OB e. BC, entãoa, B, C e D são vértices de um paralelogramo; ( ) Três vetores LD são sempre colineares.

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1 1.1 Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta. ( ) AB = CD A = C e B = D; ( ) Se AB CD,entãoAC BD eosvetores AC e BD são iguais; ( ) Se a e b são LD, então a e b têm representantes colineares; ( ) Se a = 0, então os vetores a, b e c são coplanares; ( ) Se os pontos A, B e C não estão alinhados, então os vetores OA, OB e OC são LI; ( ) Dois segmentos orientados colineares e de mesmo comprimento são eqüipolentes; ( ) Se AB CD,entãoBA DC; ( ) Os segmentos orientados AA e BB são eqüipolentes; ( ) Se AB CD, então o quadrilátero de vértices A, B, C e D é um quadrado; ( ) Vetores determinados por segmentos orientados eqüipolentes são iguais; ( ) Dois pontos do espaço representam o mesmo vetor; ( ) Três pontos não colineares determinam dois vetores LI; ( ) Quatro pontos do espaço não podem ser coplanares; ( ) Dois vetores LI são sempre coplanares; ( ) Três vetores LD são sempre coplanares; ( ) Se A, B e C não estão alinhados e AD = BC, entãoa, B, C e D são vértices de um paralelogramo; ( ) Três vetores LD são sempre colineares. 1. Enumere a a coluna de acordo com a 1 a (1) vetores LD ( ) conjunto de 3 vetores LI () combinação linear ( ) colineares (3) base ( ) base canônica do R 3 (4) 3 vetores LI ( ) x a + y b + z c (5) vetores LI ( ) coplanares (6) 3 vetores LD ( ) coplanares não colineares n (7) i, j, o k ( ) não coplanares

2 1.3 Sejam AD, BE e CF as medianas de um triângulo ABC. Mostreque AD + BE + CF = No paralelogramo da figura 1.1, M é o ponto médio do lado DC. Complete as sentenças: (a) AD + AB =... (b) BA + DA =... (c) AC BC =... (d) BM 1 AB =... Fig Na figura 1. abaixo os vetores AB, AC e AD estão no mesmo plano. Construir, graficamente,comorigemema,ovetor v tal que: v + AB + AC + AD = Na figura 1.3 ao lado, tem-se: Fig. 1. MA+ MD = 0 e NB + NC = 0. Escrever o vetor AB + DC em função do vetor MN. Fig Mostre que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. 1.8 Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelogramo. 1.9 Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e tem comprimento igual a sua semi-soma. As figuras abaixo serão utilizadas nos Exercícios 1.10, 1.11 e 1.1. Fig. 1.4 Fig. 1.5 Fig Na figura 1.4 tem-se DB = AD. Expresse o vetor CD como uma combinação linear dos vetores AC e BC.

3 1.11 A figura 1.5 representa um paralelepípedo (caixa retangular). Expresse a diagonal OD como uma combinação linear das arestas OA, OB e OC. 1.1 No tetraedro da figura 1.6, D éopontomédiodebc. Expresse o vetor AD como uma combinação linear das arestas OA, OB e OC Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem a metade do comprimento deste Demonstre que o baricentro (o ponto de encontro das medianas) de um triângulo divide as medianas na razão de para Se O é o baricentro de um triângulo de vértices A, B e C, mostreque OA + OB + OC = Se o ponto A divide o segmento PQ na razão de n para m e O é um ponto qualquer do espaço, mostre que: OA = m OP + n OQ. m + n m + n 1.17 Se a e b são vetores LI, mostre que a +3 b e a 6 b também são LI. n 1.18 Se a, o b, c é uma base do espaço, mostre que { a + b, a 3 b c, b + c} também o é Mostre que a, b, e c são LI se, e somente se, a equação vetorial x a + y b + z c = 0 admite apenas a solução nula x =0,y=0e z = Sejam a e b dois vetores LI. Como devem ser os escalares x e y para que o vetor x a + y b seja paralelo ao vetor a, mas de sentido contrário? 1.1 Dados os vetores a = i j +5 k, b = i j, c = i +3 k e d =6 i j +10 k,calcule: (a) 1 4 a (b) 3 b 5 a + c (c) d + 1 a (d) b a 1. Dado u = i j + k, determine um vetor v colinear com u, de sentido contrário, e cujo comprimento seja o triplo do comprimento do vetor u. Represente graficamente u e v. 1.3 Localize no sistema de coordenadas os pontos: A (, 3, 4),B(, 1, 1) e C (, 1, ). 1.4 Represente graficamente os vetores a = i + j, b = 3 i + j + k, c = i j 4 k e d = j k. 1.5 Calcule AB, AC e BC, sendoa (, 3, 4),B(, 1, 1) e C (, 1, ). 1.6 Considere o ponto A (1,, 3) e o vetor v =3 i +4 j +5 k. Determine B tal que AB = v. 3

4 1.7 Determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ, sabendo que P (, 1, 5) e Q (4, 3, 1). Qual a distância do ponto P ao ponto Q? 1.8 Dadososvetores u =3 i j + k e v = i +4 j k, determine o vetor w tal que 3 w + u = 1 v + w. 1.9 Dados os pontos A (1,, 3), B(5,, 5) e C ( 4,, 9), determine o ponto D de modo que A, B, C e D sejam vértices de um paralelogramo SejamA, B, C e D os vértices de um paralelogramo e G o ponto de encontro das diagonais. Sabendo que A (, 1, 5),B( 1, 3, ) e G (4, 1, 7), determine os vértices C e D Em cada caso verifiquesevetoressãoldouli. (a) u = i + k, v = i + j, w =3 i + j +5 k (b) u = 14 i +91 j +56 k, v = i 13 j 8 k (c) u = i + j, v =3 i +1 j + k (d) u =3 i + j + k, v = i + j + k, w = i + k 1.3 Determine m de modo que os vetores u = m i j + k, v = 3 i + m j + k e w = i + j + k sejam coplanares Determine o valor de m de modo que os vetores u = m i + j + k, v =8 i + m j + k sejam colineares Verifique se os pontos A (1, 1, ),B(0, 1, 1) e C (, 1, 3) estão alinhados Determine y e z de modo que os pontos A (1,, 1),B(1, 0, 0) e C (1,y,z) sejam colineares Em cada caso verifiqueseospontosa, B, C e D são coplanares. (a) A (1, 1, 1),B(, 1, 3),C(0,, ) e D ( 1, 0, ) (b) A (1, 0, ),B( 1, 0, 3),C(, 4, 1) e D ( 1,, ) 1.37 Verifique se os vetores u = 3 i+ j k, v = i 3 j +5 k e w = i+ j 4 k podem representar os lados de um triângulo Verifique se os pontosa (1, 1, 0), B(3, 1, 0), e C (1, 3, 0) podem ser vértices de um triângulo Verifique que os vetores a = i + j 3 k, b = i + j +3 k e c = 3 i +9 j k formam uma base do R 3 e determine as coordenadas do vetor v = i + j + k nessa base. A base é positiva ou negativa? 1.40 Sejam a, b e c vetores LI e considere u = a + b c e v = a + b + c. Escrevaovetor w =9 a +15 b +6 c como combinação linear de u e v. 4

5 1.41 Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta. ( ) Se a e b são paralelos, então a b = 0; ( ) Se a b = 0, então a ou b é igual a 0; ( ) Se a e b são perpendiculares, então a b =0; ( ) Se a b =0,então a ou b é igual a 0; ( ) Existem vetores não nulos a e b tais que a b = 0 e a b =0; ( ) Se { a, b, c} é uma base ortonormal, então c = a b; ( ) Se α éoplanogeradopor a e b e β é o plano gerado por c e d,entãoα e β são paralelos se, e somente se, ( a b) ( c d)= 0; ( ) Os vetores a, b e c são coplanares se, e somente se, [ a, b, c] =0; ( ) Se { a, b, c} é uma base ortonormal, então [ a, b, c] =±1; ( ) Sempre que a e b forem colineares, ter-se-á a + b = k ak + b ; ( ) Se a e b são vetores unitários, então a + b tem a direção da bissetriz do ângulo ( a, b); ( ) Se a e b são vetores do espaço, então a ± b = k ak ± a b + b. ( ) Três vetores ortogonais são sempre LI; ( ) Se k ak =1, então o vetor Proj a b tem comprimento a b ; ( ) Se { u, v, w} é uma base positiva, então { u, w, v} também o é; ( ) O conjunto { u, v, v} é uma base apenas quando u e v forem LI. ( ) Se { u, v, w} é uma base ortonormal e a é um vetor, então k ak =( a u) +( a v) +( a w). 1.4 Mostre que as diagonais de um losango são ortogonais Sejam AB e AC vetores não nulos e ortogonais. Mostre que AB + AC = BC. Note que este resultado é o famoso Teorema de Pitágoras Sejam a e b dois vetores, sendo a 6= 0. Mostre que o vetor v = ( a b) a b k ak é perpendicular ao vetor a Demonstre as seguintes propriedades da norma. (a) k ak 0 (b) kx ak = x k ak (c) a + b k ak + b (c) k ak b a b. nulo a Descreva a construção de uma base ortonormal positiva { a, b, c}, a partir de um vetor não 5

6 1.47 Demonstre as seguintes identidades: (a) Polarização: a b = 1 4 h a + b a i b (b) Paralelogramo: a + b + a b = hk ak + i b 1.48 Sejam a, b e c três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é 60 o. Sabendo que k ak =3, b =e k ck =6,calcule a + b + c Se a =11, b =3e a b =30,calcule a + b Os vetores a e b são perpendiculares entre si e o vetor c étalque( c, a) =60 o e ( c, b)=60 o. Sabendo-se que k ak =3, b =5e k ck =8, calcule o produto interno: (3 a b) ( b +3 c) Determine a projeção ortogonal do vetor a = i 3 j + k sobre o vetor b = i + j + k. 1.5 Calcule o ângulo entre os vetores a = i + j k e b =3 i +3 j Determine um vetor unitário u, paralelo ao vetor a b, sendo a = i j+4 k e b = i j+3 k Calcule k uk e k u + vk, sabendo que u v =6, k vk =3 e ( u, v) =π/4 rd Determine o valor de x, demodoque(x i +3 j + k) ( i + j) = Encontre um vetor unitário u na direção da bissetriz do ângulo entre a = i j + k e b = i + j k Verifique que os pontos A (1, 1, 0), B(3, 1, 0) e C (1, 3, 0) são vértices de um triângulo retângulo e calcule seus ângulos Se u e v são vetores LD, determine a projeção ortogonal de v sobre u Se α, β e γ são os ângulos de um vetor não nulo v com os vetores i, j e k, respectivamente, mostre que: cos α +cos β +cos γ =1. Os ângulos α, β e γ são os ângulos diretores do vetor v Um vetor não nulo v forma com os eixos ox e oy os ângulos α = 10 o e β = 45 o, respectivamente. Determine o ângulo entre v eoeixooz Dois ângulos diretores de um vetor v são: α =60 o e γ = 10 o. Se k vk =, determine as coordenadas do vetor v. 6

7 1.6 Determine os co-senos diretores do vetor v =4 i +3 j +1 k Seja u =16 i 15 j +1 k. Determine v e w de norma 75, paralelos ao vetor u Verifique que os vetores a = 1 6 ( i j + k), b = 1 ( i k) e c = 1 3 ( i+ j + k) são ortonormais e determine as coordenadas do vetor v =3 i + j + k na base { a,, b, c} Sejam u = j + k, v = i + j e w = i + k. O conjunto { u, v, w} é uma base do espaço R 3? Essa base é ortonormal? Ela é ortogonal? É possível escrever o vetor 3 i + j + k como combinação linear de u, v e w? 1.66 Sejam u e v dois vetore tais que k uk =4e k vk =3. Se o ângulo entre u e v eentre u + v e u v é α, calcule cos α Se u, v e w são vetores unitários tais que u+ v+ w = 0, mostreque u v+ u w+ v w = 3/ Se a e b são vetores não nulos e ortogonais, determine o valor de x de modo que os vetores a + x b e a b sejam ortogonais Se k uk =1, k vk =3e ( u, v) =π/6,calculek( u v) ( u + v)k Determine dois vetores de norma 3, ortogonais aos vetores a = i j + k e b = i k Determine um vetor v tal que v ( i +3 j) =6e v ( i +3 j) =4 k. 1.7 Calcule a área do paralelogramo que tem três vértices consecutivos nos pontos A (1, 0, 1), B (, 1, 3) e C (3,, 5) VerifiqueseospontosA ( 1, 3, 4),B(, 1, 4) e C (3, 11, 5) são vértices de um triângulo. Em caso afirmativo, classifique o triângulo em retângulo, isóceles ou eqüilátero e calcule sua área Considere os vetores u = i + j +3 k e v =4 i + j 3 k. Construa uma base ortonormal positiva { a, b, c}, sendo a paralelo ao vetor u e b paralelo ao vetor v. Determine as coordenadas do vetor w = i + j + k na base { a, b, c} Use o produto vetorial e determine as condições que devem satisfazer os vetores a e b para que a + b e a b sejam paralelos Se k uk =3e k vk =5, determine os valores de x de modo que os vetores u + x v e u x v sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos. 7

8 1.77 Sejam a = i j +3 k, b = i 3 j + k e c = i+ j 7 k. Determine um vetor v perpendicular aos vetores a e b etalque v c = Dados u =3 i j + k, v = i + j e w = j k, calcule os produtos mistos: (a) [ u, v, w] (b) [ u, w, u] (c) [ u, w, v] (d) [ u, w, w] Use o produto misto e verifiqueseosvetores a = i + j +3 k, b = i j +5 k e c =4 i 3 j + k são coplanares Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A (, 1, 6) eostrês vértices adjacentes nos pontos B (4, 1, 3),C(1, 3, ) e D (1,, 1) Verifique em cada caso se os pontos são coplanares. (a) A (0,, ),B( 1, 0, ),C(, 1, 3) e D (1, 1, 1) (a) A ( 1, 0, 3),B( 1,, ),C(1, 0, ) e D (, 4, 1) 1.8 Calcule o valor de x de modo que os vetores a = i + x j, b = x i j + k e c = i + j + k sejam LI Considere o triângulo de vértices A (3,, 1),B(3,, ) e C (3, 3, ). Determine: (a) Os ângulos do ABC; (c) A área do ABC; (b) O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado; (d) A altura do triângulo, relativa ao maior lado Dados a = i j + k e b = i +3 j, construa uma base ortonormal negativa{ u, v, w} sendo u paralelo ao vetor a e v coplanar com a e b Seja x<0 e considere os vetores u =x i+x j +x k, v = x i x+x k e w =x i x j x k. Mostre que { u, v, w} é uma base ortogonal negativa. Determine o(s) valor(es) x quetorna(m)abase ortonormal e, em seguida, encontre as coordenadas do vetor a = i j 3 k nessa base ortonormal Os vetores u, v e w são mutuamente ortogonais e formam, nessa ordem, um terno ordenado positivo. Sabendo que k uk =4, k vk =e k wk =3,calculeoprodutomisto[ u, v, w] Mostre que o volume do tetraedro da figura é: V = 1 6 [ OA, OB, OC]. Fig Considere três vetores u, v e w, com normas 4, e 6, respectivamente, tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, na ordem apresentada, é π/3. Calculek u + v + wk. 8

9 1.89 Verifique que os pontos A (4, 6, ), B(1,, 1), C(3, 3, 3) e D (7, 4, 3) são vértices de um paralelepípedo, calcule o volume do sólido e as coordenadas do ponto E, onde AE é uma diagonal interna Prove que: (a) Se a v = b v, v, então a = b; (b) Se a v = b v, v, então a = b Se os vetores u, v e w são tais que u v + v w + w u = 0, mostre que eles são coplanares. 1.9 Mostre que: u ( v w) =( u w) v ( u v) w Demonstre a relação: ( u v) ( z w) =[ u, v, w] z [ u, v, z] w Use a relação [ w, z, X]=[ X, w, z], comx = u v e demonstre que: ( u v) ( w z) =( u w) ( v z) ( u z) ( v w) Sejam { u, v, w} umabasedoespaçoex um vetor qualquer. Use o Exercício 1.9 e deduza que: X = 1 [ X, v, w] u + 1 [ u, X, w] v + 1 [ u, v, X] w onde =[ u, v, w]. A Regra de Cramer Considere um sistema linear 3 3: a 1 x + a y + a 3 z = d 1 b 1 x + b y + b 3 z = d c 1 x + c y + c 3 z = d 3 ( ) edefina os vetores u = a 1 i+b 1 j +c 1 k, v = a i +b j +c k, w = a3 i +b 3 j + c 3 k e X = d1 i+d j + d 3 k, de modo que X = x u + y v + z w. Como no Exercício 1.95, seja =[ u, v, w], istoé: a 1 a a 3 =det b 1 b b 3. c 1 c c 3 Se 6= 0, então os vetores u, v e w formam uma base do espaço e, portanto, os escalares x, y e z são únicos, ou seja, a solução do sistema ( ) é única e esta vem dada por: x = x, y = y e z = z, onde os determinantes x, y e z são obtidos a partir do, do modo seguinte: 9

10 d 1 a a 3 x =det d b b 3, d 3 c c 3 d 1 a a 3 d 1 a a 3 y =det d b b 3 e z =det d b b 3. d 3 c c 3 d 3 c c 3 No caso em que o sistema é homogêneo, isto é, d 1 = d = d 3 =0,entãoaúnicasoluçãodosistemaé x =0,y=0e z =0. 10

11 Respostas & Sugestões 1.1 F, V, V, V, F, F, V, V, F, V, V, V, F, V, V, V, F. 1. Decimaparabaixo,anumeraçãosegueaseqüência3,1,7,,6,5e4 1.4 (a) AC (b) CA (c) AB 1.11 OD = OA + OB + OC (d) BD 1.6 AB + DC =MN 1.1 AD = OA + 1 OB + 1 OC 1.10 CD = 3AC 1 3BC 1.14 Sejam AA, BB e CC as medianas do triângulo ABC e O o baricentro. Use a semelhança entre os triângulos AOC e AÓC para mostrar que AO = OA Do Exercício 1.14 segue que AO = 3AA, BO = 3BB e CO = 3CC. Então: AO + BO + CO = 3 ( AA + BB + CC ) = 3 [( AB + BA ) + ( BA + AB )+( CB + BC )] = = 3 [ BA + AB + CB + BC ] = 3 [ 1 AC + 1 CB + 1 BA] = x<0 e y =0 1.1 (a) i 1 j + 5 k (b) 15 i + j k (c) 5 i + 3 j 15 k (d) b a = 3 i 5 k 1.5 AB = 4 i j 3 k; AC = 4 i 4 j 6 k; 1.6 B (4, 6, 8) 1.7 M (3,, 3) PQ = 4 1. v = 3 u/ k uk = 6 6 i j 3 6 k BC = i 3 j 1.8 w = 5 i + j 5 k 1.9 D ( 8,, 7) 1.30 C (6, 1, 19) ; D (9, 1, 16) 1.31 (a) LI; (b) LD. (c) LI (d) LD 1.3 m =1± 1.33 Com m =4,tem-se u = 1 v 1.34 Não 1.35 y =z 1.36 (a) sim; (b) não 1.37 Não. Tem-se w = u v 1.38 Sim, porque os vetores AB e AC são LI 1.39 A base é negativa e v = a + 49b + 49 c 1.40 w =8 u +7 v 1.41 V, F, V, F, F, F, V, V, V, F, V, V, V, V, F, F, V i 4 3j 4 3k 1.5 θ =arccos(1/ ) = π/ u = 3 34 i j 1.54 k uk =e k u + vk = x = u = 3 10 i 1 10 j 1.57 b A = π/; b B = b C = π/ v o 1.61 v = i ± j k 1.6 cos α =4/13, cos β =3/13 ecosγ =1/ v = 48 i +45 j 36 k e w = v 1.64 v = 3 6 i + j +5 3 k 1.65 { u, v, w} é base não ortogonal e a = 1 3 u v w 1.66 ±1 e ± x = / 1.70 v ± 3 11 ( i +3 j + k) 1.71 v = 4 13i j 1.7 A = Isóceles e A = a = u k uk, b = v k vk e c = v w k v wk 1.75 Se a for paralelo a b,então a + b será paralelo a a b 11

12 1.76 (a) x = ±3/5 (b) x R, se a e b forem paralelos e x =0, caso contrário 1.77 v =70 i +50 j +10 k 1.78 (a) 7 (b) 0 (c) 7 (d) Não, porque [ a, b, c] 6= V = (a) coplanares (b) não coplanares 1.8 x 6= 1e x 6= 1.83 (a) A b =45 o, B b =90 o e C b =45 o (b) Proj AC AB = 1 ( j + k) (c) 1/ (d) h = / 1.84 Considere u = a/ k ak, v =( a +9 b)/ a +9 b e w =( u v)/ k u vk 1.85 x = ±1/3 e v = 5 3 u 1 3 v w Note que vol = 1 3 (área da base) h equeaáreadabasepodesercalculadapelanormado produto vetorial V =4e E (3, 3, 3) (a) Se a v = b v, v, então ( a b) v =0, v, e considerando v = a b, obtemos ( a b) ( a b)=0,istoé, a b =0e, portanto, a = b. (b) Sejam a = x 1 i+y 1 j +z 1 k e b = x i+y j +z k. Se a v = b v, v, então ( a b) v =0, v, e considerando v = i e, depois, v = j, encontramos x 1 = x,y 1 = y e z 1 = z. Logo, a = b Ésuficiente mostrar que [ u, v, w] =0. Para isto, multiplicamos escalarmente a equação u v + v w + w u = 0 por w e encontramos: ( u v) w =0, isto é, [ u, v, w] = Desenvolva os dois lados da igualdade usando as coordenadas dos vetores e comprove o resultado Do Exercício 1.9, temos que a ( z w) =( a w) z ( a z) w e considerando a = u v obtemos ( u v) ( z w) =[( u v) w] z [( u v) z] w =[ u, v, w] z [ u, v, z] w Temos [ w, z, a] =[ a, w, z] e considerando a = u v, obtemos: [ w, z, u v] = [ u v, w, z] ( w z) ( u v) =[( u v) w] z ( w z) ( u v) = w ( u v) z =(usar Ex 1.9) = [( w v) u ( w u) v] z = = ( w u)( v z) ( w v)( u z) 1.95 Do exercício 1.93, temos: (i) ( u v) ( w x) =[ u, v, x] w [ u, v, w] x e (ii) ( u v) ( w x) = ( w x) ( u v) = {[ w, x, v] u [ w, x, u] v} e, portanto, [ u, v, x] w [ u, v, w] x = [ w, x, v] u +[ w, x, u]. Isolando x no 1 o membro, chegamos ao resultado. 1