LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. 01) Dados os vetores e, determine o valor da expressão vetorial. Resp: A=51

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1 1 LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA 01) Dados os vetores e, determine o valor da expressão vetorial. A=51 02) Decomponha o vetor em dois vetores tais que e, com. 03) Dados os vetores, determine o vetor ortogonal a e tal que. 04) Sejam os vetores. Determine m para que. m=2 05) Os módulos dos vetores são, respectivamente, 4 e 2. O ângulo entre eles é 60 o. Calcule o ângulo entre. 06) Demonstre vetorialmente a lei dos co-senos:, onde é o ângulo entre as direções dos vetores. 07) São dados os vetores ortogonais entre si, tendo como versores, respectivamente. Determine, o versor do vetor, sabendo-se que tem projeções algébricas iguais sobre e ainda que são LD. 08) Demonstre que. Verificar quando ocorre a igualdade. 09) Sejam AC e BD as diagonais de um paralelogramo ABCD. Sendo, calcule a área do paralelogramo. 10) Dado o vetor, determine o vetor ortogonal ao eixo Ox, sabendo-se que. 11) Demonstre vetorialmente que a área do losango é igual ao semi-produto das diagonais. 12) Dados, determine o vetor tal que. 13) São dados no espaço os pontos A(2,-1,0), B(1,-2,1) e C(1,0,2). Determine o ponto D, tal que sejam LD, e o volume do tetraedro OABD seja igual a 14, onde O é a origem do sistema. D(0,0,-28) ou D(12,24,8)

2 2 14) Calcule a distância do ponto A(3,-1,2) à reta determinada pelos pontos B(1,1,3) e C(5,3,-1). 15) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores. 16) Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1), B(1,1,-3) e C(-1,-3,0). 17) Determine o valor de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores, e, tenha volume. m=1 ou m=5 18) Dois vértices de um triângulo são os pontos A(4,1,4) e B(5,6,1). Achar o vértice C sabendo que ele está sobre o eixo Oy, e a área do triângulo ABC é. C(0,4,0) ou C(0,6,0) 19) Achar um vetor paralelo ao vetor que tenha o mesmo módulo do vetor. 20) Achar um vetor de mesma direção e sentido do vetor e módulo. 21) Escreva as equações paramétricas da reta (r) que passa pela origem dos eixos coordenados e é paralela à reta (s):. 22) Escreva as equações simétricas da reta do feixe de centro A(5,-3,2) e paralela ao eixo Oz. 23) Determine os pontos de furo em relação aos planos coordenados da reta definida pelos pontos P(-1,1,3) e Q(4,-2,1). 24) Verificar o paralelismo entre as retas (r) e (s) nos seguintes casos: a) a) paralelas b) b) paralelas c) c) não paralelas 25) Determine as equações simétricas e o comprimento da mediana AM do triângulo ABC com A(-3,-1,4), B(2,4,5) e C(0,-2,1).

3 26) Verifique se os pontos A(3,-2,1) e B(-1,2,0) pertencem à reta (r) determinada pelos pontos C(2,1,-1) e D(4,-5,3). 27) Verificar se as retas são coplanares e determinar a interseção, se houver. coplanares e 28) Determine a equação vetorial da reta (r) que passa por P(1,-2,3) e intercepta a reta e cujo vetor diretor da reta (r) é ortogonal ao vetor. (r): X=(1,-2,3)+t(17,9,10) 29) Determine o ponto O', simétrico da origem O dos eixos coordenados, em relação à reta.. 30) Decomponha o vetor em dois vetores e, sendo (r) a reta X=(2,-1,5)+t(-1,4,2). 31) Determine os co-senos diretores da reta definida pelos pontos A(3,-3,2) e B(4,-1,0). 32) Determine o ângulo da reta (r): X=(2,0,1)+t(-1,-2,-2) com a reta definida pelos pontos 3 A(4,0,-1) e B(-2,-3,1). 33) Determine as equações simétricas da reta definida pelos pontos A(2,-1,4) e com. 34) Um vetor diretor de uma reta (r) é o vetor e tal que e. Sendo, determine o ângulo entre a reta (r) e o vetor. 35) Dados os pontos médios M(2,1,3), N(5,3,-1) e P(3,-4,0) dos lados de um triângulo ABC, determine as equações paramétricas do lado deste triângulo, cujo ponto médio é o ponto M. 36) Determine o ângulo entre as retas, cujos vetores diretores e são parcelas do vetor diretor da reta AB, na qual A(2,3,-1) e B(4,-3,5), sabendo-se que e. 37) Escreva a equação cartesiana do plano determinado pelas retas e. ( ): 7x-3y-9z+13=0

4 38) Determine na forma simétrica a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3,-1) e é paralela aos 4 planos ( 1): 2x-3y+z-1=0 e ( 2): x+2y+3z+8=0. 39) Ache a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto M(3,0,-4) e é perpendicular aos planos ( 1): 2x-y-z=0 e ( 2): x+3y-z+12=0. 4x+y+7z+16=0 40) Determine na forma simétrica a reta que passa pelo ponto P(3,-2,0) e é perpendicular ao plano ( ): 4x-8y+6z-7=0. 41) Determine a equação geral do plano que passa pela reta (r): e é paralelo à reta. 3x-2y-2z-1=0 42) Dê a equação da reta interseção dos planos ( 1): 3x-4y+z-16=0 e ( 2): 2x+4y-2z+4=0. 43) Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(2,1,0) e Q(1,5,8) e é perpendicular ao plano ( ): x+2y+2z+5=0. 4x-5y+3z-3=0 44) Determine a equação do plano que passa pela reta (r) = 1 2, onde ( 1): 3x+2y+5z+6=0 e ( 2): x+4y+3z+4=0 e é paralelo à reta (s): X=(1,5,-1)+t(3,2,-3). 2x+3y+4z+5=0 45) Mostre que a reta é paralela ao plano ( ): 2x+2y-2z-4=0. 46) Mostre que a reta está contida no plano ( ): 4x-2y+5z-20=0. 47) Qual a posição relativa entre os planos ( 1): 5x+3y+13z-1=0 e ( 2): 3x+8y-3z+8=0 e determine a interseção, se houver. Perpendiculares e 48) A interseção das retas (r): X=(3,-1,2)+t(1,3,-2) e (s): X =(1,-2,5)+t (-3,-4,5) é um ponto P. Determine a distância de P ao plano ( ): x+y+z-2=0. 49) Determine a distância do ponto P, interseção dos planos ( 1): 2x+4y-5z-15=0, ( 2): x- y+2z+3=0 e ( 3): x+y+z-2=0 a reta (r): X=(0,1,-2)+t(3,2,-1). 50) Determine a equação da reta que é a interseção dos planos ( 1): 2x-y+4z-1=0 e ( 2): 3x+y- 2z+5=0. 51) Determine a equação do plano que contém o ponto P(2,-1,0) e a reta (r) = 1 2, onde ( 1): 2x-y-z+4=0 e ( 2): x+2y-z+3=0. x+7y-2z+5=0 52) O pé da projeção ortogonal da origem dos eixos coordenados sobre um plano ( ) é o ponto P(-2,3,6). Determine a equação geral do plano ( ). 2x-3y-6z+49=0

5 5 53) Dê a equação da reta (s) simétrica de em relação ao plano ( ): 2x+yz+2=0. 54) Dê a equação do plano ( ) simétrico do plano ( ): 2x-3y+z-12=0 em relação à reta. 2x-3y+z+2=0 55) Determine a equação do plano mediador do segmento de extremos P(3,-1,5) e Q(1,-5,-1). x+2y+3z-2=0 56) Determine a, b e c para que os planos ( 1): 2ax-y+4z+2=0 e ( 2): 4x+by+8z+c=0 sejam coincidentes. a=1, b=-2 e c=4 57) Determine a equação do plano ( ) que passa pelo ponto P(2,5,3) e é perpendicular a reta (r) interseção dos planos ( 1): x-y-2z-2=0, ( 2): 2x+3y+z+1=0. x-y+z=0

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