GEOMETRIA DO TAXISTA. (a -b )² + (a -b )²

Transcrição

1 GEOMETRI O TXIST Geometria do Taxista é uma geometria não-euclidiana, no sentido em que a noção de distância não é a mesma e acordo com o desenho abaixo, suponhamos um motorista de táxi que apanha um cliente no ponto e este lhe diz que quer ir ao local representado pelo ponto O motorista não pode percorrer o caminho direto de para Ele terá que ir primeiro ao ponto, e depois seguir para distância percorrida é diferente da euclidiana distância que vai percorrer no trajeto não é dada pela fórmula euclidiana entre dois pontos pois o motorista não pode ir direto, atravessando os prédios; mas pela soma de duas distancias em direções perpendiculares a + seguir, alguns aspectos da GMT que difere da euclidiana: 1 Vamos considerar e dois pontos no plano e (a1, a2), (b1, b2) suas coordenadas respectivamente: - distância euclidiana é dada por: dist = E (a -b )² + (a -b )² distância na GMT é dada por: dist = T a-b a-b 2 2 omparação: na geometria euclidiana apenas um processo entre e, precisamente o segmento, corresponde à respectiva distância Na GMT existem vários outros que correspondem à dist T (, ), conforme a figura abaixo:

2 2 Noções de circunferência: - Na geometria euclidiana a noção de circunferência pode ser definida a partir da distância - Na GMT, suponhamos um ponto e investiguemos qual é o lugar geométrico dos pontos cuja distância (na GMT) ao ponto é igual a 3, por exemplo No desenho acima, alguns pontos óbvios foram marcados na figura da esquerda, por exemplo, os 4 que distam 3 em linha reta do ponto ; depois, outros com a mesma distância mas passando por caminhos diferentes Na figura da direita, unindo esses pontos, foi construída a circunferência de centro, na GMT, que tem a forma de um quadrado centrado em e com as diagonais dirigidas segundo as duas direções da quadricula utilizada 3 Noções de mediatriz: - ssim como na circunferência, na geometria euclidiana, as noções de mediatriz podem ser definidas diretamente a partir da distância - Na GMT, a mediatriz de um segmento, definida como lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos extremos do segmento

3 Na figura acima, a marcação de alguns pontos óbvios leva-nos à conjectura de que, quando o segmento tem uma qualquer das direções da quadrícula, a mediatriz, tal como na geometria euclidiana, se confunde com a perpendicular ao segmento passando pelo seu ponto médio Na figura a seguir, as regiões retangulares associadas a cada segmento são um indicador do tipo de figura que a mediatriz vai ser Para estas posições dos segmentos e, a mediatriz torna-se uma linha poligonal (m para o segmento e n para o segmento ) que contém um segmento a 45 e unindo dois pontos dos lados do retângulo associado a cada segmento e ainda duas semiretas tendo como direção uma das direções da quadrícula m n figura abaixo mostra a mediatriz formada por um segmento e por duas regiões ilimitadas isso acontece quando o segmento faz ângulos iguais com as duas direções da quadrícula: Supondo agora uma circunferência de centro desconhecido Na geometria euclidiana basta construir a mediatriz de duas cordas da circunferência e depois a sua intersecção para obter o centro Na GMT:

4 M m n N L M m n L N K K No caso da figura da esquerda, as duas cordas (MN e KL) têm mediatrizes que se cruzam no centro da circunferência; no caso da figura da direita, as mediatrizes m e n das cordas escolhidas passam pelo centro da circunferência, mas não se cruzam, são coincidentes em toda uma região que inclui o centro; assim, não serve para definir o centro; teríamos que escolher outra corda mais conveniente para este fim ois segmentos diferentes podem ter mediatrizes que estejam sobrepostas pelo menos em parte; nada disto acontece na euclidiana 4 ircunferência ircunscrita: - na geometria euclidiana, começa-se por demonstrar que as mediatrizes dos lados de qualquer triângulo se encontram num ponto e esse ponto é, portanto o centro da circunferência circunscrita - na GMT, utilizando os mesmos aspectos das mediatrizes e construção do gráfico correspondente a uma circunferência, a partir de um triangulo qualquer são traçadas as mediatrizes de acordo com a figura anterior Pode-se observar que elas se encontram num ponto alculando a distância entre e um dos vértices e traçando a circunferência de centro em, com um raio de comprimento igual a essa distância; a circunferência resulta circunscrita ao triangulo Outros aspectos da geometria euclidiana podem ser verificados na GMT Krause, em seu livro sobre a GMT, mostra, partindo de uma axiomática semelhante à exposta no livro Geometria Euclidiana, que apenas um axioma da geometria euclidiana não é verificado pela GMT, a congruência de dois triângulos com dois lados e o ângulo compreendido iguais, como na figura abaixo:

5

6 21/11/06 Universidade estadual de ampinas Trabalho de M241 Profª Eliane Q F Rezende ssunto: Geometria do Taxista Felipe Guimarães uzato Tiago Rosa Parra