0 j Anotações... Figura 16 S 3 i 4j b) associativa em relação a um escalar: c a b c a b a c b c) distributividade: a b c a b a c d) produto vetorial de um vetor por ele mesmo e) paralelismo de vetores: a a 0 Se a e b 0 e a b 0 a b EXERCÍCIOS DE CLASSE 01. (UEPG PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 0 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza: a) Escalar b) Algébrica c) Linear d) vetorial e) n.d.a. 7. VERSORES Os vetores de bases, chamados de versores, são unitários. Usaremos o versor i para a direção horizontal e o versor j para a direção vertical, sendo i j Suponha dois vetores de mesmo módulo v. A respeito da soma desses vetores, podemos afirmar que: a) pode ter módulo v 10 05

6 b) pode ter módulo v c) tem módulo v d) é nula 05. (Unifor/1998.1) As forças F 1, F e F 3, cujas intensidades são, respectivamente,,0 N, 6,0 N e 3,0 N, têm direções coincidentes com as arestas de um bloco retangular, conforme esquema abaixo. e) tem módulo v 03. (UFC-006) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. A intensidade da resultante dessas três forças vale, em newtons, a) 3,7 b) 5,5 c) 7,0 d) 9,3 e) 11 a) CB + CD + DE = BA + EA b) BA + EA + CB = DE + CD c) EA DE + CB = BA + CD d) EA CB + DE = BA CD e) BA DE CB = EA + CD 06. Determine o vetor resultante nos casos abaixo. Todas as figuras são polígonos regulares de lado v. 04. (Mackenzie -SP) O vetor resultante da soma de AB, BE e CA é: a) AE c) CD e) BC b) AD d) CE 07. Duas forças cujos módulos valem F 1 e F, estão aplicadas sobre uma partícula de modo que a força resultante é perpendicular a F 1. Se F tem o dobro do módulo de F 1, então o ângulo entre elas vale: a) 30 b) 60 c) 90 d) 10 e) Dois vetores perpendiculares a e b são tais que: a b 17 e a b

7 Determine os módulos de a e b sabendo que a b. a) c) a 1 b 5 ; b) a 3 b 10 ; d) e) n.r.a. a 5 ; b 1 a 10 b 3 ; 09. (UnB-DF) Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no centro do relógio e direção variável. O módulo da soma dos três vetores determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio marca exatamente 1 horas, 1 h e 0 minutos e, por fim, 1 horas e 40 minutos é, em cm, igual a: a) 30 b) c) 0 d) zero 10. (UnB -DF) Ao se determinar a resultante de seis vetores de mesmo módulo k, pelo método do polígono, foi obtido um hexágono regular dando resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles, alternadamente, a resultante terá módulo igual a: a) k b) 3k c) 3 k d) zero a) são corretas apenas a (I) e a (II). b) são corretas apenas a (II) e a (III). c) são corretas apenas a (I) e a (III). d) são todas corretas. e) há apenas uma correta. 1. (UFTMA) figura apresenta uma árvore vetorial cuja resultante da soma de todos os vetores representados tem módulo, em cm, igual a: a) 8. b) 6 c) 34. d) 40. e) Na figura abaixo estão representados os vetores a e b, com a 5 e b 8. e) 6k 11. (Fatec-SP) No gráfico anexo estão re presentados três vetores a, b e c. Os vetores i e j são unitários. Analise as expressões: a) Determine o módulo do vetor s tal que s a b. b) Determine o ângulo entre os vetores a e s. (I) a i 3j (II) b j 14. (FACS - BA) Considerando o conjunto de vetores representado abaixo, dê o valor verdadeiro (V) ou falso (F) para as sentenças a seguir: (III) b c 1 i Podemos afirmar que: 07

8 e) a 7 c 3 b 6 d 9 a) y z s b) x w y z c) y w z x d) s x u v e) u v s x 0 u x y z v 0 f) f) g) x y 10 a b c A figura ilustra 3 vetores apoiados num cubo de aresta a. 3 A resultante desses três vetores tem módulo: a) 6 b) 10 c) 1 d) 14 e) Na figura abaixo estão representados os vetores a e x, com x 10 e a 6. Determine o vetor w tal que x a w. EXERCÍCIOS DE CASA 01. Em cada caso a seguir, determine o módulo da resultante dos vetores dados: 13 a) a b 7 15 b) a b 7 5 c) x y (Fund. Carlos Chagas -SP) A figura mostra três vetores, A, B e C. De acordo com a figura podemos afirmar que: a) A B C 0 b) A B C c) B A C d) A B C e) A B C d) a 4 b (Fund. Carlos Chagas -SP) Qual é a relação entre os vetores M, N, P e R representados na figura? 08

9 a) M N P R 0 b) P M R N c) P R M N d) P R M N e) P R N M Marque a opção que melhor representa a resultante dessas dez forças. a) c) b) d) a) 40u b) 3u c) 4 u d) 16 u e) zero 05. Com seis vetores de módulos iguais a 8 u, construiuse o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: 08. Dois vetores de módulos iguais são tais que o módulo da soma deles vale (x) e, o módulo da diferença vale (y). Pode- se afirmar que cada um deles vale: x y b) x y a) c) x y d) x y 06. (UFC 1999) Na figura abaixo, onde o reticulado forma quadrados de lados 0,5cm, estão a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e),0 desenhados 10 vetores contidos no plano xy. O módulo da soma de todos esses vetores é, em centímetros: 09. (Cesgranrio-RJ) Na figura abaixo estão representados os vetores a, b e c e os versores i e j. Assinale a sentença errada: a) b j b) a 3 i c) c i j d) c a b e) c 10. No esquema, estão representados os vetores v 1, v, v 3 e v 4. A relação vetorial correta entre esses valores é: 07. (UECE 005./) Considere as 10 forças representadas pelos vetores na figura. a) v v v v b) v v v v

10 c) v v v v d) v v v. 1 4 e) v v v Determine em cada caso a expressão vetorial que relaciona os vetores a, b e c. 11. Seis vetores fecham um hexágono regular, dando resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles, alternadamente, a resultante terá módulo: a) igual ao de um vetor componente; 15. (Unifor) A figura mostra 3 forças F 1, F e F 3 de intensidades iguais a 6 N, 3 N e N. A resultante dessas forças tem intensidade: b) vezes o módulo de um vetor componente; c) 3 vezes o módulo de um vetor componente; d) 3 vezes o módulo de um vetor componente; e) nulo. 1. Na figura, estão representadas quatro forças, F 1, F, F 3 e F 4, de intensidades iguais a N, superpostas às diagonais dos quadrados em que estão inseridos. a) 3 N b) 4 N c) 5 N d) 7 N e) 11 N A intensidade da resultante dessas quatro forças é igual a: a) 0. b) 1 N. c) N. d) 4 N. e) 8 N. 13. Dados os vetores a e b representados na figura, determine o módulo de: a) s a b; b) d a b. 10