JOSÉ ROBERTO RIBEIRO JÚNIOR. 9 de Outubro de 2017

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1 9 de Outubro de 2017

2 Vetores Ferramenta matemática que é utilizada nas seguintes disciplinas dos cursos de Engenharia: Física; Mecânica Resistência dos materiais Fenômenos do transporte

3 Consideremos um segmento AB, podemos supor que este segmento é um caminho no qual uma determinada partícula irá percorrer. Desde que não altere o sentido da trajetória da partícula sobre o segmento, teremos as seguintes possibilidades: 1 a. A partícula sai de A e chega em B. 2 a. A partícula saí de B e chega em A. Podemos representar o sentido da trajetória da partícula sobre o segmento AB por uma seta. A partir de agora, todo segmento que for xada um sentido (orientação), chamaremos de segmento orientado.

4 Denotaremos o segmento orientado da 1 a possibilidade, citada acima, como o segmento orientado AB; e o trajeto citado na 2 a possibilidade, como o segmento orientado BA. Figura: Segmento e segmentos orientados.

5 Exemplo Dado o segmento orientado AB, temos que A é a origem e B é a extremidade. Enquanto que, no segmento orientado BA, temos que B é a origem e A é a extremidade. O segmento orientado cuja origem e a extremidade são iguais é chamado segmento nulo. Logo, os segmentos orientados AA, BB, MM e NN são todos exemplos de segmentos nulos.

6 Denição Dizemos que dois segmentos orientados AB e DC têm a mesma direção,ou são paralelos, quando os segmentos AB e DC estão sobre retas paralelas ou retas coincidentes. Figura: Segmentos com a mesma direção

7 Quando os segmentos orientados possuem a mesma direção, podemos compará-los quanto ao sentido. Dizendo que eles têm o mesmo sentido ou sentido contrário. Além da direção e do sentido de um segmento orientado, podemos destacar o seu comprimento. Denição Dado um segmento orientado AB, denimos o seu comprimento como sendo o comprimento do segmento AB.

8 Denição Dizemos que dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando eles são segmentos nulos ou eles têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. E denotaremos por AB CD quando os segmentos AB e CD são equipolentes.

9 Propriedades de equipolência i) AB AB. ii) Se AB CD, então CD AB. iii) Se AB CD e CD EF, então AB EF. iv) Para qualquer segmento orientado AB e ponto C qualquer, existe um único D tal que AB CD.

10 Denição Denimos o vetor AB, o qual denotamos por AB, como sendo o conjunto formado por todos os segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado AB. Isto é, AB = {MN; MN um segmento orientado e MN AB}. O vetor também pode ser representado por letras minúsculas com uma seta acima. Usualmente as letras mais utilizadas são u e v com a seta acima.

11 Observações: i) AB = CD se, e somente se, AB CD. ii) Se CD v, então v = CD. iii) Dado um vetor v e um ponto C qualquer, existe um ponto D tal que v = CD. O item ii) da observação, nos diz que todos os elementos do vetor, podem representá-lo. Logo, quando tivermos CD v, dizemos que o segmento CD é um representante do vetor v.

12 Denição Dado um vetor v denimos a norma de v, que denotamos por v,como sendo o comprimento de qualquer um dos seus representantes. Quando v = 1, dizemos que v é um vetor unitário.

13 Denição Dados vetores u e v, dizemos que u e v têm a mesma direção, ou são paralelos, quando os representantes de u forem paralelos aos representantes de v. IMPORTANTE: Para determinar um vetor é necessário e suciente que seja determinado sua norma, sua direção e o seu sentido.

14 Denição Dado um vetor v não nulo, denimos o versor do vetor v como sendo o vetor unitário que têm a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor v. Figura: Versor de v

15 Adição entre vetores Considere os vetores u e v, digamos que AB seja um representante de u, existe um representante de v que tem origem em B, digamos que a extremidade desse representante seja o ponto C. Denimos a soma dos vetores u e v, que denotamos por u + v, como sendo o vetor que tem como representante o segmento orientado com a origem igual a origem do representante do primeiro vetor e a extremidade igual a extremidade do representante do segundo vetor. Ou seja, u + v = AC.

16 Figura: Soma de vetores.

17 Exercício 4.1. Dados os vetores u, w e v, abaixo, obtenha os vetores u + v, u + w, u + v + w e v + w.

18 Multiplicação de um escalar por um vetor Dado um vetor v, denimos a multiplicação de um escalar k (número) pelo vetor v, como sendo o vetor k. v, cuja norma de k. v é igual à k. v ; direção de k. v é igual à direção do vetor v ; e o sentido de k. v é igual ao sentido do vetor v, se k > 0; e o sentido de k. v tem o sentido oposto do vetor v, se k < 0.

19 Figura: Multiplicação de um escalar por um vetor.

20 Exercício 4.2. Dados os vetores u e v, abaixo, obtenha os vetores 1. u, 1. v, 2. u, 3. v, 2. u e 3. v.

21 Diferença entre vetores Denimos a diferença entre os vetores u e v, que denotamos por u v, como sendo o vetor u + ( 1. v). Figura: Diferença de vetores.

22 Exercício 4.3. Dados os vetores u, w e v, abaixo, obtenha os vetores u v, u w, v u e v w.

23 Ângulo entre Vetores Denição Dados vetores v e u, chamamos de ângulo entre os vetores v e u o menor ângulo formado por quaisquer representantes dos vetores v e u que possuam a mesma origem. Figura: Ângulo entre os vetores v e u. Denição Dizemos que dois vetores v e u são ortogonais se, e somente

24 Exemplo Obtenha o ângulo entre os vetores v e u, representados abaixo.

25 Solução: Uma maneira de obter o ângulo é construir um triângulo com os representantes dos vetores v, u e v u e utilizar a lei do cosseno.

26 Temos que v = = 2 2; u = 4; e v u = = 2 2. Logo, pela lei do cosseno, temos O que implica que v u 2 = v 2 + u 2 2.cos(θ). v. u.

27 ( 2 ( 2 2 2) = 2 2) cos(θ) ou ou 8 = cos(θ) cos(θ). 2 = 16 ou cos(θ) = 16 = 16 2 ( ) 2 Portanto, θ = arc cos = 45 o

28 Exercício 4.4. Determine o ângulo entre os vetores v e u, onde

29 Projeção Ortogonal Denição Dados os vetores v = AB e u = r e s, onde r contém os pontos A e C, e s contém o ponto B AC, podemos criar duas retas e é perpendicular a reta r. O ponto de intersecção entre as duas retas r e s, B, é denominado projeção ortogonal de B sobre r. E o vetor AB é denominado projeção ortogonal de v sobre u ou, simplesmente, projeção de v sobre u, o qual denota-se por proj. v u.

30 Figura: Ângulo entre os vetores v e u.

31 Exercício 4.5 Represente a projeção do vetor v sobre o vetor u, onde

32 Vetores no Plano Denição Dado um vetor qualquer v no plano, denimos a expressão analítica do vetor v como sendo as coordenadas da extremidade do segmento orientado que tem origem no ponto O(0, 0) que representa o vetor v. Ou seja, se v = OA com A(x 1, y 1 ), então (x 1, y 1 ) é a expressão analítica do vetor v, e escrevemos v = (x 1, y 1 ).

33 Figura: Expressão analítica do vetor v. Também dizemos que x 1 e y 1 são as coordenadas do vetor v, sendo que a primeira coordenada chamamos de abscissa; e a segunda coordenada chamamos de ordenada.

34 Exemplo Dado o vetor v = OA, onde A(2, 3) e O(0, 0), temos que a expressão analítica de v é v = (2, 3). Além disso, temos que 2 é a abscissa de v ; e 3 é a ordenada de v.

35 Denotamos o vetor (1, 0) por i; e o vetor (0, 1) por j. Tais vetores são chamados vetores canônicos do plano. Figura: Vetores canônicos do plano.

36 Igualdade entre vetores Denição Dados dois vetores u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ), dizemos que u e v são vetores iguais, o que denota-se por u = v se, e somente se, x 1 = x 2 e y 1 = y 2. Exemplo Dados os vetores u = (n + 2m, 5) e v = (6, m + 1), determine o valor de m e n para que a igualdade seja satisfeita v = u.

37 Solução: Temos que v = u (n + 2m, 5) = (6, m + 1) Resolvendo o sistema, obtemos m = 4 e n = 2. { n + 2m = 6 5 = m + 1

38 Exercício 4.6. Determine a expressão analítica sabendo que v = u, onde a) v = (m, 4) e u = (m, 2m) b) v = (m 2, 5) e u = (9, n) c) v = ( m, n) e u = (n, 3) d) v = (m 2, m) e u = (5, m) Resposta: a) v = (2, 4) b) v = (3, 5) c) v = (9, 3) d) v = (5, 7)

39 Adição de Vetores Denição Sejam u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) dois vetores, denimos a soma de u por v, que denotamos por u + v, como sendo o vetor u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ).

40 Exemplo Dados os vetores u = (1, 2) e v = (5, 1), temos que u + v = (1, 2) + (5, 1) u + v = (1 + 5, 2 + ( 1)) u + v = (6, 1). Exercício 4.7. Dados os vetores u 1 = (3, 4), u 2 = ( 1 2, 3) e u 3 = (37, 9). Calcule: a) u 1 + u 2 b) u 1 + u 3 c) u 2 + u 3 Resposta: a) ( 7 2, 1) b) (40, 5) c) ( 75 2, 12)

41 Multiplicação de um escalar por um vetor Denição Seja u = (x 1, y 1 ) um vetor e qualquer c R 2, denimos a multiplicação de c por u, que denotamos por c. u ou c u, como sendo o vetor c. u = (c.x 1, c.y 1 ).

42 Exemplo Dado o vetor u = (1, 2), temos que 4. u = 4.(1, 2) = (4.1, 4.2) = (4, 8). Exercício 4.8. Dados os vetores u 1 = (3, 4), u 2 = ( 1, 3) e 2 u 3 = (37, 9). Calcule: a) 5. u 1 b) 3. u 1 c) 0. u 2 d) π. u 2 e) 1. u 3 4 Resposta: a) (15, 20) b) ( 9, 12) c) (0, 0) d) ( π 2, 3π) e) ( 37 4, 9 4).

43 Diferença entre Vetores Denição Sejam u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) dois vetores, denimos a diferença de u por v, que denotamos por u v, como sendo o vetor u ( v) = u + ( 1. v) o que equivale a u v = (x 1 x 2, y 1 y 2 ).

44 Exemplo Dados os vetores u = (1, 2) e v = (5, 1), temos que u v = (1, 2) (5, 1) u v = (1 5, 2 ( 1)) u v = ( 4, 3).

45 Exercício 4.9. Dados os vetores u 1 = (3, 4), u 2 = ( 1, 3) e 2 u 3 = (37, 9). Calcule: Resposta: a) ( 5 a) u 1 u 2 b) u 1 u 3 c) u 2 u 3 d) u 2 u 1 e) u 3 u 2 f ) u 3 u 1, 7) b) ( 34, 13) c) ( 63, 6) 2 2 d) ( 5, 7) e) ( 63, 6) f ) (34, 13) 2 2

46 ???????????????????????????????? Como obter, de forma algébrica, a expressão analítica de um vetor MN qualquer?????????????????????????????????

47 Para responder a esta indagação basta observar que MN = MO + ON = OM + ON = ON OM = N M. Figura: Decomposição de um vetor como diferença de dois vetores com origem no ponto O.

48 Exemplo Dados os pontos A(3, 2) e B(5, 2), temos que AB = B A, ou seja, AB = (5, 2) (3, 2) = (2, 4). Exercício Obtenha a expressão analítica do vetor AB, onde a) A(3, 5) e B(8, 8) b) A(2, 1) e B( 2, 0) c) A(7, 3) e B( 5, 2) d) A( 1, 1) e B( 1, Resposta: a) AB = (5, 3) b) AB = ( 4, 1) d) AB = ( 1, 1 4 3). c) AB = ( 12, 1)

49 Norma e versor de um vetor Denição Dado um vetor v = (x, y) R 2, chamamos de norma do vetor v ou módulo do vetor v, que denotamos por v, o número real v = x 2 + y 2.

50 Exemplo Se v = (3, 5), então v = = = 34. Exercício Calcule a norma dos seguintes vetores: a) v = (3, 4) b) v = (2, 4) c) v = ( 6, 8) d) v = (8, 16) e) v = ( 1, 3) f ) v = (4, 12) g) v = (5, 3) h) v = (15, 9) Resposta: a) v = 5 b) v = 2 5 c) v = 10 d) v = 8 5 e) v = 10 f ) v = 4 10 g) v = 34 h) v = 3 34

51 Denição Dado um vetor v = (x, y) R 2, não nulo, chamamos de versor do vetor v, é o vetor ( ) 1 x v. v = v, y. v

52 Exercício Obtenha o versor dos seguintes vetores: a) v = (3, 4) b) v = (2, 4) c) v = ( 6, 8) d) v = (8, 16) e) v = ( 1, 3) f ) v = (4, 12) g) v = (5, 3) h) v = (15, 9) Resposta: a) ( ) 3 d) g) ( 5, ( 5, 2 5 ) , ) b) e) h) ( 5 ( 10 ( 5, ) 10 ), , ) c) ( 3, ) 4 5 f ) ( , 3 10 )

53 Vetores no Espaço Denição Dado um vetor qualquer v no espaço, denimos a expressão analítica do vetor v como sendo as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor v, que tem origem no ponto O(0, 0, 0). Ou seja, se v = OA com A(x 1, y 1, z 1 ), então (x 1, y 1, z 1 ) é a expressão analítica do vetor v, e escrevemos v = (x 1, y 1, z 1 ). Também dizemos que x 1, y 1 e z 1 são as coordenadas do vetor v, sendo que a primeira coordenada chamamos de abscissa; a segunda coordenada chamamos de ordenada; e a terceira coordenada chamamos de cota.

54 Denotamos o vetor (1, 0, 0) por i; o vetor (0, 1, 0) por j; e o vetor (0, 0, 1) por k. Tais vetores são chamados vetores canônicos do espaço. Figura: Vetores canônicos do espaço. Para vetores no espaço, denimos adição de vetores,

55 Igualdade entre vetores Denição Dados dois vetores u = (x 1, y 1, z 1 ) e u = (x 2, y 2, z 2 ), dizemos que u e v são vetores iguais, o que denota-se por u = v se, e somente se, x 1 = x 2, y 1 = y 2 e z 1 = z 2.

56 Exemplo Dados os vetores u = (n + m, 5, 6) e v = (6, n 1, 2n m), determine o valor de m e n para que a igualdade seja satisfeita v = u. Solução: Temos que v = u (n+m, 5, 6) = (6, n 1, 2n m) Resolvendo o sistema, obtemos m = 2 e n = 4. n + m = 6 5 = n 1 6 = 2n m

57 Exercício Determine a expressão analítica sabendo que v = u, onde a) v = (m, m 2, m 3 ) e u = (m, m, 27) b) v = (m + 1, 5, m) e u = (n, n + 2, m) c) v = (a + b + c, a + 2c, b) e u = (2, b, a) d) v = ( m, n, 3m) e u = ( 2, 2, m + n) n m n Resposta: a) v = ( 3, 9, 27) b) v = (3, 5, 2) c) v = (2, 1, 1) d) v = ( 1, 2, 6) 2

58 Adição de Vetores Denição Sejam u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) dois vetores, denimos a soma de u por v, que denotamos por u + v, como sendo o vetor u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2,, z 1 +, z 2 ). Exemplo Dados os vetores u = (1, 2, 5) e v = (5, 1, 2), temos que u + v = (1, 2, 5) + (5, 1, 2) u + v = (1 + 5, 2 + ( 1), 5 + 2) u + v = (6, 1, 7).

59 Exercício Dados os vetores u 1 = (3, 4, 2), u 2 = ( 1 2, 3, 2 3 ) e u 3 = (37, 9, 0). Calcule: a) u 1 + u 2 b) u 1 + u 3 c) u 2 + u 3 Resposta: a) ( 7, 1, ) ( b) (40, 5, 2) c) 65, 12, ) 2 2 3

60 Multiplicação de um escalar por Vetores Denição Seja u = (x 1, y 1, z 1 ) um vetor e qualquer c R, denimos a multiplicação de c por u, que denotamos por c. u ou c u, como sendo o vetor c. u = (c.x 1, c.y 1, c.z 1 ). Exemplo Dado o vetor u = (1, 2, 3), temos que 4. u = 4.(1, 2, 3) = (4.1, 4.2, 4.( 3)) = (4, 8, 12).

61 Exercício Dados os vetores u 1 = (3, 4, 6), u 2 = ( 1 2, 3, 2 3 ) e u 3 = (37, 9, 0). Calcule: a) 5. u 1 b) 3. u 1 c) 0. u 2 d) π. u 2 e) 32. u 3 Resposta: a) (15, 20, 30) b) ( 9, 12, 18) c) (0, 0, 0) d) ( π, 3π, ) 2π e) (1184, 288, 0) 2 3

62 Diferença entre Vetores Denição Sejam u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) dois vetores, denimos a diferença de u por v, que denotamos por u v, como sendo o vetor u ( v) = u + ( 1. v) o que equivale a u v = (x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ).

63 Exemplo Dados os vetores u = (1, 2, 4) e v = (5, 1, 8), temos que u v = (1, 2, 4) (5, 1, 8) u v = (1 5, 2 ( 1), 4 8) u v = ( 4, 3, 4).

64 Exercício Dados os vetores u 1 = (3, 4, 6), u 2 = ( 1 2, 3, 2 3 ) e u 3 = (37, 9, 0). Calcule: Resposta: a) ( 5, 7, ) d) ( 5 16, 7, 2 3 a) u 1 u 2 b) u 1 u 3 c) u 2 u 3 d) u 2 u 1 e) u 3 u 2 f ) u 3 u 1 b) ( 34, 13, 6) c) ( 63, 6, ) 2, 6, ) f ) (34, 13, 6) 2 3 ) e) ( 63

65 Através da diferença entre vetores obtemos a expressão analítica de um vetor AB qualquer. Se A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ), então AB = OB OA = B A = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ).

66 Exemplo Dado o vetor v = OA, onde A(2, 3, 5), temos que a expressão analítica de v é v = (2, 3, 5). Além disso, temos que 2 é a abscissa de v ; 3 é a ordenada de v ; e 5 é a cota de v. Exemplo Dados os pontos A(3, 2, 0) e B(5, 2, 6), temos que AB = B A = (5, 2, 6) (3, 2, 0) = (2, 4, 6).

67 Exercício Obtenha a expressão analítica do vetor AB, onde a) A(3, 2, 1) e B(2, 3, 2) b) A(4, 5, 1) e B(3, 4, 9) c) A(11, 10, 8) e B(0, 2, 1) d) A( 3, 2, 0) e B(6, 6, 6) Resposta: a) AB = ( 1, 1, 1) c) AB = ( 11, 12, 7) b) AB = ( 1, 9, 10) d) AB = (9, 4, 6)

68 Norma e versor de um vetor Denição Dado um vetor v = (x, y, z) R 3, chamamos de norma do vetor v ou módulo do vetor v, que denotamos por v, o número real v = x 2 + y 2 + z 2. Exemplo Se v = ( 3, 2, 1), então v = ( 3) = = 14.

69 Exercício Calcule a norma dos seguintes vetores: a) v = (3, 4, 2) b) v = (2, 4, 4) c) v = ( 6, 8, 3) d) v = (8, 2, 1) e) v = ( 1, 3, 2) f ) v = (1, 2, 2) g) v = (5, 3, 1) h) v = (1, 0, 8) Resposta: a) v = 29 b) v = 6 c) v = 109 d) v = 69 e) v = 14 f ) v = 3 g) v = 35 h) v = 3

70 Denição Dado um vetor v = (x, y, z) R 3, chamamos de versor do vetor v, o vetor ( 1 x v. v = v, y v, ) z. v

71 Exercício Obtenha o versor dos seguintes vetores: a) v = (3, 4, 2) b) v = (2, 4, 4) c) v = ( 6, 8, 3) d) v = (8, 2, 1) e) v = ( 1, 3, 2) f ) v = (1, 2, 2) g) v = (5, 3, 1) h) v = (1, 0, 8) Resposta: ( 3 29 a), 4 29 c) ( ( e) g) , 8 ( 35 7, 3 14, 3 29, ), ) , 35, ) ) b) ( 1, 2, ) ( 8 69 d), 2 69 f ) ( 1, 2, ) ( 1 h), 0, , ) )