GEOMETRIA. 1 Definições. 2 Notações

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1 GEOMETRIA 1 Definições Mediatriz (de um segmento): conjunto de pontos que estão à mesma distância de dois pontos unidos por um segmento de recta. É uma recta e é perpendicular a este segmento no seu ponto médio. Ceviana (de um triângulo): é um segmento de recta que une um vértice de um triângulo ao lado oposto. Bissectriz (de um ângulo): é uma recta que divide um ângulo dado ao meio. Altura (de um triângulo): ceviana que é perpendicular a um lado do triângulo. Mediana (de um triângulo): ceviana que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo. Incentro (de um triângulo): intersecção das bissectrizes. Ortocentro (de um triângulo): intersecção das alturas. Baricentro (de um triângulo): intersecção das medianas. À circunferência que passa pelos vértices de um polígono chamamos circunferência circunscrita ou, mais simplesmente, circuncircunferência. À circunferência tangente aos lados do polígono chamamos incircunferência, ou circunferência inscrita. (Nota: o circuncentro de um triângulo é encontrado através da intersecção das mediatrizes do triângulo. O incentro de um triângulo será a intersecção das bissectrizes.) Um polígono chama-se cíclico se tem uma circuncircunferência. 2 Notações Seja [ABC] um triângulo. Diremos que a é a medida do lado oposto ao vértice A, b a medida do lado oposto ao vértice B e c a medida do lado oposto ao vértice C. Diremos, também, que o ângulo em A tem de amplitude Â, em B amplitude ˆB e em C amplitude Ĉ. A circunferência de raio R será a circunferência circunscrita ao triângulo [ABC]. A circunferência inscrita terá raio genérico r. A letra minúscula s denota o semi-perímetro de um dado polígono. A letra maiúscula A denota a área de um dado polígono. A letra maiúscula O representa o circuncentro de um triângulo. A letra maiúscula I representa o incentro de um triângulo. A letra maiúscula G representa o baricentro de um triângulo. A letra maiúscula H denota o ortocentro de um triângulo. 1

2 3 Teoremas Teorema (do Arco Capaz): Considere-se uma circunferência de centro O e raio arbitrário, e sejam A, B e C três pontos dessa circunferência. Então: 1. Se A e O estão do mesmo lado da recta BC então tem-se BÂC = 1 2 BÔC. 2. Se A e O estão em lados opostos da recta BC então tem-se BÂC = BÔC. Teorema (dos Senos): a = b sin  sin ˆB = c = 2R sin Ĉ Teorema (da Bissectriz): Seja [ABC] um triângulo. A bissectriz do ângulo em A intersecta o lado BC em L. Então: BL LC = c b Pelo Teorema acima: 1. BL = ac b+c 2. LC = ab b+c Teorema (dos Cosenos): a 2 = b 2 + c 2 2bc cos  b 2 = a 2 + c 2 2ac cos ˆB c 2 = a 2 + b 2 2ab cos Ĉ Pelo Teorema acima: 1. cos  = b2 +c 2 a 2 2bc 2. cos ˆB = a2 +c 2 b 2 2ac 3. cos Ĉ = a2 +b 2 c 2 2ab Teorema (de Stewart): Sejam [ABC] um triângulo e AX uma ceviana de comprimento d. Sejam m = BX, n = XC. Tem-se que: bmb + cnc = dad + man b 2 m + c 2 n = d 2 a + man (Mnemónica: bomb cinc dad man Salomé Afonso). Fórmulas (de Heerão): 1. A 2 = s(s a)(s b)(s c) 2. 16A 2 = 2(a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) a 4 b 4 c 4 Fórmulas (para calcular a área de um triângulo): ac sin ˆB 1. A = 2 2. A = rs 3. A = abc 4R Definição (Potência do ponto): Seja P um ponto e t uma recta por P que intersecta uma circunferênca C de centro O em A e B. A potência do ponto P relativamente à circunferência C denota-se por P ot(p, C) e é dado por: P ot(p, C) = OP 2 OA 2 (nota que OA é o raio da circunferência descrita acima) 2

3 Teorema (da Corda): P ot(p, C) = P A P B Eixo Radical: O eixo radical de duas circunferências, C 1 e C 2 é o conjunto dos pontos P tais que as tangentes por P às duas circunferências têm o mesmo comprimento. Por outras palavras, é o conjunto dos pontos P que tais que P ot(p, C 1 ) = P ot(p, C 2 ). É sempre uma recta. Lemas: 1. O eixo radical de duas circunferências é perpendicular à recta que une os centros das duas circunferências. 2. Se C 1 e C 2 se intersectam em dois pontos, o eixo radical é a recta definida pelos pontos de intersecção. 3. Para cada ponto no eixo radical, existe uma e uma só circunferência centrada no ponto da dita recta que é ortogonal às outras duas. Por outro lado, se uma circunferência é ortogonal a outras duas, então o seu centro está no eixo radical. 4. Centro Radical: Ao traçarmos os eixos radicais de 3 circunferências, duas a duas, as 3 rectas obtidas intersectam-se num único ponto. Este ponto tem potências iguais relativamente às 3 circunferências. Teorema (de Ceva): Seja [ABC] um triângulo. As cevianas AX, BY e CZ intersectam-se num ponto sse: BX CY AZ = 1 XC Y A ZB Teorema (Trig Ceva): Seja [ABC] um triângulo. As cevianas AX, BY e CZ intersectam-se num ponto sse: sin CÂX sin A ˆBY sin BĈZ sin XÂB sin Y ˆBC sin ZĈA = 1 Teorema (de Menelaus): Sejam [ABC] um triângulo, e X BC, Y AC e Z AB três pontos. colineares sse: BX CY AZ = 1 XC Y A ZB X, Y e Z estão Teorema (de Varignon): Os pontos médios de um quadrilátero são os vértices de um paralelogramo. Este paralelogramo tem perímetro igual à soma das diagonais do quadrilátero e a sua área é igual a metade da área do quadrilátero. Teorema (de Ptolomeu): Seja [ABCD] um quadrilátero de diagonais AC e BD. Então, AB CD + BC DA = AC BD sse [ABCD] é cíclico. Lei (do paralelogramo): Seja [ABCD] um paralelogramo com lados de comprimento a e b e diagonais de comprimento d 1 e d 2. Então: d d2 2 = 2a2 + 2b 2 Um quadrilátero [ABCD] tem incircunferência sse: AB + CD = BC + AD 3

4 Teoremas (de Brahmagupta): 1. A área de um quadrilátero cíclico com lados de medidas a, b, c e d e semi-perímetro s é dada por: A 2 = (s a)(s b)(s c)(s d) 2. Num quadrilátero cíclico com diagonais perpendiculares, a recta que passa pelo ponto de intersecção das diagonais e é perpendicular a um dos lados do quadrilátero bissecta o lado oposto. Teorema (de Miquel): Sejam a, b, c e d quatro rectas complanares, de modo que não há duas paralelas nem três concorrentes. Os circuncírculos dos quatro triângulos determinados pelas quatro rectas passam por um mesmo ponto M, o ponto de Miquel. Teorema (de Euler): OI 2 = R 2 2Rr Desigualdade (de Euler): R 2r. Igualdade sse o triângulo for equilátero. Teorema (de Leibniz): OG 2 = R 2 1 ( 9 a 2 + b 2 + c 2) Desigualdade (de Leibniz): 9R 2 a 2 + b 2 + c 2. Igualdade sse G H, i.e., sse o triângulo é equilátero. Num triângulo [ABC] verifica-se: ab + bc + ca = s 2 + r 2 + 4rR. Num triângulo [ABC] verifica-se: cos  + cos ˆB + cos Ĉ = r R + 1. Sejam [ABC] um triângulo e A o ponto médio de [BC]. Tem-se que: AH = 2A O. Teorema (Recta de Euler): O ortocentro, o baricentro e o circuncentro estão sobre uma recta, chamada recta de Euler. Além disso, HG = 2GO. Circunferência (dos 9 pontos): Os pés das alturas de um triângulo, os pontos médios dos lados e os pontos médios dos segmentos que unem vértices ao ortocentro, são 9 pontos que estão sobre uma recta, de raio 1 2R. O centro desta circunferência está sobre a recta de Euler e é o ponto médio de [OH]. Definição (Conjugado Isogonal): Seja [ABC] um triângulo. O conjugado isogonal em relação a [ABC] de um ponto T do plano de [ABC] é obtido reflectindo as rectas T A, T B e T C em relação às bissectrizes internas de [ABC] que passam por A, B e C, respectivamente. As rectas resultantes são concorrentes no isogonal T 1 de T. 4

5 Teorema (Fundamental dos Conjugados Isogonais): Dadaos um triângulo e três rectas que passam pelos respectivos vértices e concorrem num ponto P, as rectas isogonais a elas, obtidas através da relexão em relação à bissectriz interna correspondente, são concorrentes no conjugado isogonal P 1 de P. Lemas: 1. O conjugado isogonal do incentro é ele mesmo. 2. O ortocentro e o circuncentro são conjugados isogonais. 3. Ponto de Lemoine: O conjugado isgonal do baricentro é o ponto de Lemoine. Este ponto é normalmente denotado por K. Desigualdade (de Erdös-Mordell): Sejam P um ponto no plano do triângulo δ[abc] e d a, d b e d c as distâncias de P às rectas BC, CA e AB, respectivamente. Então: P A + P B + P C 2(d a + d b + d c ). Desigualdades: A a 2 + b 2 + c 2 2. (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 x 9 3. AD HD + BE HE + CF HF 9 4. HD HA + HE HB + HF HC (a + b c)(a b + c)( a + b + c) abc 6. cos  + cos ˆB + cos Ĉ 3 2 5