Planos e Retas. Equações do Plano e da Reta. Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins

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1 Planos e Retas Uma abordagem exploratória das Equações do Plano e da Reta Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins

2 Na geometria, um plano é determinado se são dados: três pontos não colineares C A B uma reta e um ponto fora desta reta A B C r

3 duas retas não coincidentes e que se interceptam em um único ponto(duas retas distintas,concorrentes). B C A t r uma direção normal (vetor perpendicular ao plano) e um ponto desse plano.

4 EQUAÇÕES DO PLANO Equação Geral do Plano No plano a equação geral de uma reta é ax + by + c = No espaço um plano é o conjunto dos pontos P = ( x, y, z) que satisfazem a equação ax + by + cz + d = para a, b, c R

5 Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos. No espaço, a inclinação de um plano é caracterizada por um vetor perpendicular a ele, chamado vetor normal ao plano e a equação de um plano é determinada se são dados um vetor normaleumdeseuspontos. n = ( a, b, c ) P i P π

6 Exemplo : Sabemos que: dois pontos determinam a equação de uma reta; Analogamente, três pontos não colineares determinam a equação de um plano; Sejam P = P = e Sejam, 2,3, 2, 4, P 3 = 2,8, 4 pontos não colineares. A equação do plano que contém esses pontos pode ser definida por um sistema linear homogêneo a + 2b + 3c + d = a + 4b + c + d = 2a + 8b 4c + d =

7 ' 2 2 L = L L L = L 2L ' = '' ' ' L3 L3 2L2 6 a + 2b + 3c + d = 2 b 2 c = 6c d = fazendo c = α, temos: em (iii): em (ii): em (i): a + 2α + 3α 6α = 6α d = d = 6α 2b 2α = b = α a = α

8 α α Portanto, s =, assim, α α 6 para qualquer valor real que atribuímos a α (exceto α igual a zero), iremos obter uma equação do plano que contém os pontos P, P e P. 2 3 Verificação: Se α =, x + y + z 6 = Se α =2, Se α = 5, Se α =R*, 2x + 2y + 2z 2 = 5x 5y 5z + 3 = α x + α y + α z 6α =

9 Noentanto,comessestrêspontos(P, P 2 e P 3 nãocolineares), podemos determinar a equação do plano π, que os contém, de outra maneira: n = PP PP 3 2 π P P 2 P 3

10 Determinando as componentes do vetor n, conheceremos os coeficientes a, becdaequaçãodoplano π : ax + by + cz + d = : n = PP PP 3 2 antes, vamos determinar as componentes dos vetores PP 3 e PP 2 PP 3 = P3 P = ( 2,8, 4) (, 2,3) = (,6, 7) PP 2 = P2 P = (, 4,) (, 2,3) = (, 2, 2) ( I) retornando a relação I : n =,6, 7, 2, n = det, det,det n = 2,2,2

11 deste modo, podemos escrever: π : 2x + 2y + 2z + d = ( II) para determinar d e conhecer a equação geral do plano π, basta substituirmos as coordenadas de um dos três pontos do plano, que já conhecemos, em (II): Logo, 2 x + 2 y + 2 z + d = d = d = 2 π : 2x + 2y + 2z 2 = ou π : x + y + z 6 =

12 Proposição: A equação geral de um plano π que passa por um ponto P x, y, z e tem vetor normal n = a, b, c é = em que ax + by + cz + d = d = ax + by + cz.

13 Demonstração: Se n = ( a, b, c) éadireçãonormaldeumplanoπquepassapelo ponto P = ( x, y, z ), um ponto P = ( x pertence a π se, e somente se, o vetor P é ortogonal a o que equivale a, P n, y, z), P π P P n ou P π P P n n P i P π

14 Pela proposição, sabemos que: P π P P n então, n P P = ( I) considerando que n P P =, P P = P P = x y z x y z = (,, ) (,, ) ( x x y y z z ) =,,, em (I): ( a b c)( x x y y z z ),,,, = a x x + b y y + c z z = ax ax + by by + cz cz = ax + by + cz ax + by + cz = sendo d = ax +, by + cz temos: ax + by + cz + d = Equação geral do plano π

15 Exemplo 2: Encontre a equação do plano π que passa pelo ponto n = P =,, 2 ( 4,2,3 ). e é perpendicular ao vetor

16 Exemplo 3: Encontre a equação do planoπque passa pelos pontos P =,,, P2 =,, e P3 =,, n = PP PP 2 3 π i P P 3 i P 2

17 determinando as componentes dos vetores PP 2 e PP 3: PP 2 = P 2 P =,,,, =,, PP 3 = P 3 P =,,,, =,, determinando as componentes do vetor n : n = PP 2 PP 3 n =,,,,

18 n n = det, det,det =,, assim, a equação do plano πpode ser escrita como: x + y + z + d = escolhendo o ponto P encontramos d: =,,, d = d = 8

19 Logo, a equação geral do plano πque passa pelos pontos é: P e 3 P, P2 x + y + z = multiplicando toda a equação por 8 2x + 2y + 4z =

20 Retornando ao Exemplo 3: Encontre a equação do plano πque passa pelos pontos P =,,, 2 P2 =,, e P3 =,, Para resolver este problema podemos usar o seguinte corolário: Sejam u = u e i + u j + u k, 2 3 v = vi + v2 j + v3k w = w i + w j + w k. 2 3 Estes vetores são coplanares (isto é, são paralelos a um mesmo plano)se,eapenasse, u u2 u3 u v w = det v v2 v 3 = w w2 w3 e ainda, o fato de que este resultado é usado para verificar se quatro pontos são coplanares. Vejamos:

21 π P P 3 P 2 P = ( x, y, z) Seja PP PP 2 PP 3 =, n precisamos determinar as componentes dos vetor PP, PP 2 e PP 3 : PP = P P = ( x, y, z),, = x, y, z 2 2 PP PP 3 =,, 2 =,, e

22 assim, PP PP PP 2 3 =, x y z 2 x y z x y 2 2 det = = x + + z z + y = x + y + z = x + 2y + 4z = multiplicando toda a equação 8

23 Ou Seja, dados três pontos, e (não colineares) de um plano, qualquer ponto P se são considerados: P P 2 P3 = ( x, y, z) PP PP PP 2 3 PP PP PP três vetores, e deste plano pode ser determinado e que os vetores, e são coplanares se, e 2 3 somente se PP PP PP 2 3 = (produto misto)

24 n = PP PP 2 3 π P P 3 P 2 P = ( x, y, z) PP PP PP 2 3 = n

25 Equações Paramétricas Consideremos: um plano π; um ponto P = ( x, y, z ), tal que P π; os vetores: v = ( v, v2, v3 ), tais que e não sejam w = ( w, w2, w3 ) paralelos e que v, w // π. v w [ ] Um ponto P = x, y, z pertence aπse, e somente se, ovetor P P = x x, y y, z z é uma combinação linear de v e w, ouseja,seexistemescalares testaisque P P = tv + sw

26 P π P P = tv + sw Combinação Linear Equação vetorial do P P = tv + sw plano π. x x, y y, z z = t( v, v, v ) + s( w, w, w ) x x, y y, z z = ( v t, v t, v t) + ( w s, w s, w s) Logo, um ponto P = satisfaz as equações x x = vt + w s y y = v2t + w2s z z = v3t + w3s ( x, y, z ) pertence aπse, e somente se, x = x + vt + w s y = y + v2t + w2s z = z + v3t + w3s para t, s R Equações paramétricas do plano π

27 Exemplo 4: Podemos obter equações paramétricas do plano doexemplo2usandoofatodequeelepassapelo ponto P =,, e é paralelo aos vetores 2 PP.Assim, 2 =,, e PP 3 =,, x = t s y = + t s 2 2 z = + t + s 2 x = t s y = t s 2 2 z = s 2 para t, s R

28 Exemplo 5: Encontre as equações paramétricas do plano 4x + 2y + 3z =. Para encontrarmos as equações paramétricas deste plano podemos proceder como no caso de sistemas lineares e considerar as variáveis y e z livres: z = t e y = s. Assim, 3 x = t s x = t s e, portanto, y s 4 2 = z = t são equações paramétricas do plano. Destas equações 3 obtemos que os vetores v =,, e que são 4 w =,, 2 paralelos ao plano.

29 Equações Paramétricas Consideremos: EQUAÇÕES DA RETA um reta r; um ponto P, = x, y, z tal que P r; um vetor v = ( a, b, c), talque v // r; P = x, y, z. um ponto qualquer do espaço z? P r P v x y

30 Neste caso: isto é, P r ( P P )// v ou P r P P // v ( I ) P P = tv P P = tv P = P + tv Equação vetorial de r. escrevendo (I) em termos de suas componentes P P = tv P P = t a, b, c x, y, z x, y, z = ( ta, tb, tc) ( ) x x, y y, z z = ( at, bt, ct)

31 Logo, a reta r pode ser descrita como sendo o conjunto dos pontos P = x, y, z tais que x x = at y y = bt z z = ct x = x + at y = y + bt z = z + ct para t R Equações paramétricas de uma reta r, que passa por um ponto paralela ao vetor v = P = x, y, z e é a, b, c. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r.

32 Exemplo 6: As seguintes equações são equações paramétricas deumareta. r x = 2 + 3t r : y = + 2t z = t (a) Calcule dois pontos e um vetor diretor de r. (b) Verifique se pertencem 7 9 P =,, 2 2 r. e Q = ( 5,,8 )

33 Equações na forma Simétrica Consideremos agora uma reta dada por suas equações paramétricas x = x + at r : y = y + bt = + z z ct calculando nas três equações, obtemos Logo, t t x x a y b sendo a, bec não-nulos = t = t = x x y y z z = = c c c y z c z

34 Exemplo 7: Dada as equações 3x 2 y = = z mostre que elas representam uma reta, e dê um ponto e um vetor diretor da mesma. Exemplo 8: Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P = e P = ( 3,, 2) 2,3,3. r

35 Exemplo 9: Encontre as equações paramétricas da reta r, interseção dos planos π : 2x + y + 4z = π 2 : 2x y + 2z = r n n 2 π n n 2 v π 2

36 Se n π, n r [ n, n ] π 2 2 e r = ( π π ) ou seja, r [ π π ] 2,, ; 2 2 e como r // v, pois v é vetor diretor de r, então v [ n, n 2 ], isto é, v = n n2 v v = ( 2,,4 ) ( 2,,2 ) = det, det,det v = ( 6,2,) então, Precisamos de um ponto da reta r. podemos encontrá-lo considerandoofatodequeumpontocomumaosplanosπ eπ 2 tambéméumpontodareta r.

37 2x + y + 4z = 2x y + 2z = Como ambos os planos passam pela origem, ou seja, como se trata de um sistema homogêneo, então o ponto P = (,,) pertenceareta r.logo, x = + 6t y = + 2t z = + t x = 6t y = 2t z = para t R

38 Exemplo : Ache as equações paramétricas da reta r 3 que intercepta as retas e x = + 2t r : y = + t z = y 4 r : x 2 = e z = e é perpendicular a ambas. para t R