MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA

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1 Nona E 2 Estática CAPÍTULO MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Notas de Aula: J. Walt Oler Teas Tech Universit das Partículas

2 Conteúdo Introdução Resultante de Duas Forças Vetores A de Vetores Resultante de Várias Forças Concorrentes Problema Resolvido 2.1 Problema Resolvido 2.2 Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários A de Forças pela Soma dos Componentes Problema Resolvido 2.3 Equilíbrio de uma Partícula Diagramas de Corpo Livre Problema Resolvido 2.4 Problema Resolvido 2.6 Componentes Retangulares no Espaço Problema Resolvido

3 Introdução O objetivo desta parte é analisar o efeito de forças que atuam sobre partículas: - substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma única força equivalente ou resultante, - analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula que está em estado de equilíbrio. O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos. Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de aplicação. 2-3

4 Resultante de Duas Forças Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu sentido. Evidências eperimentais mostram que o efeito conjunto de duas forças pode ser representado por uma única força resultante. A resultante de duas forças é equivalente à diagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes. Força é uma grandeza vetorial. 2-4

5 Vetores Vetores: epressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Eemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações. Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não têm direção. Eemplos: massa, volume e temperatura. Classificações de vetores: - Vetores fios têm pontos de aplicação bem definidos e não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema. - Vetores livres podem se mover livremente no espaço sem que se alterem as condições do Problema. - Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema. Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido. O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua mesma intensidade e sentido oposto. 2-5

6 A de Vetores Regra do paralelogramo para soma de vetores Regra do triângulo para soma de vetores Lei dos cossenos, B C C 2 2 R P Q R P Q Lei dos senos, 2 2PQ cos B B sena P senb senc R Q A a de vetores é comutativa, P Q Q P Subtração de vetores 2-6

7 A de Vetores Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo. Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores. A a de vetores é associativa, P Q S P Q S P Q S Multiplicação de um vetor por um escalar. 2-7

8 Resultante de Várias Forças Concorrentes Forças concorrentes: conjunto de forças que passam por um mesmo ponto. Um conjunto de forças concorrentes aplicadas em uma partícula pode ser substituído por uma única força resultante que é o vetor equivalente à soma das forças aplicadas. Componentes do vetor força: dois ou mais vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que um único vetor. 2-8

9 Problema Resolvido 2.1 SOLUÇÃO: Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmas direções de P e Q desenhados em escala. Avaliamos graficamente a resultante que é equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo. As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante. Solução trigonométrica usamos a regra do triângulo para soma de vetores em conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultante de P e Q. 2-9

10 Problema Resolvido 2.1 Solução gráfica - Um paralelogramo com lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (diagonal do paralelogramo) são medidos, R 98 N 35 Solução gráfica Um triângulo é desenhado com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (terceiro lado do triângulo) são medidos, R 98 N

11 Problema Resolvido 2.1 Solução trigonométrica Aplicamos a regra do triângulo. B= 180 o 25 o =155 o. Pela lei dos cossenos, R P Q 2PQ cos B N 60N 240N60Ncos155 R 97,73N Pela lei dos senos, sen A sen B Q R sen A A 15,04 α Q sen B R sen N 97,73N 20 A 35,

12 Problema Resolvido 2.2 Uma barcaça é puada por dois rebocadores. Se a resultante das forças eercidas pelos rebocadores é N dirigida ao longo do eio da barcaça, determine: a) A força de tração em cada um dos cabos para = 45 o, b) O valor de para o qual a tração no cabo 2 é mínima. SOLUÇÃO: Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eio da barcaça com comprimento proporcional a N. Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da resultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para encontrar as trações nos cabos. O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando-se a Regra do Triângulo e observando o efeito de variações em. 2-12

13 Problema Resolvido 2.2 Solução gráfica Aplicamos a regra do paralelogramo conhecendo a direção e a intensidade da resultante e as direções dos lados T N T N Solução trigonométrica - Regra do triângulo e Lei dos Senos T1 T N sen45 sen30 sen105 T N T N 2-13

14 Problema Resolvido 2.2 O ângulo para tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando a regra do triângulo e observando o efeito de variações em. A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T 1 e T 2 são perpendiculares T 2 ( N)sen 30 T N T Ncos T N 2-14

15 Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários Pode-se decompor uma força em dois componentes perpendiculares de forma que o paralelogramo resultante é um retângulo. F são chamados de e F componentes retangulares e F F F Definimos então os vetores unitários perpendiculares que são paralelos aos eios e. i e j Os componentes de um vetor podem ser epressos como produtos dos vetores unitários pelas intensidades dos componentes do vetor. F F i F j F e F são chamados de componentes escalares de F. 2-15

16 ona A de Forças pela Soma dos Componentes 2-16 S Q P R Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes, j S Q P i S Q P j S i S j Q i Q j P i P j R i R Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares F S Q P R Os componentes escalares da resultante são iguais à soma dos componentes escalares correspondentes das forças dadas. F S Q P R R R R R R arctg 2 2 Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,

17 Problema Resolvido 2.3 SOLUÇÃO: Decompomos cada força em componentes retangulares. Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso. Calculamos a intensidade e a direção da resultante. 2-17

18 Problema Resolvido 2.3 SOLUÇÃO: Decompomos cada força em componentes retangulares. Força F1 F2 F3 F 4 Intens.(N) Comp. (N) Comp.,(N) R R Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças. Calculamos a intensidade e a direção da resultante. R tg 2 199,1 14,3N 199,1N 14,3 2 R 199,6 N 4,

19 Equilíbrio de uma Partícula Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio. Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta. Para uma partícula em equilíbrio sob a ação de duas forças, ambas as forças devem ter: - mesma intensidade - mesma linha de ação - sentidos opostos Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças: - a solução gráfica gera um polígono fechado - solução algébrica: R F 0 F 0 F

20 Diagramas de Corpo Livre Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema. Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise. 2-20

21 Problema Resolvido 2.4 SOLUÇÃO: Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula na junção da corda e do cabo. Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula. Numa operação de descarregamento de um navio, um automóvel de N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda? Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas. 2-21

22 Problema Resolvido 2.4 SOLUÇÃO: Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula A. Aplicamos as condições de equilíbrio. Calculamos as intensidades das forças desconhecidas. T AB T AC N sen 120 sen 2 sen 58 T AB T AC N 648N 2-22

23 Problema Resolvido 2.6 SOLUÇÃO: Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE. Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. Epressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero. Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos. Determine a força de arrasto eercida no casco e a tração no cabo AC. 2-23

24 Problema Resolvido 2.6 SOLUÇÃO: Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre. tg 2,1m 1,2 m 60,26 1,75 tg 0,45 m 1,2 m 20,56 0,375 Epressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero. R T T T F 0 AB AC AE D 2-24

25 Problema Resolvido 2.6 Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos. TAB 180 Nsen 60,26 i 180 Ncos 60,26 j 156,29 N i 89,29 Nj TAC TAC sen 20,56 i TAC cos 20,56 j 0,3512 TAC i 0,9363TAC j TAE 270 N j F F i D D R 0 156,29 N 0,3512 T 89,29 N 0,9363T AC AC FD i 270 N j 2-25

26 Problema Resolvido 2.6 R 0 156,29 N 0,3512 T 89,29 N 0,9363T AC AC FD i 270 N j Esta equação só é satisfeita se cada componente da resultante é igual a zero. F 0: 156,29 N 0,3512TAC FD F 0: 89,29 N 0,9363TAC T F AC D 193 N 88,5 N

27 Componentes Retangulares no Espaço O vetor F está Decompomos F em contido no plano uma componente OBAC. horizontal e outra vertical F F h F cos Fsen F h Decompomos em componentes retangulares F F z F cos Fsen cos F h h sen Fsen sen 2-27

28 Componentes Retangulares no Espaço Com os ângulos entre F F cos F F cos Fz F Fi F j Fzk Fcos i cos j cos zk F cos i cos j cos k e os eios, e z temos, 2-28 F z F cos é um vetor unitário ao longo da linha de ação de F e cos, cos e cos z são os cossenos que orientam a linha de ação de F. z

29 ona Componentes Retangulares no Espaço 2-29 A direção de uma força é definida pelas coordenadas de dois pontos, em sua linha de ação ,, e,, z N z M d Fd F d Fd F d Fd F k d j d i d d F F z z d d d k d j d i d N M d z z z z z 1 e vetor que liga

30 Problema Resolvido 2.7 SOLUÇÃO: Considerando a posição relativa dos pontos A e B, determinamos o vetor unitário orientado de A para B. Utilizamos o vetor unitário para determinar os componentes da força atuando em A. A tração no cabo de sustentação da torre é 2500 N. Determine: a) os componentes F, F e F z da força que atua no parafuso em A, Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção do vetor, calculamos os ângulos correspondentes. b) os ângulos, e z que definem a direção da força. 2-30

31 Problema Resolvido 2.7 SOLUÇÃO: Determinamos o vetor unitário orientado de A para B. AB 40m i 80m j 30m k AB m 80m 30m 94,3 m i j k 94,3 94,3 94,3 0,424i 0,848 j 0,318 k Determinamos os componentes da força. F F 2500 N 0,424i 0,848 j 0,318k 1060 N i 2120 N j 795 N k

32 Problema Resolvido 2.7 Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos que orientam a direção da força, calculamos os ângulos correspondentes. cos i cos j cos zk 0,424i 0,848 j 0,318k 115,1 32,0 71,5 z 2-32

33 Eercícios 2-33

34 Eercícios 2-34

35 Eercícios 2-35

36 Eercícios 2-36

37 Eercícios 2-37

38 Eercícios 2-38

39 Eercícios 2-39