Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria

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1 1. O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo mede Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7 cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semi-circunferência exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5 cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada. a) Determine o raio da circunferência circunscrita. b) Determine a área do polígono. 2. Observe a figura I, onde ABC é um triângulo retângulo e {r,s,t,u} é um feixe de retas paralelas eqüidistantes. A figura I foi dobrada na reta (t), conforme ilustra a figura II. 5. Na figura a seguir o quadrado ABCD tem lado 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16. Determine x. Calcule: a) a área do triângulo A'BM, hachurado. b) o seno do ângulo š = BPA'. 3. Na figura a seguir P é o ponto médio do segmento AD do paralelogramo ABCD. Calcule a área, em m, do triângulo ÐAPB sabendo-se que a área do paralelogramo é 136 m. 6. Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir: A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B.

2 7. Na figura a seguir, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC. Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS. O processo pode ser repetido um número qualquer de vezes. Considerando Ø = 5 cm, determine, em cm, a área total da figura obtida no oitavo passo. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista. Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale pq/bc. 8. A Geometria Fractal é uma linguagem criada pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot, no começo da década de 50. Mandelbrot criou essa geometria após observar padrões surgidos em diversas áreas, tais como na estrutura do ruído das comunicações telefônicas, na flutuação dos preços em operações do mercado financeiro e no estudo empírico da geometria dos litorais.as figuras abaixo ilustram os três primeiros passos da construção de um fractal a partir de um quadrado de lado Ø, sendo que a figura II representa o padrão desse fractal. 9. Na figura adiante, VABC é um tetraedro tal que os três ângulos das faces em V são retos e as arestas VA, VB e VC têm a mesma medida 2a. Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem: a) Provar que MNPQ é um retângulo. b) Determinar a área de MNPQ. 10. O ângulo central AÔB referente ao circulo da figura adiante mede 60 e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC e OC = Ë5 cm, calcular a área da figura hachurada. O procedimento pode ser escrito da seguinte maneira: Passo 1: Considere o quadro representado na figura I. Passo 2: Dividindo-se três lados desse quadrado em três partes iguais, constroem-se três outros quadrados, conforme ilustra a figura II. Passo 3: Repetindo-se o processo com os três quadrados obtidos no passo 2, obtêm-se nove outros quadrados, conforme ilustra a figura III.

3 11. Considere dois quadrados congruentes de lado 4 cm. O vértice de um dos quadrados está no centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado possa girar em torno de seu centro. Determine a variação da área obtida pela intersecção das áreas dos quadrados durante a rotação. 14. No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimento de 11 m e 3 m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4 m), conforme a figura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente, a) 25 m b) 34 m c) 37 m d) 41 m e) 61 m 12. A área A de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: A = Ë[p(p - a)(p - b)(p - c)] onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semi-perímetro. a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros. b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros. 13. Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, conforme se vê na figura. Se a área do triângulo ABC vale 96, então a área do triângulo AEF vale: a) 42. b) 36. c) 32. d) 30. e) OPQ é um quadrante de círculo, no qual foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ. Determine o valor da razão das áreas hachuradas, a/b. a) 1/Ë2 b) 1/2 c) /4 d) 1 e) /3 16. Em torno de um campo de futebol, construiu-se uma pista de atletismo com 3 metros de largura, cujo preço por metro quadrado é de R$ 500,00. O custo total desta construção é: a) R$ b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00

4 17. O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno? a) 30 %. b) 36 %. c) 40 %. d) 45 %. e) 50 %. 18. No triângulo ABC, AC = 5 cm, BC = 20 cm e cos = 3/5. O maior valor possível, em cm, para a área do retângulo MNPQ, construído conforme mostra a figura a seguir, é: a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. A área do triângulo, em cm, é a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a) ( 5 /2-4 ) x b) x + y c) ( 5-4 ) x d) ( 5 /2-2 ) x e) x - y 21. A área da região hachurada vale: a) 12-2 b) 16-2 c) 9 - d) 8-2 e) Na figura a seguir, os círculos internos são iguais e a região assinalada tem área 8 ( - 2). Então a área do círculo externo é: a) 20. b) 16. c) 8. d) 4. e) Na figura, åè= æè. Então a área do retângulo assinalado vale: a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) Considere o quadrado ABCD inscrito na semicircunferência de centro na origem. Se (x, y) são as coordenadas do ponto A, então a área da região exterior ao quadrado ABCD e interior à semicircunferência é igual a

5 24. Na figura a seguir, O é o centro de um círculo e o volume gerado pela rotação da região assinalada em torno da reta r é 18. Então a área do triângulo ABC é: a) 6 b) 9 c) 9/2 d) 18 e) Na figura a seguir, o perímetro do triângulo equilátero ABC é 12 e o ponto P é médio do lado BC. Então a área do triângulo AED é: a) Ë3/2 b) Ë3 c) 4 d) 2 e) Ë2/2 26. No hexágono regular da figura, a distância do vértice E à diagonal AC é 3. Então a área do polígono assinalado é: a) 6 b) 4Ë3 c) 5Ë3 d) 6Ë3 e) 8Ë3 28. Na figura a seguir tem-se um terreno retangular no qual pretende-se construir um galpão cujo lado deve medir x metros. Se a área da parte sombreada é 684 m, o lado do galpão mede, em metros, a) 8,5 b) 8 c) 7,5 d) 6 e) 4,5 29. Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12 cm de lado, conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é: a) 98. b) 102. c) 108. d) 112. e) Na figura a seguir, A, B e C são centros de circunferências iguais. Se a área do trapézio assinalado é 3, então a área do retângulo vale: a) Ë3 b) Ë3 c) Ë3 d) Ë3 e) 8 + Ë3

6 30. Dois quadrados, com os lados respectivamente paralelos, interceptam-se como mostra a figura a seguir. Se AM = MD, HM = ME e as áreas desses quadrados são 100 cm e 144 m, a área do quadrilátero MDNE, em centímetros quadrados, é igual a a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) 120 Se a área dessa região é 108 cm e AM = MN = NB, então a medida do raio do círculo, em centímetros, é a) 9 b) 12 c) 16 d) 18 e) Um trapézio, inscrito numa circunferência de centro O, pode ser dividido em três triângulos equiláteros congruentes, como mostra a figura a seguir. Se a área do trapézio é 27Ë3 cm, então a área do círculo limitado por essa circunferência, em centímetros quadrados, é igual a a) 9 b) 16 c) 25 d) 36 e) Considere a região hachurada, no interior do círculo de centro O, limitada por semicircunferências, conforme mostra a figura a seguir. O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e a sua diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E, F} e {G, H}. A área do triângulo FBG é uma fração da área do paralelogramo (ABCD). A seqüência de operações que representa essa fração está indicada na seguinte alternativa: a) 1/2. 1/3. 1/3 b) 1/2 + 1/3. 1/3 c) 1/2. (1/3 + 1/3) d) 1/2 + 1/3 + 1/3 34. O decágono da figura anterior foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.

7 Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: a) 14 T + 3 Q b) 14 T + 2 Q c) 18 T + 3 Q d) 18 T + 2 Q 35. Ao redor de uma piscina retangular com 10 m de comprimento por 5 m de largura, será construído um revestimento de madeira com x metros de largura, representado na figura a seguir. Nela, a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das circunferências menores, C, C, Cƒ, C, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito. Os centros de C, C, Cƒ e C estão em diâmetros de C perpendiculares a lados do quadrado. A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é: a) 8 (3+2Ë2) b) (3+2Ë2) c) (3-2Ë2) d) 2 (3-2Ë2) 37. A figura adiante mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe-se que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5 m, BC = 1,2 m, EF = 4,0 m, FG = 0,8 m, HG = 3,5 m e AH = 6,0 m. Existe madeira para revestir 87,75 m. Qual deverá ser a medida x para que toda a madeira seja aproveitada? a) 9,75 m b) 7,25 m c) 3,75 m d) 3,25 m e) 2,25 m 36. Observe a figura. Qual a área dessa sala em metros quadrados? a) 37,2. b) 38,2. c) 40,2. d) 41,2. e) 42, O mosaico da figura adiante foi desenhado em papel quadriculado 1x1.A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a

8 a) 1/2. b) 1/3. c) 3/5. d) 5/7. e) 5/8. Lista de exercícios de Geometria 39. Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo desenho está na figura a seguir, é usada para revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30 cm de lado, a área da região hachurada é: a) b) 900 (4 - ) c) d) e) 225 (4 - ) 40. No triângulo eqüilátero ABC indicado na figura a seguir, o segmento åî é 60 cm. Calcule a área da coroa circular formada pelas duas circunferências. a) 2 10 cm. b) 3 10 cm. c) 2 10 cm. d) 3 10 cm. e) cm.

9 GABARITO 1. a) r = Ë(3/2) b) A = 3 - Ë3 2. a) 12 u.a. b) sen š = 24/ x = 1 ou x =2 6. d = 5m 7. Seja = BAC. Temos que Área(ABC)=(b c sen )/2 Da mesma forma, Área(ARS)=(p q sen )/2 Logo Área(ARS) / Área(ABC) = p. q / b. c cm 9. a) 12. a) A = 84 cm b) h = 8 cm 13. [B] 14. [C] 15. [D] 16. [D] 17. [B] 18. [C] 19. [A] 20. [A] 21. [D] 22. [B] 23. [B] 24. [B] 25. [A] 33. [A] 34. [A] 35. [E] 36. [D] 37. [E] 38. [A] 39. [E] 40. [D] 26. [C] 27. [B] b) a Ë (2-3)/ Não há variação da área da intersecção, tem valor igual a 4cm. 28. [D] 29. [D] 30. [A] 31. [D] 32. [D]